5 Macam Metode Menentukan Penyelesaian SPLTV + Contoh Soal dan Pembahasan Bagian 3

Daftar Materi Matematika

Penyelesaian SPLTV dengan Invers Matriks?

Invers matrik dapat digunakan untuk mempermudah dalam menentukan himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear baik itu dua variabel maupun tiga variabel. Untuk menentukan penyelesaian SPLTV dengan invers matriks, terlebih dahulu kita ubah bentuk umum SPLTV menjadi bentuk matriks. Perhatikan penjelasan berikut.

5 Macam Metode Menentukan Penyelesaian SPLTV + Contoh Soal dan Pembahasan

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah sebagai berikut.

a1x + b1y + c1z = d1 …………… Pers. (1)

a2x + b2y + c2z = d2 …………… Pers. (2)

a3x + b3y + c3z = d3 …………… Pers. (3)

Persamaan (1), (2), dan (3) di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti di bawah ini.

AX = B

Matriks A memuat koefisien-koefisien ketiga persamaan. Matriks X memuat variabel x, y, dan z. Sedangkan matriks B memuat konstanta-konstanta ketiga persamaan linear. Dengan demikian, bentuk matriks AX = B adalah sebagai berikut.

a1	b1	c1	x	=	d1
a2	b2	c2	y		d2
a3	b3	c3	z		d3

Tujuan menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel adalah untuk menentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi persamaan tersebut. Oleh karena itu, bentuk matriks AX = B harus kita ubah menjadi bentuk invers seperti berikut.

AX = B

X = A-1B

A-1 merupakan invers matriks A. Dengan menggunakan rumus invers matriks di atas, maka bentuk matriks dari X = A-1B adalah sebagai berikut.

x	=	1	K11	K21	K31	d1
y			K12	K22	K32	d2
		(a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
z			K13	K23	K33	d3

Nah, rumus inilah yang digunakan untuk menentukan nilai x, y, dan z dari sistem persamaan linear tiga variabel.

Contoh Soal:

Dengan menggunakan metode invers matriks, tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut ini.

2x + y – z = 1

x + y + z = 6

x – 2y + z = 0

Penyelesaian:

Pertama, kita buat nama yang spesifik dari ketiga sistem persamaan linear di atas, yaitu sebagai berikut.

2x + y – z = 1 …………… Pers. (1)

x + y + z = 6 …….……… Pers. (2)

x – 2y + z = 0 …………… Pers. (3)

Kemudian, persamaan (1), (2), dan (3) kita susun dalam bentuk matriks berikut.

AX = B

2	1	−1	x	=	1
1	1	1	y		6
1	−2	1	z		0

Untuk menentukan nilai x, y, dan z maka bentuk matriks AX = B harus kita ubah menjadi bentuk invers seperti berikut.

AX = B

X = A-1B

Matriks dari A-1 dirumuskan sebagai berikut.

A-1 = (1/determinan A)(adjoin A)

A-1	=	1	adj	a1	b1	c1
				a2	b2	c2
		det A
				a3	b3	c3

Sampai tahap ini, kita harus menentukan nilai dari determinan matriks A dan juga adjoin matriks A. Penjelasannya adalah sebagai berikut.

Menentukan determinan matriks A

Dari matriks A tambahkan 2 kolom di sebalah kanan. Kolom keempat berisi elemen dari kolom pertama, sedangkan kolom kelima berisi elemen dari kolom kedua matriks A. Sehingga matriks A menjadi seperti berikut.

A	=	2	1	−1	2	1
		1	1	1	1	1
		1	−2	1	1	−2

Dari bentuk matrik di atas, nilai determinan dari matriks A adalah sebagai berikut.

det A = [(2)(1)(1) + (1)(1)(1) + (−1)(1)(−2)] – [(1)(1)(−1) + (−2)(1)(2) + (1)(1)(1)]

det A = [2 + 1 + 2] – [−1 – 4 + 1]

det A = 5 – (−4)

det A = 9

Adjoin matriks A

Untuk menentukan adjoin matriks A digunakan rumus berikut.

Adj A = (matriks kofaktor A)T

Jadi sebelum dapat menentukan adjoin matriks, kita harus menentukan dahulu matriks kofaktor A yang ditranspose.

Menentukan matriks kofaktor A [kof(A)]

Elemen-elemen matriks kofaktor A adalah sebagai berikut.

kof(A)	=	K11	K12	K13
		K21	K22	K23
		K31	K32	K33

Kesembilan elemen K tersebut dapat tentukan dengan menggunakan minor-kofaktor yang dirumuskan sebagai berikut.

K11 = (−1)1 + 1 M11

M11 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris dan kolom pertama matriks A.

M11	=	2	1	−1
		1	1	1
		1	−2	1

M11	=	1	1	=	[(1)(1)] – [(−2)(1)]	=	3
		−2	1

Dengan demikian, nilai dari K11 adalah sebagai berikut.

K11 = (−1)1 + 1 (3) = 3

K12 = (−1)1 + 2 M12

M12 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom kedua matriks A.

M12	=	2	1	−1
		1	1	1
		1	−2	1

M12	=	1	1	=	[(1)(1)] – [(1)(1)]	=	0
		1	1

Dengan demikian, nilai dari K12 adalah sebagai berikut.

K12 = (−1)1 + 2 (0) = 0

K13 = (−1)1 + 3 M13

M13 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom ketiga matriks A.

M13	=	2	1	−1
		1	1	1
		1	−2	1

M13	=	1	1	=	[(1)(−2)] – [(1)(1)]	=	−3
		1	−2

Dengan demikian, nilai dari K13 adalah sebagai berikut.

K13 = (−1)1 + 3 (−3) = −3

K21 = (−1)2 + 1 M21

M21 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom pertama matriks A.

M21	=	2	1	−1
		1	1	1
		1	−2	1

M21	=	1	−1	=	[(1)(1)] – [(−2)(−1)]	=	−1
		−2	1

Dengan demikian, nilai dari K21 adalah sebagai berikut.

K21 = (−1)2 + 1 (−1) = 1

K22 = (−1)2 + 2 M22

M22 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom kedua matriks A.

M22	=	2	1	−1
		1	1	1
		1	−2	1

M22	=	2	−1	=	[(2)(1)] – [(1)(−1)]	=	3
		1	1

Dengan demikian, nilai dari K22 adalah sebagai berikut.

K22 = (−1)2 + 2 (3) = 3

K23 = (−1)2 + 3 M23

M23 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom ketiga matriks A.

M23	=	2	1	−1
		1	1	1
		1	−2	1

M23	=	2	1	=	[(2)(−2)] – [(1)(1)]	=	−5
		1	−2

Dengan demikian, nilai dari K23 adalah sebagai berikut.

K23 = (−1)2 + 3 (−5) = 5

K31 = (−1)3+ 1 M31

M31 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom pertama matriks A.

M31	=	2	1	−1
		1	1	1
		1	−2	1

M31	=	1	−1	=	[(1)(1)] – [(1)(−1)]	=	2
		1	1

Dengan demikian, nilai dari K31 adalah sebagai berikut.

K31 = (−1)3 + 1 (2) = 2

K32 = (−1)3+ 2 M32

M32 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom kedua matriks A.

M32	=	2	1	−1
		1	1	1
		1	−2	1

M32	=	2	−1	=	[(2)(1)] – [(1)(−1)]	=	3
		1	1

Dengan demikian, nilai dari K32 adalah sebagai berikut.

K32 = (−1)3 + 2 (3) = −3

K33 = (−1)3+ 3 M33

M33 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom ketiga matriks A.

M33	=	2	1	−1
		1	1	1
		1	−2	1

M33	=	2	1	=	[(2)(1)] – [(1)(1)]	=	1
		1	1

Dengan demikian, nilai dari K33 adalah sebagai berikut.

K33 = (−1)3 + 3 (1) = 1

Sekarang kita kumpulkan semua nilai K yang diperoleh dari perhitungan di atas, yaitu sebagai berikut.

K11 = 3	K21 = 1	K31 = 2
K12 = 0	K22 = 3	K32 = −3
K13 = −3	K23 = 5	K33 = 1

Dengan demikian, bentuk dari matriks kofaktor A adalah sebagai berikut.

kof(A)	=	3	0	−3
		1	3	5
		2	−3	1

Menentukan matriks Kofaktor A Transpose [kof(A)T]

Bentuk matriks transpose diperoleh dengan cara menukar elemen-elemen baris suatu matriks menjadi elemen-elemen kolom dan menukar elemen-elemen kolom menjadi elemen-elemen baris. Dengan demikian, bentuk matriks transpose dari matriks kofaktor A adalah sebagai berikut.

[kof(A)]T	=	3	1	2
		0	3	−3
		−3	5	1

Bentuk transpose dari matriks kofaktor A merupakan matriks adjoin A, sehingga adjoin dari matriks A adalah sebagai berikut.

Adj A = (matriks kofaktor A)T

Adj A	=	3	1	2
		0	3	−3
		−3	5	1

Langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z dengan mengubah bentuk matriks AX = B menjadi bentuk invers seperti berikut.

AX = B

X = A-1B

x	=	1	adj	2	1	−1	1
y				1	1	1	6
		det A
z				1	−2	1	0

x	=	1	3	1	2	1
y			0	3	−3	6
		9
z			−3	5	1	0

x	=	3/9	1/9	2/9	1
y		0/9	3/9	−3/9	6
z		−3/9	5/9	1/9	0

x	=	(3/9 × 1) + (1/9 × 6) + (2/9 × 0)
y		(0/9 × 1) + (3/9 × 6) + (−3/9 × 0)
z		(−3/9 × 1) + (5/9 × 6) + (1/9 × 0)

x	=	3/9 + 6/9 + 0
y		0 + 18/9 + 0
z		−3/9 + 30/9 + 0

x	=	9/9
y		18/9
z		27/9

x	=	1
y		2
z		3

Jadi, kita peroleh nilai x = 1, y = 2 dan z = 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah {(1, 2, 3)}.
Bagian 2

Blog Matematika

Pages

Labels

5 Macam Metode Menentukan Penyelesaian SPLTV + Contoh Soal dan Pembahasan Bagian 3

Daftar Materi Matematika

Menentukan matriks kofaktor A [kof(A)]

Post a Comment

Materi Terbaru