Cara Menentukan Penyelesaian SPLTV Metode Eliminasi

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel atau disingkat SPLTV dapat dicari dengan beberapa cara, di antaranya adalah dengan menggunakan:

■ Metode subtitusi

■ Metode eliminasi

■ Metode gabungan atau campuran

■ Metode determinan

■ Metode invers matriks

Nah, pada kesempatan kali ini, kita akan belajar tentang cara menentukan himpunan penyelesaian (HP) sistem persamaan linear 3 variabel dengan menggunakan metode eliminasi. Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLTV dengan metode eliminasi adalah sebagai berikut.

Langkah 1:

Pilih bentuk peubah (variabel) yang paling sederhana.

Langkah 2:

Eliminasi atau hilangkan salah satu peubah (misal x) sehingga diperoleh SPLDV.

Langkah 3:

Eliminasi salah satu peubah SPLDV (misal y) sehingga diperoleh nilai salah satu peubah.

Langkah 4:

Eliminasi peubah lainnya (yaitu z) untuk memperoleh nilai peubah yang kedua.

Langkah 5:

Tentukan nilai peubah ketiga (yaitu x) berdasarkan nilai (y dan z) yang diperoleh.

Supaya kalian lebih memahami bagaimana caranya menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan menggunakan metode eliminasi, silahkan kalian pelajari beberapa contoh soal dan pembahasannya berikut ini.

Contoh Soal 1

Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLTV berikut dengan menggunakan metode eliminasi.

2x – y + z = 6

x – 3y + z = –2

x + 2y – z = 3

Jawab:

Langkah pertama, kita tentukan variabel apa yang akan kita elminasi terlebih dahulu. Supaya mudah, lihat peubah yang paling sederhana. Pada tiga persamaan di atas, peubah yang paling sederhana adalah peubah z sehingga kita akan mengeliminasi z terlebih dahulu.

Untuk menghilangkan variabel z, kita harus menyamakan koefisiennya. Berhubung koefisien z dari ketiga SPLTV sudah sama yaitu 1, maka langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga peubah z hilang. Prosesnya seperti di bawah ini.

■ Dari persamaan pertama dan kedua:

2x – y + z	=	6
x – 3y + z	=	–2	−
x + 2y	=	8

■ Dari persamaan kedua dan ketiga:

x – 3y + z	=	–2
x + 2y – z	=	3	+
2x – y	=	1

Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.

x + 2y = 8

2x – y = 1

Langkah selanjutnya adalah kita selesaikan SPLDV di atas dengan metode eliminasi. Pertama, kita tentukan nilai x dengan mengeliminasi y. Untuk dapat mengeliminasi variabel y, maka kita harus menyamakan koefisien y dari kedua persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.

x + 2y = 8 → koefisien y = 2

2x – y = 1 → koefisien y = –1

Agar kedua koefisien y sama, maka persamaan pertama kita kali dengan 1 sedangkan persamaan kedua kita kali dengan 2. Setelah itu, kedua persamaan kita jumlahkan. Prosesnya adalah sebagai berikut.

x + 2y	=	8	|× 1|	→	x + 2y	=	8
2x – y	=	1	|× 2|	→	4x – 2y	=	2	+
					5x	=	10
					x	=	2

Kedua, kita tentukan nilai y dengan mengeliminasi x. Untuk dapat mengeliminasi peubah x, maka kita juga harus menyamakan koefisien x dari kedua persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.

x + 2y = 8 → koefisien x = 1

2x – y = 1 → koefisien x = 2

Agar kedua koefisien x sama, maka persamaan pertama kita kali 2 sedangkan persamaan kedua kita kali 1. Setelah itu, kedua persamaan kita selisihkan. Prosesnya adalah sebagai berikut.

x + 2y	=	8	|× 2|	→	2x + 4y	=	16
2x – y	=	1	|× 1|	→	2x – y	=	1	−
					5y	=	15
					y	=	3

Sampai pada tahap ini kita sudah memperoleh nilai x = 2 dan y = 3. Langkah terakhir, untuk mendapatkan nilai z, kita subtitusikan nilai x dan y tersebut ke dalam salah satu SPLTV, misalnya persamaan 2x – y + z = 6 sehingga kita peroleh:

⇒ 2x – y + z = 6

⇒ 2(2) – 3 + z = 6

⇒ 4 – 3 + z = 6

⇒ 1 + z = 6

⇒ z = 6 – 1

⇒ z = 5

Dengan demikian kita peroleh nilai x = 2, y = 3 dan z = 5 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(2, 3, 5)}.

Contoh Soal 2

Dengan menggunakan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut ini.

x + 3y + 2z = 16

2x + 4y – 2z = 12

x + y + 4z = 20

Jawab:

Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana adalah x sehingga kita akan mengeliminasi x terlebih dulu. Untuk menghilangkan variabel x, maka kita harus samakan koefisien masing-masing x dari ketiga persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.

x + 3y + 2z = 16 → koefisien x = 1

2x + 4y – 2z = 12 → koefisien x = 2

x + y + 4z = 20 → koefisien x = 1

Agar ketiga koefisien x sama, maka kita kalikan persamaan pertama dan persamaan ketiga dengan 2 sedangkan persamaan kedua kita kalikan 1. Prosesnya adalah sebagai berikut.

x + 3y + 2z	=	16	|× 2|	→	2x + 6y + 4z	=	32
2x + 4y – 2z	=	12	|× 1|	→	2x + 4y – 2z	=	12
x + y + 4z	=	20	|× 2|	→	2x + 2y + 8z	=	40

Setelah koefisien x ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel x hilang. Prosesnya seperti di bawah ini.

■ Dari persamaan pertama dan kedua:

2x + 6y + 4z	=	32
2x + 4y – 2z	=	12	−
2y + 6z	=	20

■ Dari persamaan kedua dan ketiga:

2x + 4y – 2z	=	12
2x + 2y + 8z	=	40	−
2y – 10z	=	–28

Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.

2y + 6z = 20

2y – 10z = –28

Langkah selanjutnya adalah kita selesaikan SPLDV di atas dengan metode eliminasi. Pertama, kita tentukan nilai y dengan mengeliminasi z. Untuk dapat mengeliminasi variabel z, maka kita harus menyamakan koefisien z dari kedua persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.

2y + 6z = 20 → koefisien z = 6

2y – 10z = –28 → koefisien z = –10

Agar kedua koefisien z sama, maka persamaan pertama kita kali dengan 5 sedangkan persamaan kedua kita kali dengan 3. Setelah itu, kedua persamaan kita jumlahkan. Prosesnya adalah sebagai berikut.

2y + 6z	=	20	|× 5|	→	10y + 30z	=	100
2y – 10z	=	–28	|× 3|	→	6y – 30z	=	–84	+
					16y	=	16
					y	=	1

Kedua, kita tentukan nilai z dengan mengeliminasi y. Untuk dapat mengeliminasi variabel y, maka kita juga harus menyamakan koefisien y dari kedua persamaan. Berhubung koefisien y kedua persamaan sudah sama, maka kita bisa langsung mengurangkan kedua persamaan tersebut. Prosesnya adalah sebagai berikut.

2y + 6z	=	20
2y – 10z	=	–28	−
16z	=	48
z	=	3

Sampai pada tahap ini kita sudah memperoleh nilai y = 1 dan z = 3. Langkah terakhir, untuk mendapatkan nilai x, kita subtitusikan nilai y dan z tersebut ke dalam salah satu SPLTV, misalnya persamaan x + y + 4z = 20 sehingga kita peroleh:

⇒ x + y + 4z = 20

⇒ x + 1 + 4(3) = 20

⇒ x + 1 + 12 = 20

⇒ x + 13 = 20

⇒ x = 20 – 13

⇒ x = 7

Dengan demikian kita peroleh nilai x = 7, y = 1 dan z = 3 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(7, 1, 3)}.