Cara Menentukan Penyelesaian SPLTV Metode Gabungan atau Campuran
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/10/penyelesaian-SPLTV-metode-campuran.html
Daftar Materi Matematika
Advertisement
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel atau disingkat SPLTV dapat dicari dengan beberapa cara, di antaranya adalah dengan menggunakan:
Nah, pada kesempatan kali ini, kita akan belajar tentang cara menentukan himpunan penyelesaian (HP) sistem persamaan linear 3 variabel dengan menggunakan metode gabungan. Lalu tahukah kalian apa itu metode campuran atau gabungan ini? Jika belum tahu, berikut ini penjelasannya.
Penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode gabungan/campuran merupakan cara penyelesaian dengan menggabungkan dua metode sekaligus, yakni metode eliminasi dan metode subtitusi. Metode ini bisa dikerjakan dengan subtitusi terlebih dahulu atau dengan eliminasi terlebih dahulu.
Pada kesempatan kali ini, kta akan mencoba metode gabungan/campuran dengan 2 teknik yaitu:
● Mengeliminasi terlebih dahulu baru kemudian menggunakan metode subtitusi.
● Mensubtitusi terlebih dahulu baru kemudian menggunakan metode eliminasi
Prosesnya hampir sama seperti penyelesaian SPLTV dengan metode eliminasi dan metode subtitusi. Supaya lebih jelas, langsung saja kita menuju contoh soal dan pembahasannya berikut ini. Silahkan simak baik-baik dan selamat belajar.
Contoh Soal 1
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel di bawah ini dengan menggunakan metode campuran.
x – y + 2z = 4
2x + 2y – z = 2
3x + y + 2z = 8
Jawab:
■ Metode Eliminasi (SPLTV)
Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana adalah y sehingga kita akan mengeliminasi y dulu. Untuk menghilangkan peubah y, maka kita harus menyamakan koefisien masing-masing y dari ketiga persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.
x – y + 2z = 4 → koefisien y = –1
2x + 2y – z = 2 → koefisien y = 2
3x + y + 2z = 8 → koefisien y = 1
Agar ketiga koefisien y sama, maka kita kalikan persamaan pertama dan persamaan ketiga dengan 2 sedangkan persamaan kedua kita kalikan 1. Prosesnya adalah sebagai berikut.
x – y + 2z
|
=
|
4
|
|× 2|
|
→
|
2x – 2y + 4z
|
=
|
8
|
2x + 2y – z
|
=
|
2
|
|× 1|
|
→
|
2x + 2y – z
|
=
|
2
|
3x + y + 2z
|
=
|
8
|
|× 2|
|
→
|
6x + 2y + 4z
|
=
|
16
|
Setelah koefisien y ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel y hilang. Prosesnya seperti di bawah ini.
● Dari persamaan pertama dan kedua:
2x – 2y + 4z
|
=
|
8
| |
2x + 2y – z
|
=
|
2
|
+
|
4x + 3z
|
=
|
10
|
● Dari persamaan kedua dan ketiga:
2x + 2y – z
|
=
|
2
| |
6x + 2y + 4z
|
=
|
16
|
−
|
−4x − 5z
|
=
|
−14
| |
4x + 5z
|
=
|
14
|
Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.
4x + 3z = 10
4x + 5z = 14
■ Metode Subtitusi (SPLDV)
Dari SPLDV pertama kita peroleh persamaan x sebagai berikut.
⇒ 4x + 3z = 10
⇒ 4x = 10 – 3z
Lalu kita subtitusikan persamaan y tersebut ke SPLDV kedua sebagai berikut.
⇒ 4x + 5z = 14
⇒ (10 – 3z) + 5z = 14
⇒ 10 + 2z = 14
⇒ 2z = 14 – 10
⇒ 2z = 4
⇒ z = 2
Kemudian, untuk menentukan nilai x, kita subtitusikan nilai z = 2 ke dalam salah satu SPLDV, misalnya persamaan 4x + 3z sehingga kita peroleh:
⇒ 4x + 3(2) = 10
⇒ 4x + 6 = 10
⇒ 4x = 10 – 6
⇒ 4x = 4
⇒ x =1
Langkah terakhir, untuk menentukan nilai y, kita subtitusikan nilai x = 1 dan z = 2 ke dalam salah satu SPLTV di atas, misalnya persamaan x – y + 2z = 4 sehingga kita peroleh:
⇒ x – y + 2z = 4
⇒ (1) – y + 2(2) = 4
⇒ 1 – y + 4 = 4
⇒ 5 – y = 4
⇒ y = 5 – 4
⇒ y = 1
Dengan demikian kita peroleh nilai x = 1, y = 1 dan z = 2 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(1, 1, 2)}.
Contoh Soal 2
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel di bawah ini dengan menggunakan metode gabungan.
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y – 2z = 12
x + y + 4z = 20
Jawab:
■ Metode Subtitusi (SPLTV)
Pertama, kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana. Dari ketiga persamaan yang ada, persamaan ketiga lebih sederhana. Dari persamaan ketiga, nyatakan variabel z sebagai fungsi y dan z sebagai berikut.
⇒ x + y + 4z = 20
⇒ x = 20 – y – 4z ............... Pers. (1)
Kemudian, subtitusikan persamaan (1) di atas ke dalam SPLTV pertama.
⇒ x + 3y + 2z = 16
⇒ (20 – y – 4z) + 3y + 2z = 16
⇒ 2y – 2z + 20 = 16
⇒ 2y – 2z = 16 – 20
⇒ 2y – 2z = –4
⇒ y – z = –2 ............... Pers. (2)
Lalu, subtitusikan persamaan (1) di atas ke dalam SPLTV kedua.
⇒ 2x + 4y – 2z = 12
⇒ 2(20 – y – 4z) + 4y – 2z = 12
⇒ 40 – 2y – 8z + 4y – 2z = 12
⇒ 2y – 10z + 40 = 12
⇒ 2y – 10z = 12 – 40
⇒ 2y – 10z = –28 ............... Pers. (3)
Dari persamaan (2) dan persamaan (3) kita peroleh SPLDV y dan z berikut.
y – z = –2
2y – 10z = –28
■ Metode Eliminasi (SPLDV)
Untuk mengeliminasi y, maka kita kalikan SPLDV pertama dengan 2 agar koefisien y kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai z sebagai berikut.
y – z
|
=
|
–2
|
|× 2|
|
→
|
2y – 2z
|
=
|
–4
| |
2y – 10z
|
=
|
–28
|
|× 1|
|
→
|
2y – 10z
|
=
|
–28
|
−
|
8z
|
=
|
24
| ||||||
z
|
=
|
3
|
Untuk mengeliminasi z, maka kalikan SPLDV pertama dengan 10 agar koefisien z kedua persamaan sama. Selanjutnya kita kurangkan kedua persamaan sehingga diperoleh nilai y sebagai berikut.
y – z
|
=
|
–2
|
|× 10|
|
→
|
10y – 10z
|
=
|
–20
| |
2y – 10z
|
=
|
–28
|
|× 1|
|
→
|
2y – 10z
|
=
|
–28
|
−
|
8y
|
=
|
8
| ||||||
y
|
=
|
1
|
Sampai tahap ini, kita peroleh nilai y = 1 dan z = 3. Langkah terakhir yaitu menentukan nilai x. Cara menentukan nilai x adalah dengan memasukkan nilai y dan z tersebut ke dalam salah satu SPLTV, misalnya x + 3y + 2z = 16 sehingga kita peroleh:
⇒ x + 3y + 2z = 16
⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16
⇒ x + 3 + 6 = 16
⇒ x + 9 = 16
⇒ x = 16 – 9
⇒ x = 7
Dengan demikian kita peroleh nilai x = 7, y = 1 dan z = 3 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(7, 1, 3)}.
