5 Macam Metode Menentukan Penyelesaian SPLTV + Contoh Soal dan Pembahasan Bagian 2
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/05/macam-macam-metode-penyelesaian-sistem-persamaan-linear-tiga-variabel-2.html
Daftar Materi Matematika
Advertisement
4. Penyelesaian SPLTV Metode Determinan
Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode determinan adalah sebagai berikut.
■ Langkah Pertama, ubahlah sistem persamaa linear tiga variabel ke dalam bentuk matriks, yaitu sebagai berikut.
Misalkan terdapat sistem persamaan berikut.
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
persamaan di atas kita ubah menjadi bentuk berikut
A . X = B …………… Pers. (1)
Dengan:
A
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
a2
|
b2
|
c2
| ||
a3
|
b3
|
c3
|
X
|
=
|
x
|
y
| ||
z
|
B
|
=
|
d1
|
d2
| ||
d3
|
Sehingga persamaan 1 di atas menjadi bentuk matriks berikut.
a1
|
b1
|
c1
|
x
|
=
|
d1
| |
a2
|
b2
|
c2
|
y
|
d2
| ||
a3
|
b3
|
c3
|
z
|
d3
|
■ Langkah Kedua, tentukan nilai determinan matriks A (D), determinan x (Dx) determinan y (Dy) dan determinan z (Dz) dengan persamaan berikut.
D
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
a1
|
b1
|
=
|
(a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
|
a2
|
b2
|
c2
|
a2
|
b2
| ||||
a3
|
b3
|
c3
|
a3
|
b3
|
D adalah determinan dari matriks A.
Dx
|
=
|
d1
|
b1
|
c1
|
d1
|
b1
|
=
|
(d1b2c3 + b1c2d3 + c1d2b3) – (d3b2c1 + b3c2d1 + c3d2b1)
|
d2
|
b2
|
c2
|
d2
|
b2
| ||||
d3
|
b3
|
c3
|
d3
|
b3
|
Dx adalah determinan dari matriks A yang kolom pertama diganti dengan elemen-elemen matriks B.
Dy
|
=
|
a1
|
d1
|
c1
|
a1
|
d1
|
=
|
(a1d2c3 + d1c2a3 + c1a2d3) – (a3d2c1 + d3c2a1 + c3a2d1)
|
a2
|
d2
|
c2
|
a2
|
d2
| ||||
a3
|
d3
|
c3
|
a3
|
d3
|
Dy adalah determinan dari matriks A yang kolom kedua diganti dengan elemen-elemen matriks B.
Dz
|
=
|
a1
|
b1
|
d1
|
a1
|
b1
|
=
|
(a1b2d3 + b1d2a3 + d1a2b3) – (a3b2d1 + b3d2a1 + d3a2b1)
|
a2
|
b2
|
d2
|
a2
|
b2
| ||||
a3
|
b3
|
d3
|
a3
|
b3
|
Dz adalah determinan dari matriks A yang kolom ketiga diganti dengan elemen-elemen matriks B.
■ Langkah Ketiga, tentukan nilai x dan y dengan persamaan berikut.
x
|
=
|
Dx
|
D
|
y
|
=
|
Dy
|
D
|
z
|
=
|
Dz
|
D
|
Contoh Soal:
Dengan menggunakan metode determinan, tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini.
2x + y + z = 12
x + 2y – z = 3
3x – y + z = 11
Jawab:
■ Mengubah SPLTV ke bentuk matriks
Pertama, kita ubah sistem persamaan yang ditanyakan dalam soal ke bentuk matriks berikut.
2
|
1
|
1
|
x
|
=
|
12
| |
1
|
2
|
−1
|
y
|
3
| ||
3
|
−1
|
1
|
z
|
11
|
Kedua, kita tentukan nilai D, Dx, Dy dan Dz dengan ketentuan seperti pada langkah-langkah di atas.
■ Menentukan nilai D
D
|
=
|
2
|
1
|
1
|
2
|
1
|
1
|
2
|
−1
|
1
|
2
| ||
3
|
−1
|
1
|
3
|
−1
|
D = [(2)(2)(1) + (1)(−1)(3) + (1)(1)(−1)] – [(3)(2)(1) + (−1)(−1)(2) + (1)(1)(1)]
D = [4 – 3 – 1] − [6 + 2 + 1]
D = 0 − 9
D = −9
■ Menentukan nilai Dx
Dx
|
=
|
12
|
1
|
1
|
12
|
1
|
3
|
2
|
−1
|
3
|
2
| ||
11
|
−1
|
1
|
11
|
−1
|
Dx = [(12)(2)(1) + (1)(−1)(11) + (1)(3)(−1)] – [(11)(2)(1) + (−1)(−1)(12) + (1)(3)(1)]
Dx = [24 – 11 – 3] − [22 + 12 + 3]
Dx = 10 − 37
Dx = −27
■ Menentukan nilai Dy
Dy
|
=
|
2
|
12
|
1
|
2
|
12
|
1
|
3
|
−1
|
1
|
3
| ||
3
|
11
|
1
|
3
|
11
|
Dy = [(2)(3)(1) + (12)(−1)(3) + (1)(1)(11)] – [(3)(3)(1) + (11)(−1)(2) + (1)(1)(12)]
Dy = [6 – 36 + 11] − [9 − 22 + 12]
Dy = −19 – (–1)
Dy = −18
■ Menentukan nilai Dz
Dz
|
=
|
2
|
1
|
12
|
2
|
1
|
1
|
2
|
3
|
1
|
2
| ||
3
|
−1
|
11
|
3
|
−1
|
Dz = [(2)(2)(11) + (1)(3)(3) + (12)(1)(−1)] – [(3)(2)(12) + (−1)(3)(2) + (11)(1)(1)]
Dz = [44 + 9 – 12] − [72 − 6 + 11]
Dz = 41 − 77
Dz = −36
■ Menentukan nilai x, y, z
Setelah nilai D, Dx, Dy, dan Dz kita peroleh, langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z menggunakan rumus berikut ini.
x
|
=
|
Dx
|
=
|
−27
|
=
|
3
|
D
|
−9
|
y
|
=
|
Dy
|
=
|
−18
|
=
|
2
|
D
|
−9
|
z
|
=
|
Dz
|
=
|
−36
|
=
|
4
|
D
|
−9
|
Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear 3 variabel di atas adalah HP = {(3, 2, 4)}.
5. Penyelesaian SPLTV Metode Invers Matriks
Jika A dan B adalah matriks persegi dan berlaku A . B = B . A = 1, maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A atau ditulis B = A-1. Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular. Sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular. Untuk mencari invers matriks persegi berordo 3×3, coba kalian perhatikan contoh berikut ini.
Jika A
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
Dengan det A ≠ 0
|
a2
|
b2
|
c2
| |||
a3
|
b3
|
c3
|
Maka invers dari matriks A (ditulis A-1) dirumuskan sebagai berikut.
A-1 = (1/determinan A)(adjoin A)
A-1
|
=
|
1
|
adj
|
a1
|
b1
|
c1
|
a2
|
b2
|
c2
| ||||
det A
| ||||||
a3
|
b3
|
c3
|
Jika det A = 0, maka matriks tersebut tidak mempunyai invers atau disebut matriks singular. Untuk menentukan nilai determinan dan adjoin dari matriks A dapat digunakan cara berikut.
Determinan matriks A
■ Dari matriks A tambahkan 2 kolom di sebalah kanan. Kolom keempat berisi elemen dari kolom pertama, sedangkan kolom kelima berisi elemen dari kolom kedua matriks A. Sehingga matriks A menjadi seperti berikut.
A
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
a1
|
b1
|
a2
|
b2
|
c2
|
a2
|
b2
| ||
a3
|
b3
|
c3
|
a3
|
b3
|
■ Kemudian kalikan elemennya secara diagonal, pertama kalikan searah sejajar dengan diagonal utama. Ada tiga hasil perkaliannya, yaitu a1b2c3, b1c2a3, dan c1a2b3. Ketiga hasil perkalian elemen matriks tersebut bertanda positif. Perhatika diagram perkalian matriks berikut ini.
+
|
+
|
+
| ||||
A
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
a1
|
b1
|
a2
|
b2
|
c2
|
a2
|
b2
| ||
a3
|
b3
|
c3
|
a3
|
b3
|
■ Setelah itu, kalian searah dengan sejajar diagonal samping. Ada tiga hasil perkaliannya, yaitu a3b2c1, b3c2a1, dan c3a2b1. Ketiga hasil perkalian elemen matriks ini bertanda negatif. Perhatikan diagram perkalian matriks berikut.
−
|
−
|
−
| |||||
A
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
a1
|
b1
| |
a2
|
b2
|
c2
|
a2
|
b2
| |||
a3
|
b3
|
c3
|
a3
|
b3
|
■ Determinan dari matriks A adalah jumlah semua hasil perkalian bertandanya yakni:
det A = (a1b2c3) + (b1c2a3) + (c1a2b3) + (−a3b2c1) + (−b3c2a1) + (−c3a2b1)
det A = (a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
Adjoin matriks A
Untuk menentukan nilai adjoin matriks A digunakan rumus berikut.
Adj A = (matriks kofaktor A)T
Jadi sebelum dapat menentukan nilai adjoin, kita harus menentukan dahulu matriks kofaktor A yang ditranspose.
Matriks Kofaktor A [kof(A)]
Elemen-elemen matriks kofaktor A adalah sebagai berikut.
kof(A)
|
=
|
K11
|
K12
|
K13
|
K21
|
K22
|
K23
| ||
K31
|
K32
|
K33
|
Kesembilan elemen K tersebut dapat tentukan dengan menggunakan minor-kofaktor yang dirumuskan sebagai berikut.
K11 = (−1)1 + 1 M11
M11 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris dan kolom pertama matriks A.
M11
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
a2
|
b2
|
c2
| ||
a3
|
b3
|
c3
|
M11
|
=
|
b2
|
c2
|
=
|
(b2c3) – (b3c2)
|
b3
|
c3
|
Dengan demikian, nilai dari K11 adalah sebagai berikut.
K11 = (−1)1 + 1 [(b2c3) – (b3c2)]
K12 = (−1)1 + 2 M12
M12 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom kedua matriks A.
M12
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
a2
|
b2
|
c2
| ||
a3
|
b3
|
c3
|
M12
|
=
|
a2
|
c2
|
=
|
(a2c3) – (a3c2)
|
a3
|
c3
|
Dengan demikian, nilai dari K12 adalah sebagai berikut.
K12 = (−1)1 + 2 [(a2c3) – (a3c2)]
K13 = (−1)1 + 3 M13
M13 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom ketiga matriks A.
M13
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
a2
|
b2
|
c2
| ||
a3
|
b3
|
c3
|
M13
|
=
|
a2
|
b2
|
=
|
(a2b3) – (a3b2)
|
a3
|
b3
|
Dengan demikian, nilai dari K13 adalah sebagai berikut.
K13 = (−1)1 + 3 [(a2b3) – (a3b2)]
K21 = (−1)2 + 1 M21
M21 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom pertama matriks A.
M21
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
a2
|
b2
|
c2
| ||
a3
|
b3
|
c3
|
M21
|
=
|
b1
|
c1
|
=
|
(b1c3) – (b3c1)
|
b3
|
c3
|
Dengan demikian, nilai dari K21 adalah sebagai berikut.
K21 = (−1)2 + 1 [(b1c3) – (b3c1)]
K22 = (−1)2 + 2 M22
M22 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom kedua matriks A.
M22
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
a2
|
b2
|
c2
| ||
a3
|
b3
|
c3
|
M22
|
=
|
a1
|
c1
|
=
|
(a1c3) – (a3c1)
|
a3
|
c3
|
Dengan demikian, nilai dari K22 adalah sebagai berikut.
K22 = (−1)2 + 2 [(a1c3) – (a3c1)]
K23 = (−1)2 + 3 M23
M23 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom ketiga matriks A.
M23
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
a2
|
b2
|
c2
| ||
a3
|
b3
|
c3
|
M23
|
=
|
a1
|
b1
|
=
|
(a1b3) – (a3b1)
|
a3
|
b3
|
Dengan demikian, nilai dari K23 adalah sebagai berikut.
K23 = (−1)2 + 3 [(a1b3) – (a3b1)]
K31 = (−1)3+ 1 M31
M31 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom pertama matriks A.
M31
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
a2
|
b2
|
c2
| ||
a3
|
b3
|
c3
|
M31
|
=
|
b1
|
c1
|
=
|
(b1c2) – (b2c1)
|
b2
|
c2
|
Dengan demikian, nilai dari K31 adalah sebagai berikut.
K31 = (−1)3 + 1 [(b1c2) – (b2c1)]
K32 = (−1)3+ 2 M32
M32 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom kedua matriks A.
M32
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
a2
|
b2
|
c2
| ||
a3
|
b3
|
c3
|
M32
|
=
|
a1
|
c1
|
=
|
(a1c2) – (a2c1)
|
a2
|
c2
|
Dengan demikian, nilai dari K32 adalah sebagai berikut.
K32 = (−1)3 + 2 [(a1c2) – (a2c1)]
K33 = (−1)3+ 3 M33
M33 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom ketiga matriks A.
M33
|
=
|
a1
|
b1
|
c1
|
a2
|
b2
|
c2
| ||
a3
|
b3
|
c3
|
M33
|
=
|
a1
|
b1
|
=
|
(a1b2) – (a2b1)
|
a2
|
b2
|
Dengan demikian, nilai dari K33 adalah sebagai berikut.
K33 = (−1)3 + 3 [(a1b2) – (a2b1)]
Matriks Kofaktor A Transpose [kof(A)T]
Transpose dari matriks kofaktor A diperoleh dengan cara mengubah baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Perhatikan cara berikut.
kof(A)
|
=
|
K11
|
K12
|
K13
|
K21
|
K22
|
K23
| ||
K31
|
K32
|
K33
|
[kof(A)]T
|
=
|
K11
|
K21
|
K31
|
K12
|
K22
|
K32
| ||
K13
|
K23
|
K33
|
Dengan demikian, nilai adjoin dari matriks A adalah sebagai berikut
Adj A = (matriks kofaktor A)T
Adj A
|
=
|
K11
|
K21
|
K31
|
K12
|
K22
|
K32
| ||
K13
|
K23
|
K33
|
