Cara Menentukan Penyelesaian SPLTV Metode Subtitusi

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel atau disingkat SPLTV dapat dicari dengan beberapa cara, di antaranya adalah dengan menggunakan:

■ Metode subtitusi

■ Metode eliminasi

■ Metode gabungan atau campuran

■ Metode determinan

■ Metode invers matriks

Nah, pada kesempatan kali ini, kita akan belajar tentang cara menentukan himpunan penyelesaian (HP) sistem persamaan linear 3 variabel dengan menggunakan metode subtitusi. Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLTV dengan metode subtitusi adalah sebagai berikut.

Langkah 1:

Pilihlah salah satu persamaan yang paling sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.

Langkah 2:

Subtitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah 1 ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga didapat sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).

Langkah 3:

Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah 2.

Supaya kalian lebih memahami bagaimana caranya menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan menggunakan metode subtitusi, silahkan kalian pelajari beberapa contoh soal dan pembahasannya berikut ini.

Contoh Soal #1

Carilah himpunan penyelesaian SPLTV berikut ini dengan metode subtitusi.

x – 2y + z = 6

3x + y – 2z = 4

7x – 6y – z = 10

Jawab:

Pertama, kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana. Dari ketiga persamaan yang ada, persamaan pertama lebih sederhana. Dari persamaan pertama, nyatakan variabel x sebagai fungsi y dan z sebagai berikut.

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ x = 2y – z + 6

■ Subtitusikan variabel atau peubah x ke dalam persamaan kedua

⇒ 3x + y – 2z = 4

⇒ 3(2y – z + 6) + y – 2z = 4

⇒ 6y – 3z + 18 + y – 2z = 4

⇒ 7y – 5z + 18 = 4

⇒ 7y – 5z = 4 – 18

⇒ 7y – 5z = –14 ……………….. Pers. (1)

■ Subtitusikan variabel x ke dalam persamaan ketiga

⇒ 7x – 6y – z = 10

⇒ 7(2y – z + 6) – 6y – z = 10

⇒ 14y – 7z + 42 – 6y – z = 10

⇒ 8y – 8z + 42 = 10

⇒ 8y – 8z = 10 – 42

⇒ 8y – 8z = –32

⇒ y – z = –4 ……………….. Pers. (2)

■ Persamaan (1) dan (2) membentuk SPLDV y dan z:

7y – 5z = –14

y – z = –4

■ Selanjutnya kita selesaikan SPLDV tersebut dengan metode subtitusi. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana yaitu persamaan kedua. Dari persamaan kedua, kita peroleh

⇒ y – z = –4

⇒ y = z – 4

■ Subtitusikan peubah y ke dalam persamaan pertama

⇒ 7y – 5z = –14

⇒ 7(z – 4) – 5z = –14

⇒ 7z – 28 – 5z = –14

⇒ 2z = –14 + 28

⇒ 2z = 14

⇒ z = 14/2

⇒ z = 7

■ Subtitusikan nilai z = 7 ke salah satu SPLDV, misal y – z = –4 sehingga kita peroleh

⇒ y – z = –4

⇒ y – 7 = –4

⇒ y = –4 + 7

⇒ y = 3

■ Selanjutnya, subtitusikan nilai y = 3 dan z = 7 ke salah satu SPLTV, misal x – 2y + z = 6 sehingga kita peroleh

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ x – 2(3) + 7 = 6

⇒ x – 6 + 7 = 6

⇒ x + 1 = 6

⇒ x = 6 – 1

⇒ x = 5

Dengan demikian, kita peroleh nilai x = 5, y = 3 dan z = 7. Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLTV di atas adalah {(5, 3, 7)}.

Untuk memastikan bahwa nilai x, y, dan z yang diperoleh sudah benar, kalian dapat mengeceknya dengan cara mensubtitusikan nilai x, y, dan z ke dalam tiga SPLTV di atas.

■ Persamaan pertama

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ 5 – 2(3) + 7 = 6

⇒ 5 – 6 + 7 = 6

⇒ 6 = 6 (benar)

■ Persamaan kedua

⇒ 3x + y – 2z = 4

⇒ 3(5) + 3 – 2(7) = 4

⇒ 15 + 3 – 14 = 4

⇒ 4 = 4 (benar)

■ Persamaan ketiga

⇒ 7x – 6y – z = 10

⇒ 7(5) – 6(3) – 7 = 10

⇒ 35 – 18 – 7 = 10

⇒ 10 = 10 (benar)

Berdasarkan pembuktian tersebut, maka bisa dipastikan bahwa nilai x, y dan z yang diperoleh sudah benar dan memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel yang ditanyakan.

Contoh Soal #2

Dengan menggunakan metode subtitusi, tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linier tiga variabel (SPLTV) berikut ini.

x + y – z = –3

x + 2y + z = 7

2x + y + z = 4

Jawab:

Jawab:

Pertama, kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana. Dari ketiga persamaan yang ada, persamaan pertama lebih sederhana. Dari persamaan pertama, nyatakan variabel x sebagai fungsi y dan z sebagai berikut.

⇒ x + y – z = –3

⇒ x = –3 – y + z

■ Subtitusikan peubah x ke dalam persamaan kedua

⇒ x + 2y + z = 7

⇒ (–3 – y + z) + 2y + z = 7

⇒ –3 + y + 2z = 7

⇒ y + 2z = 7 + 3

⇒ y + 2z = 10 ……………….. Pers. (3)

■ Subtitusikan variabel x ke dalam persamaan ketiga

⇒ 2x + y + z = 4

⇒ 2(–3 – y + z) + y + z = 4

⇒ –6 – 2y + 2z + y + z = 4

⇒ –y + 3z = 4 + 6

⇒ –y + 3z = 10 ……………….. Pers. (4)

■ Persamaan (3) dan (4) membentuk SPLDV y dan z:

y + 2z = 10

–y + 3z = 10

■ Selanjutnya kita selesaikan SPLDV tersebut dengan metode subtitusi. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana yaitu persamaan pertama. Dari persamaan pertama, kita peroleh

⇒ y + 2z = 10

⇒ y = 10 – 2z

■ Subtitusikan peubah y ke dalam persamaan kedua

⇒ –y + 3z = 10

⇒ –(10 – 2z) + 3z = 10

⇒ –10 + 2z + 3z = 10

⇒ –10 + 5z = 10

⇒ 5z = 10 + 10

⇒ 5z = 20

⇒ z = 4

■ Subtitusikan nilai z = 4 ke salah satu SPLDV, misal y + 2z = 10 sehingga kita peroleh

⇒ y + 2z = 10

⇒ y + 2(4) = 10

⇒ y + 8 = 10

⇒ y = 10 – 8 

⇒ y = 2

■ Selanjutnya, subtitusikan nilai y = 2 dan z = 4 ke salah satu SPLTV, misal x + 2y + z = 7 sehingga kita peroleh

⇒ x + 2y + z = 7

⇒ x + 2(2) + 4 = 7

⇒ x + 4 + 4 = 7

⇒ x + 8 = 7

⇒ x = 7 – 8

⇒ x = –1

Dengan demikian, kita peroleh nilai x = –1, y = 2 dan z = 4. Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLTV di atas adalah {(–1, 2, 4)}.

Untuk memastikan bahwa nilai x, y, dan z yang diperoleh sudah benar, kalian dapat mengeceknya dengan cara mensubtitusikan nilai x, y, dan z ke dalam tiga SPLTV di atas.

■ Persamaan pertama

⇒ x + y – z = –3

⇒ –1 + 2 – 4 = –3

⇒ –34 = –3 (benar)

■ Persamaan kedua

⇒ x + 2y + z = 7

⇒ –1 + 2(2) + 4 = 7

⇒ –1 + 4 + 4 = 7

⇒ 7 = 7 (benar)

■ Persamaan ketiga

⇒ 2x + y + z = 4

⇒ 2(–1) + 2 + 4 = 4

⇒ –2 + 2 + 4 = 4

⇒ 4 = 4 (benar)

Berdasarkan pembuktian tersebut, maka bisa dipastikan bahwa nilai x, y dan z yang diperoleh sudah benar dan memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel yang ditanyakan.