Cara Menentukan Penyelesaian SPLTV Metode Invers Matriks

Daftar Materi Matematika

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel atau disingkat SPLTV dapat dicari dengan beberapa cara, di antaranya adalah dengan menggunakan:

■ Metode subtitusi

■ Metode eliminasi

■ Metode gabungan atau campuran

■ Metode determinan

■ Metode invers matriks

Nah, pada kesempatan kali ini, kita akan belajar tentang cara menentukan himpunan penyelesaian (HP) sistem persamaan linear 3 variabel dengan menggunakan metode invers matriks. Namun sebelum itu, tahukah kalian apa itu invers matriks? Berikut ini penjelasan singkat mengenai invers matriks.

Pengertian Invers Matriks

Jika A dan B adalah matriks persegi dan berlaku A . B = B . A = 1, maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A atau ditulis B = A-1. Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular. Sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular. Untuk mencari invers matriks persegi berordo 3×3, coba kalian perhatikan contoh berikut ini.

Jika A	=	a1	b1	c1	Dengan det A ≠ 0
		a2	b2	c2
		a3	b3	c3

Maka invers dari matriks A (ditulis A-1) dirumuskan sebagai berikut.

A-1 = (1/determinan A)(adjoin A)

A-1	=	1	adj	a1	b1	c1
				a2	b2	c2
		det A
				a3	b3	c3

Jika det A = 0, maka matriks tersebut tidak mempunyai invers atau disebut matriks singular. Untuk menentukan nilai determinan dan adjoin dari matriks A dapat digunakan cara berikut.

Determinan matriks A

■ Dari matriks A tambahkan 2 kolom di sebalah kanan. Kolom keempat berisi elemen dari kolom pertama, sedangkan kolom kelima berisi elemen dari kolom kedua matriks A. Sehingga matriks A menjadi seperti berikut.

A	=	a1	b1	c1	a1	b1
		a2	b2	c2	a2	b2
		a3	b3	c3	a3	b3

■ Kemudian kalikan elemennya secara diagonal, pertama kalikan searah sejajar dengan diagonal utama. Ada tiga hasil perkaliannya, yaitu a1b2c3, b1c2a3, dan c1a2b3. Ketiga hasil perkalian elemen matriks tersebut bertanda positif. Perhatika diagram perkalian matriks berikut ini.

	+	+	+
A	=	a1	b1	c1	a1	b1
		a2	b2	c2	a2	b2
		a3	b3	c3	a3	b3

■ Setelah itu, kalian searah dengan sejajar diagonal samping. Ada tiga hasil perkaliannya, yaitu a3b2c1, b3c2a1, dan c3a2b1. Ketiga hasil perkalian elemen matriks ini bertanda negatif. Perhatikan diagram perkalian matriks berikut.

					−	−	−
A	=	a1	b1	c1	a1	b1
		a2	b2	c2	a2	b2
		a3	b3	c3	a3	b3

■ Determinan dari matriks A adalah jumlah semua hasil perkalian bertandanya yakni:

det A = (a1b2c3) + (b1c2a3) + (c1a2b3) + (−a3b2c1) + (−b3c2a1) + (−c3a2b1)

det A = (a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)

Adjoin matriks A

Untuk menentukan nilai adjoin matriks A digunakan rumus berikut.

Adj A = (matriks kofaktor A)T

Jadi sebelum dapat menentukan nilai adjoin, kita harus menentukan dahulu matriks kofaktor A yang ditranspose.

Matriks Kofaktor A [kof(A)]

Elemen-elemen matriks kofaktor A adalah sebagai berikut.

kof(A)	=	K11	K12	K13
		K21	K22	K23
		K31	K32	K33

Kesembilan elemen K tersebut dapat tentukan dengan menggunakan minor-kofaktor yang dirumuskan sebagai berikut.

K11 = (−1)1 + 1 M11

M11 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris dan kolom pertama matriks A.

M11	=	a1	b1	c1
		a2	b2	c2
		a3	b3	c3

M11	=	b2	c2	=	(b2c3) – (b3c2)
		b3	c3

Dengan demikian, nilai dari K11 adalah sebagai berikut.

K11 = (−1)1 + 1 [(b2c3) – (b3c2)]

K12 = (−1)1 + 2 M12

M12 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom kedua matriks A.

M12	=	a1	b1	c1
		a2	b2	c2
		a3	b3	c3

M12	=	a2	c2	=	(a2c3) – (a3c2)
		a3	c3

Dengan demikian, nilai dari K12 adalah sebagai berikut.

K12 = (−1)1 + 2 [(a2c3) – (a3c2)]

K13 = (−1)1 + 3 M13

M13 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom ketiga matriks A.

M13	=	a1	b1	c1
		a2	b2	c2
		a3	b3	c3

M13	=	a2	b2	=	(a2b3) – (a3b2)
		a3	b3

Dengan demikian, nilai dari K13 adalah sebagai berikut.

K13 = (−1)1 + 3 [(a2b3) – (a3b2)]

K21 = (−1)2 + 1 M21

M21 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom pertama matriks A.

M21	=	a1	b1	c1
		a2	b2	c2
		a3	b3	c3

M21	=	b1	c1	=	(b1c3) – (b3c1)
		b3	c3

Dengan demikian, nilai dari K21 adalah sebagai berikut.

K21 = (−1)2 + 1 [(b1c3) – (b3c1)]

K22 = (−1)2 + 2 M22

M22 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom kedua matriks A.

M22	=	a1	b1	c1
		a2	b2	c2
		a3	b3	c3

M22	=	a1	c1	=	(a1c3) – (a3c1)
		a3	c3

Dengan demikian, nilai dari K22 adalah sebagai berikut.

K22 = (−1)2 + 2 [(a1c3) – (a3c1)]

K23 = (−1)2 + 3 M23

M23 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom ketiga matriks A.

M23	=	a1	b1	c1
		a2	b2	c2
		a3	b3	c3

M23	=	a1	b1	=	(a1b3) – (a3b1)
		a3	b3

Dengan demikian, nilai dari K23 adalah sebagai berikut.

K23 = (−1)2 + 3 [(a1b3) – (a3b1)]

K31 = (−1)3+ 1 M31

M31 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom pertama matriks A.

M31	=	a1	b1	c1
		a2	b2	c2
		a3	b3	c3

M31	=	b1	c1	=	(b1c2) – (b2c1)
		b2	c2

Dengan demikian, nilai dari K31 adalah sebagai berikut.

K31 = (−1)3 + 1 [(b1c2) – (b2c1)]

K32 = (−1)3+ 2 M32

M32 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom kedua matriks A.

M32	=	a1	b1	c1
		a2	b2	c2
		a3	b3	c3

M32	=	a1	c1	=	(a1c2) – (a2c1)
		a2	c2

Dengan demikian, nilai dari K32 adalah sebagai berikut.

K32 = (−1)3 + 2 [(a1c2) – (a2c1)]

K33 = (−1)3+ 3 M33

M33 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom ketiga matriks A.

M33	=	a1	b1	c1
		a2	b2	c2
		a3	b3	c3

M33	=	a1	b1	=	(a1b2) – (a2b1)
		a2	b2

Dengan demikian, nilai dari K33 adalah sebagai berikut.

K33 = (−1)3 + 3 [(a1b2) – (a2b1)]

Matriks Kofaktor A Transpose [kof(A)T]

Transpose dari matriks kofaktor A diperoleh dengan cara mengubah baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Perhatikan cara berikut.

kof(A)	=	K11	K12	K13
		K21	K22	K23
		K31	K32	K33

[kof(A)]T	=	K11	K21	K31
		K12	K22	K32
		K13	K23	K33

Dengan demikian, nilai adjoin dari matriks A adalah sebagai berikut

Adj A = (matriks kofaktor A)T

Adj A	=	K11	K21	K31
		K12	K22	K32
		K13	K23	K33

Penyelesaian SPLTV dengan Invers Matriks

Invers matrik dapat digunakan untuk mempermudah dalam menentukan himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear baik itu dua variabel maupun tiga variabel. Untuk menentukan penyelesaian SPLTV dengan invers matriks, terlebih dahulu kita ubah bentuk umum SPLTV menjadi bentuk matriks. Perhatikan penjelasan berikut.

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah sebagai berikut.

a1x + b1y + c1z = d1 …………… Pers. (1)

a2x + b2y + c2z = d2 …………… Pers. (2)

a3x + b3y + c3z = d3 …………… Pers. (3)

Persamaan (1), (2), dan (3) di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti di bawah ini.

AX = B

Matriks A memuat koefisien-koefisien ketiga persamaan. Matriks X memuat variabel x, y, dan z. Sedangkan matriks B memuat konstanta-konstanta ketiga persamaan linear. Dengan demikian, bentuk matriks AX = B adalah sebagai berikut.

a1	b1	c1	x	=	d1
a2	b2	c2	y		d2
a3	b3	c3	z		d3

Tujuan menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel adalah untuk menentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi persamaan tersebut. Oleh karena itu, bentuk matriks AX = B harus kita ubah menjadi bentuk invers seperti berikut.

AX = B

X = A-1B

A-1 merupakan invers matriks A. Dengan menggunakan rumus invers matriks di atas, maka bentuk matriks dari X = A-1B adalah sebagai berikut.

x	=	1	K11	K21	K31	d1
y			K12	K22	K32	d2
		(a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) – (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
z			K13	K23	K33	d3

Nah, rumus inilah yang digunakan untuk menentukan nilai x, y, dan z dari sistem persamaan linear tiga variabel.

Contoh Soal

Blog Matematika

Pages

Labels

Cara Menentukan Penyelesaian SPLTV Metode Invers Matriks

Daftar Materi Matematika

Post a Comment

Materi Terbaru