Cara Menentukan Penyelesaian SPLK Berbentuk Implisit
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/11/penyelesaian-SPLK-berbentuk-implisit.html
Daftar Materi Matematika
Advertisement
Sistem persamaan linear dan kuadrat atau disingkat SPLK adalah sistem persamaan matematika yang terdiri atas sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang masing-masing bervariabel dua. Berdasarkan karakteristik dan bagian bentuk kuadratnya, sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK) dapat dibedakan menjadu dua jenis, yaitu:
Suatu persamaan dua peubah x dan y dikatakan berbentuk eskplisit jika persamaan itu dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Contoh persamaan dua peubah/variabel (x dan y) dalam bentuk eksplisit adalah sebagai berikut.
i) y = 3x – 2
ii) x = 5 – 4y
iii) y = x2 – 4x + 5
iv) x = 3y2 + 6y – 2
Persamaan dua peubah x dan y dikatakan berbentuk implisit jika persamaan itu tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x, y) = 0. Contoh persamaan dua peubah (x dan y) dalam bentuk implisit adalah sebagai berikut.
i) x2 + y2 + 8 = 0
ii) x2 + y2 + 2x – y = 0
iii) x2 + y2 – 3x + 4y + 1 = 0
iv) 2x2 – xy + y2 + 3x + y – 4 = 0
Secara umum, SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit dapat dituliskan sebagai berikut.
px + qy + r = 0
|
……………. (bagian linear)
|
ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0
|
……………. (bagian kuadrat)
|
Dengan a, b, c, d, e, f, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.
SPLK dengan bagian kuadrat yang berbentuk implisit ada dua kemungkinan, yaitu:
Lalu bagaimana cara menetukan himpunan penyelesaian dari dua kemungkina SPLK implisit tersebut? Berikut penjelsannya, silahkan kalian simak baik-baik.
SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1: Pada bagian persamaan linear, nyatakan x dalam y atau y dalam x.
Langkah 2: Subtitusikan x atau y pada langkah 1 ke bagian bentuk kuadrat, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.
Langkah 3: Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh pada langkah 2, kemudian nilai-nilai yang didapat disubtitusikan ke persamaan linear atau kuadrat. Namun untuk efisiensi waktu, cukup subtitusikan ke persamaan linear saja.
Contoh Soal:
Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.
x + y – 1 = 0 ……….bagian linear
x2 + y2 – 25 = 0 …..bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan
Jawab:
Pada bagian persamaan linear, kita nyatakan y dalam x yaitu sebagai berikut.
⇒ x + y – 1 = 0
⇒ y = 1 – x
Lalu subtitusikan persamaan y = 1 – x ke persamaan kuadrat x2 + y2 – 25 = 0, sehingga kita peroleh:
⇒ x2 + y2 – 25 = 0
⇒ x2 + (1 – x)2 – 25 = 0
⇒ x2 + 1 – 2x + x2 – 25 = 0
⇒ 2x2 – 2x – 24 = 0
⇒ x2 – x – 12 = 0
⇒ (x + 3)(x – 4) = 0
⇒ x = −3 atau x = 4
Setelah nilai-nilai x kita peroleh, selanjutnya subtitusikan x = −3 atau x = 4 ke persamaan linear x + y – 1 = 0 yaitu sebagai berikut.
● untuk x = −3 diperoleh:
⇒ x + y – 1 = 0
⇒ −3 + y – 1 = 0
⇒ y – 4 = 0
⇒ y = 4
Kita peroleh himpunan penyelesaian (−3, 4).
● untuk x = 4 diperoleh:
⇒ x + y – 1 = 0
⇒ 4 + y – 1 = 0
⇒ y + 3 = −3
⇒ y = 4
Kita peroleh himpunan penyelesaian (4, −3).
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(−3, 4), (4, −3)}. Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPLK tersebut dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong garis x + y = 1 dengan lingkaran x2 + y2 = 25. Perhatikan gambar berikut ini.
SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit yang dapat difaktorkan
Cara menentukan penyelesaian SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit yang dapat difaktorkan, sma dengan yang tidak dapat difaktorkan. Namun, kita akan menggunakan cara lain. Untuk itu, silahkan kalian sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK) berikut ini.
x – y = 3 ……………………… bagian linear
x2 – 4xy + 4y2 – 25 = 0 …. bagian kuadrat
Bagian kuadrat dapat difaktorkan sebagai berikut.
⇒ x2 – 4xy + 4y2 – 25 = 0
⇒ (x – 2y)2 – 25 = 0
⇒ (x – 2y + 5)( x – 2y – 5) = 0
⇒ x – 2y + 5 = 0 atau x – 2y – 5 = 0
Jika hasil ini digabungkan dengan persamaan linear semula, maka akan diperoleh dua Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV), yaitu sebagai berikut.
x – y = 3
|
………. SPLDV pertama
|
x – 2y + 5 = 0
|
x – y = 3
|
………. SPLDV kedua
|
x – 2y – 5 = 0
|
Selanjutnya masing-masing SPLDV itu diselesaiakan dengan menggunakan salah satu dari metode penyelesaian SPLDV berikut ini.
Sebagai contoh, kita akan menggunakan metode gabungan (eliminasi + subtitusi)
Menyelesaikan SPLDV pertama
Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan x – y = 3 dan x – 2y + 5 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.
x – y
|
=
|
3
| |
x – 2y
|
=
|
–5
|
−
|
y
|
=
|
8
|
Selanjutnya subtitusikan nilai y = 8 ke persamaan x – y = 3 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.
⇒ x – 8 = 3
⇒ x = 3 + 8
⇒ x = 11
Dengan demikian, SPLDV pertama ini memberikan penyelesaian (11, 8).
Menyelesaikan SPLDV Kedua
Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan x – y = 3 dan x – 2y – 5 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.
x – y
|
=
|
3
| |
x – 2y
|
=
|
5
|
−
|
y
|
=
|
–2
|
Selanjutnya subtitusikan nilai y = –2 ke persamaan x – y = 3 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.
⇒ x – (–2) = 3
⇒ x + 2 = 3
⇒ x = 3 – 2
⇒ x = 11
Dengan demikian, SPLDV kedua ini memberikan penyelesaian (1, –2).
Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah {(11, 8), (1, –2)}.
Berdasarkan pembasan di atas, langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit yang dapat difaktorkan adalah sebagai berikut.
Langkah 1: Nyatakan bagian bentuk kuadratnya ke dalam faktor-faktor dengan ruas kanan sama dengan nol, sehingga diperoleh L1 . L2 = 0.
⇒ L1 . L2 = 0
⇒ L1 = 0 atau L2 = 0
Dengan L1 dan L2 masing-masing berbentuk linear.
Langkah 2: Bentuk-bentuk linear yang diperoleh pada langkah 1 digabungkan dengan persamaan linear semula, sehingga diperoleh dua buah SPLDV. Kemudian selesaikan masing-masing SPLDV tersebut.
Contoh Soal:
Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.
2x + 3y = 8
4x2 – 12xy + 9y2 = 16
Jawab:
Bagian kuadrat dapat difaktorkan sebagai berikut.
⇒ 4x2 – 12xy + 9y2 = 16
⇒ (2x – 3y)2 – 16 = 0
⇒ (2x – 3y + 4)(2x – 3y – 4) = 0
⇒ 2x – 3y + 4 = 0 atau 2x – 3y – 4 = 0
Jika hasil ini digabungkan dengan persamaan linear semula, maka akan diperoleh dua SPLDV, yaitu sebagai berikut.
2x + 3y = 8
|
………. SPLDV pertama
|
2x – 3y + 4 = 0
|
2x + 3y = 8
|
………. SPLDV kedua
|
2x – 3y – 4 = 0
|
Selanjutnya masing-masing SPLDV itu diselesaiakan dengan menggunakan salah satu dari metode penyelesaian SPLDV yang telah disebutkan sebelumnya.Sebagai contoh, kita gunakan metode gabungan.
Menyelesaikan SPLDV pertama
Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan 2x + 3y = 8 dan 2x – 3y + 4 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.
2x + 3y
|
=
|
8
| |
2x – 3y
|
=
|
–4
|
−
|
6y
|
=
|
12
| |
y
|
=
|
2
|
Kemudian subtitusikan nilai y = 2 ke persamaan 2x + 3y = 8 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.
⇒ 2x + 3(2) = 8
⇒ 2x + 6 = 8
⇒ 2x = 8 – 6
⇒ 2x = 2
⇒ x = 1
Dengan demikian, SPLDV pertama ini memberikan penyelesaian (1, 2).
Menyelesaikan SPLDV Kedua
Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan 2x + 3y = 8 dan 2x – 3y – 4 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.
2x + 3y
|
=
|
8
| |
2x – 3y
|
=
|
4
|
−
|
6y
|
=
|
4
| |
y
|
=
|
4/6
| |
y
|
=
|
2/3
|
Kemudian subtitusikan nilai y = 2/3 ke persamaan 2x + 3y = 8 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.
⇒ 2x + 3(2/3) = 8
⇒ 2x + 6/3 = 8
⇒ 2x + 2 = 8
⇒ 2x = 8 – 2
⇒ 2x = 6
⇒ x = 3
Dengan demikian, SPLDV pertama ini memberikan penyelesaian (3, 2/3).
Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah {(1, 2), (3, 2/3)}.
