Kumpulan Contoh Soal SPLDV, SPLTV, SPLK, SPKK dan Jawabannya

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Dalam metematika kita mengenal beberapa jenis sistem persamaan, yaitu Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV), Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV), Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK), dan Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK). Nah, pada kesempatan kali ini kita akan menyajikan kumpulan contoh soal dan pembahasan dari keempat macam sistem persamaan tersebut. Silahkan disimak baik-baik.

#1 Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

1. Dengan menggunakan metode subtitusi, tentukanlah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut ini.

2x – 3y = 7

3x + 2y = 4

Jawab

2x – 3y = 7 ………. Pers. (7)

3x + 2y = 4 ………. Pers. (8)

Dari persamaan (7) kita peroleh persamaan x sebagai berikut.

⇔	2x – 3y	=	7
⇔	2x	=	7 + 3y
⇔	x	=	7 + 3y
			2

Subtitusikan persamaan x ke dalam persamaan (8) sebagai berikut.

⇔	3	(	7 + 3y	)	+	2y	=	4
			2
⇔	3(7 + 3y) + 4y						=	8 (kedua ruas dikali 2)
⇔	21 + 9y + 4y						=	8
⇔	21 + 13y						=	8
⇔	13y						=	8 – 21
⇔	13y						=	-13
⇔	y						=	-1

Untuk menentukan nilai x, kita subtitusikan nilai y ke persamaan (7) atau persamaan (8) sebagai berikut.

⇔ 2x – 3(-1) = 7

⇔ 2x + 3 = 7

⇔ 2x = 7 – 3

⇔ 2x = 4

⇔ x = 2

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah {(2, -1)}.

2. Dengan menggunakan metode eliminasi, carilah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini.

x – 2	+	y	=	3
4

x	+	y + 4	=	8
		3

Jawab

Kedua bentuk SPLDV di atas belum baku, karena itu, perlu diubah terlebih dahulu menjadi bentuk baku. Caranya adalah persamaan pertama kita kalikan 4 pada kedua ruasnya sedangkan persamaan kedua kita kalian 3 pada kedua ruasnya, sehingga menghasilkan persamaan berikut ini.

Persamaan pertama:

x – 2 + 4y = 12

x + 4y = 12 + 2

x + 4y = 14

Persamaan kedua:

3x + y + 4 = 24

3x + y = 24 – 4

3x + y = 20

Dengan demikian, sistem persamaan semula ekuivalen dengan SPLDV berikut ini.

x + 4y = 14

3x + y = 20

Selanjutnya, SPLDV yang terakhir ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metode eliminasi yaitu sebagai berikut:

Untuk mengeliminasi x, maka kalikan persamaan pertama dengan 3 agar koefisien x kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai y sebagai berikut.

x + 4y	=	14	|× 3|	→	3x + 12y	=	42
3x + y	=	20	|× 1|	→	3x + y	=	20	−
					11y	=	22
					y	=	2

Untuk mengeliminasi y, maka kalikan persamaan kedua dengan 4 agar koefisien y kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai x sebagai berikut.

x + 4y	=	14	|× 1|	→	x + 4y	=	14
3x + y	=	20	|× 4|	→	12x + 4y	=	80	−
					-11x	=	-66
					x	=	6

Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = 6 dan y = 2 sehingga himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah {(6, 2)}.

3. Dengan menggunakan metode campuran atau gabungan, carilah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini.

x – 2	+	y	=	3
4

x	+	y + 4	=	8
		3

Jawab

Kedua bentuk SPLDV di atas belum baku, karena itu, perlu diubah terlebih dahulu menjadi bentuk baku. Caranya adalah persamaan pertama kita kalikan 4 pada kedua ruasnya sedangkan persamaan kedua kita kalian 3 pada kedua ruasnya, sehingga menghasilkan persamaan berikut ini.

Persamaan pertama:

x – 2 + 4y = 12

x + 4y = 12 + 2

x + 4y = 14

Persamaan kedua:

3x + y + 4 = 24

3x + y = 24 – 4

3x + y = 20

Dengan demikian, sistem persamaan semula ekuivalen dengan SPLDV berikut ini.

x + 4y = 14

3x + y = 20

Selanjutnya, SPLDV yang terakhir ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metode eliminasi yaitu sebagai berikut:

Untuk mengeliminasi x, maka kalikan persamaan pertama dengan 3 agar koefisien x kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai y sebagai berikut.

x + 4y	=	14	|× 3|	→	3x + 12y	=	42
3x + y	=	20	|× 1|	→	3x + y	=	20	−
					11y	=	22
					y	=	2

Langkah terakhir, untuk mencari nilai x, kita subtitusikan nilai y = 2 ke persamaan x + 4y = 14, sehingga kita peroleh hasil sebagai berikut.

x + 4y = 14

x + 4(2) = 14

x + 8 = 14

x = 14 – 8

x = 6

Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = 6 dan y = 2 sehingga himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah {(6, 2)}.

#2 Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

1. Dengan menggunakan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut ini.

x + 3y + 2z = 16

2x + 4y – 2z = 12

x + y + 4z = 20

Jawab:

Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana adalah x sehingga kita akan mengeliminasi x terlebih dulu. Untuk menghilangkan variabel x, maka kita harus samakan koefisien masing-masing x dari ketiga persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.

x + 3y + 2z = 16 → koefisien x = 1

2x + 4y – 2z = 12 → koefisien x = 2

x + y + 4z = 20 → koefisien x = 1

Agar ketiga koefisien x sama, maka kita kalikan persamaan pertama dan persamaan ketiga dengan 2 sedangkan persamaan kedua kita kalikan 1. Prosesnya adalah sebagai berikut.

x + 3y + 2z	=	16	|× 2|	→	2x + 6y + 4z	=	32
2x + 4y – 2z	=	12	|× 1|	→	2x + 4y – 2z	=	12
x + y + 4z	=	20	|× 2|	→	2x + 2y + 8z	=	40

Setelah koefisien x ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel x hilang. Prosesnya seperti di bawah ini.

■ Dari persamaan pertama dan kedua:

2x + 6y + 4z	=	32
2x + 4y – 2z	=	12	−
2y + 6z	=	20

■ Dari persamaan kedua dan ketiga:

2x + 4y – 2z	=	12
2x + 2y + 8z	=	40	−
2y – 10z	=	–28

Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.

2y + 6z = 20

2y – 10z = –28

Langkah selanjutnya adalah kita selesaikan SPLDV di atas dengan metode eliminasi. Pertama, kita tentukan nilai y dengan mengeliminasi z. Untuk dapat mengeliminasi variabel z, maka kita harus menyamakan koefisien z dari kedua persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.

2y + 6z = 20 → koefisien z = 6

2y – 10z = –28 → koefisien z = –10

Agar kedua koefisien z sama, maka persamaan pertama kita kali dengan 5 sedangkan persamaan kedua kita kali dengan 3. Setelah itu, kedua persamaan kita jumlahkan. Prosesnya adalah sebagai berikut.

2y + 6z	=	20	|× 5|	→	10y + 30z	=	100
2y – 10z	=	–28	|× 3|	→	6y – 30z	=	–84	+
					16y	=	16
					y	=	1

Kedua, kita tentukan nilai z dengan mengeliminasi y. Untuk dapat mengeliminasi variabel y, maka kita juga harus menyamakan koefisien y dari kedua persamaan. Berhubung koefisien y kedua persamaan sudah sama, maka kita bisa langsung mengurangkan kedua persamaan tersebut. Prosesnya adalah sebagai berikut.

2y + 6z	=	20
2y – 10z	=	–28	−
16z	=	48
z	=	3

Sampai pada tahap ini kita sudah memperoleh nilai y = 1 dan z = 3. Langkah terakhir, untuk mendapatkan nilai x, kita subtitusikan nilai y dan z tersebut ke dalam salah satu SPLTV, misalnya persamaan x + y + 4z = 20 sehingga kita peroleh:

⇒ x + y + 4z = 20

⇒ x + 1 + 4(3) = 20

⇒ x + 1 + 12 = 20

⇒ x + 13 = 20

⇒ x = 20 – 13

⇒ x = 7

Dengan demikian kita peroleh nilai x = 7, y = 1 dan z = 3 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(7, 1, 3)}.

2. Dengan menggunakan metode determinan, tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini.

2x + y + z = 12

x + 2y – z = 3

3x – y + z = 11

Jawab:

■ Mengubah SPLTV ke bentuk matriks

Pertama, kita ubah sistem persamaan yang ditanyakan dalam soal ke bentuk matriks berikut.

2	1	1		x	=	12
1	2	−1		y		3
3	−1	1		z		11

Kedua, kita tentukan nilai D, Dx, Dy dan Dz dengan ketentuan seperti pada langkah-langkah di atas.

■ Menentukan nilai D

D	=	2	1	1	2	1
		1	2	−1	1	2
		3	−1	1	3	−1

D = [(2)(2)(1) + (1)(−1)(3) + (1)(1)(−1)] – [(3)(2)(1) + (−1)(−1)(2) + (1)(1)(1)]

D = [4 – 3 – 1] − [6 + 2 + 1]

D = 0 − 9

D = −9

■ Menentukan nilai Dx

Dx	=	12	1	1	12	1
		3	2	−1	3	2
		11	−1	1	11	−1

Dx = [(12)(2)(1) + (1)(−1)(11) + (1)(3)(−1)] – [(11)(2)(1) + (−1)(−1)(12) + (1)(3)(1)]

Dx = [24 – 11 – 3] − [22 + 12 + 3]

Dx = 10 − 37

Dx = −27

■ Menentukan nilai Dy

Dy	=	2	12	1	2	12
		1	3	−1	1	3
		3	11	1	3	11

Dy = [(2)(3)(1) + (12)(−1)(3) + (1)(1)(11)] – [(3)(3)(1) + (11)(−1)(2) + (1)(1)(12)]

Dy = [6 – 36 + 11] − [9 − 22 + 12]

Dy = −19 – (–1)

Dy = −18

■ Menentukan nilai Dz

Dz	=	2	1	12	2	1
		1	2	3	1	2
		3	−1	11	3	−1

Dz = [(2)(2)(11) + (1)(3)(3) + (12)(1)(−1)] – [(3)(2)(12) + (−1)(3)(2) + (11)(1)(1)]

Dz = [44 + 9 – 12] − [72 − 6 + 11]

Dz = 41 − 77

Dz = −36

■ Menentukan nilai x, y, z

Setelah nilai D, Dx, Dy, dan Dz kita peroleh, langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z menggunakan rumus berikut ini.

x	=	Dx	=	−27	=	3
		D		−9

y	=	Dy	=	−18	=	2
		D		−9

z	=	Dz	=	−36	=	4
		D		−9

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear 3 variabel di atas adalah HP = {(3, 2, 4)}.

#3 Contoh Soal Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK)

1. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.

x + y – 1 = 0 ……….bagian linear

x2 + y2 – 25 = 0 …..bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan

Jawab:

Pada bagian persamaan linear, kita nyatakan y dalam x yaitu sebagai berikut.

⇒ x + y – 1 = 0

⇒ y = 1 – x

Lalu subtitusikan persamaan y = 1 – x ke persamaan kuadrat x2 + y2 – 25 = 0, sehingga kita peroleh:

⇒ x2 + y2 – 25 = 0

⇒ x2 + (1 – x)2 – 25 = 0

⇒ x2 + 1 – 2x + x2 – 25 = 0

⇒ 2x2 – 2x – 24 = 0

⇒ x2 – x – 12 = 0

⇒ (x + 3)(x – 4) = 0

⇒ x = −3 atau x = 4

Setelah nilai-nilai x kita peroleh, selanjutnya subtitusikan x = −3 atau x = 4 ke persamaan linear x + y – 1 = 0 yaitu sebagai berikut.

● untuk x = −3 diperoleh:

⇒ x + y – 1 = 0

⇒ −3 + y – 1 = 0

⇒ y – 4 = 0

⇒ y = 4

Kita peroleh himpunan penyelesaian (−3, 4).

● untuk x = 4 diperoleh:

⇒ x + y – 1 = 0

⇒ 4 + y – 1 = 0

⇒ y + 3  = −3

⇒ y = 4

Kita peroleh himpunan penyelesaian (4, −3).

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(−3, 4), (4, −3)}. Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPLK tersebut dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong garis x + y = 1 dengan lingkaran x2 + y2 = 25. Perhatikan gambar berikut ini.

2. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.

2x + 3y = 8

4x2 – 12xy + 9y2 = 16

Jawab:

Bagian kuadrat dapat difaktorkan sebagai berikut.

⇒ 4x2 – 12xy + 9y2 = 16

⇒ (2x – 3y)2 – 16 = 0

⇒ (2x – 3y + 4)(2x – 3y – 4) = 0

⇒ 2x – 3y + 4 = 0 atau 2x – 3y – 4 = 0

Jika hasil ini digabungkan dengan persamaan linear semula, maka akan diperoleh dua SPLDV, yaitu sebagai berikut.

2x + 3y = 8	………. SPLDV pertama
2x – 3y + 4 = 0

2x + 3y = 8	………. SPLDV kedua
2x – 3y – 4 = 0

Selanjutnya masing-masing SPLDV itu diselesaiakan dengan menggunakan salah satu dari metode penyelesaian SPLDV yang telah dibahas dalam artikel sebelumnya. Sebagai contoh, kita gunakan metode gabungan.

Menyelesaikan SPLDV  pertama

Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan 2x + 3y = 8 dan 2x – 3y + 4 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.

2x + 3y	=	8
2x – 3y	=	–4	−
6y	=	12
y	=	2

Kemudian subtitusikan nilai y = 2 ke persamaan 2x + 3y = 8 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.

⇒ 2x + 3(2) = 8

⇒ 2x + 6 = 8

⇒ 2x = 8 – 6

⇒ 2x = 2

⇒ x = 1

Dengan demikian, SPLDV pertama ini memberikan penyelesaian (1, 2).

Menyelesaikan SPLDV  Kedua

Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan 2x + 3y = 8 dan 2x – 3y – 4 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.

2x + 3y	=	8
2x – 3y	=	4	−
6y	=	4
y	=	4/6
y	=	2/3

Kemudian subtitusikan nilai y = 2/3 ke persamaan 2x + 3y = 8 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.

⇒ 2x + 3(2/3) = 8

⇒ 2x + 6/3 = 8

⇒ 2x + 2 = 8

⇒ 2x = 8 – 2

⇒ 2x = 6

⇒ x = 3

Dengan demikian, SPLDV pertama ini memberikan penyelesaian (3, 2/3).

Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah {(1, 2), (3, 2/3)}.

#4 Contoh Soal Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK)

1. Misalkan diketahui SPKK berikut ini.

y = 3x2 + m

y = x2 – 2x – 8

■ Tentukan nilai m agar SPKK tepat mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.

■ Tentukan himpunan penyelesaian yang dimaksud itu.

Jawab:

Banyaknya anggota himpunan penyelesaian dari suatu SPKK ditentukan berdasarkan nilai diskriminan, dengan kriteria sebagai berikut.

1	Jika D > 0, SPKK mempunyai dua himpunan penyelesaian (parabola berpotongan di dua titik).
2	Jika D = 0, SPKK mempunyai satu himpunan penyelesaian (parabola berpotongan di satu titik atau saling bersinggungan).
3	Jika D < 0, SPKK tidak mempunyai himpunan penyelesaian (parabola tidak berpotongan atau bersinggungan).

Dengan demikian, agar SPKK tersebut tepat memiliki satu himpunan penyelesaian maka nilai diskriminan dari persamaan kuadrat gabungan harus sama dengan nol. Persamaan kuadrat gabungan didapat dengan mensubtitusikan persamaan kuadrat y = 3x2 + m ke persamaan kuadrat y = x2 – 2x – 8 sehingga diperoleh:

⇒ 3x2 + m = x2 – 2x – 8

⇒ 3x2 – x2 + 2x + 8 + m = 0

⇒ 2x2 + 2x + (8 + m) = 0

Dari sini kita peroleh persamaan kuadra gabungan, dengan nilai a = 2, b = 2 dan c = 8 + m. Agar persamaan kuadrat ini hanya memiliki satu himpunan penyelesaian maka D = 0, sehingga:

⇒ b2 – 4ac = 0

⇒ (2)2 – 4(2)(8 + m) = 0

⇒ 4 – 8(8 + m) = 0

⇒ 4 – 64 – 8m = 0

⇒ –60 – 8m = 0

⇒ 8m = –60

⇒ m = –60/8

⇒ m = –15/2

⇒ m = –7,5

Dengan demikian nilai m adalah –7,5.

Sekarang masukkan nilai m yang telah diperoleh ke persamaan kuadrat gabungan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut.

⇒ 2x2 + 2x + (8 + m) = 0

⇒ 2x2 + 2x + ((8 + (–7,5)) = 0

⇒ 2x2 + 2x + 0,5 = 0

Untuk menghilangkan desimal, kedua ruas kita kalian 2

⇒ 4x2 + 4x + 1 = 0

Kemudian, kita faktorkan untuk memperoleh nilai x

⇒ (2x + 1)2 = 0

⇒ (2x + 1) = 0

⇒ 2x = −1

⇒ x = −1/2

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = −1/2 ke persamaan y = x2 – 2x – 8 sehingga diperoleh:

⇒ y = x2 – 2x – 8

⇒ y = (−1/2)2 – 2(−1/2) – 8

⇒ y = 1/4 + 1 – 8

⇒ y = 1/4 –7

⇒ y = −27/4

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah {(−1/2, −27/4)}.

2. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = −2x2

y = x2 + 2x + 1

Jawab:

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = −2x2 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 + 2x + 1 sehingga diperoleh:

⇒ −2x2 = x2 + 2x + 1

⇒ 2x2 + x2 + 2x + 1 = 0

⇒ 3x2 + 2x + 1 = 0

Persamaan kuadrat ini tidak mempunyai akar real karena nilai diskriminannya adalah bilangan negatif. Perhatikan perhitungan berikut ini.

D = b2 – 4ac

Dengan a = 3, b = 2 dan c = 1 sehingga:

⇒ D = (2)2 – 4(3)(1)

⇒ D = 4 – 12

⇒ D = –8

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah himpunan kosong atau ditulis sebagai {∅}. Tafsiran geometrisnya adalah grafik parabola y = −2x2 dan y = x2 + 2x + 1 tidak berpotongan dan tidak bersinggungan seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut ini.