Contoh Soal dan Pembahasan SPLTV Metode Invers Matriks
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/11/contoh-soal-penyelesaian-SPLTV-metode-invers-matriks.html
Daftar Materi Matematika
Advertisement
Dengan menggunakan metode invers matriks, tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut ini.
2x + y – z = 1
x + y + z = 6
x – 2y + z = 0
Penyelesaian:
Pertama, kita buat nama yang spesifik dari ketiga sistem persamaan linear di atas, yaitu sebagai berikut.
2x + y – z = 1 …………… Pers. (1)
x + y + z = 6 …….……… Pers. (2)
x – 2y + z = 0 …………… Pers. (3)
Kemudian, persamaan (1), (2), dan (3) kita susun dalam bentuk matriks berikut.
AX = B
Matriks A memuat koefisien-koefisien ketiga persamaan. Matriks X memuat variabel x, y, dan z. Sedangkan matriks B memuat konstanta-konstanta ketiga persamaan linear. Dengan demikian, bentuk matriks AX = B adalah sebagai berikut.
2
|
1
|
−1
|
x
|
=
|
1
| |
1
|
1
|
1
|
y
|
6
| ||
1
|
−2
|
1
|
z
|
0
|
Untuk menentukan nilai x, y, dan z maka bentuk matriks AX = B harus kita ubah menjadi bentuk invers seperti berikut.
AX = B
X = A-1B
Matriks dari A-1 dirumuskan sebagai berikut.
A-1 = (1/determinan A)(adjoin A)
A-1
|
=
|
1
|
adj
|
a1
|
b1
|
c1
|
a2
|
b2
|
c2
| ||||
det A
| ||||||
a3
|
b3
|
c3
|
Sampai tahap ini, kita harus menentukan nilai dari determinan matriks A dan juga adjoin matriks A. Penjelasannya adalah sebagai berikut.
Menentukan determinan matriks A
Dari matriks A tambahkan 2 kolom di sebalah kanan. Kolom keempat berisi elemen dari kolom pertama, sedangkan kolom kelima berisi elemen dari kolom kedua matriks A. Sehingga matriks A menjadi seperti berikut.
A
|
=
|
2
|
1
|
−1
|
2
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
| ||
1
|
−2
|
1
|
1
|
−2
|
Dari bentuk matrik di atas, nilai determinan dari matriks A adalah sebagai berikut.
det A = [(2)(1)(1) + (1)(1)(1) + (−1)(1)(−2)] – [(1)(1)(−1) + (−2)(1)(2) + (1)(1)(1)]
det A = [2 + 1 + 2] – [−1 – 4 + 1]
det A = 5 – (−4)
det A = 9
Adjoin matriks A
Untuk menentukan adjoin matriks A digunakan rumus berikut.
Adj A = (matriks kofaktor A)T
Jadi sebelum dapat menentukan adjoin matriks, kita harus menentukan dahulu matriks kofaktor A yang ditranspose.
Menentukan matriks kofaktor A [kof(A)]
Elemen-elemen matriks kofaktor A adalah sebagai berikut.
kof(A)
|
=
|
K11
|
K12
|
K13
|
K21
|
K22
|
K23
| ||
K31
|
K32
|
K33
|
Kesembilan elemen K tersebut dapat tentukan dengan menggunakan minor-kofaktor yang dirumuskan sebagai berikut.
K11 = (−1)1 + 1 M11
M11 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris dan kolom pertama matriks A.
M11
|
=
|
2
|
1
|
−1
|
1
|
1
|
1
| ||
1
|
−2
|
1
|
M11
|
=
|
1
|
1
|
=
|
[(1)(1)] – [(−2)(1)]
|
=
|
3
|
−2
|
1
|
Dengan demikian, nilai dari K11 adalah sebagai berikut.
K11 = (−1)1 + 1 (3) = 3
K12 = (−1)1 + 2 M12
M12 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom kedua matriks A.
M12
|
=
|
2
|
1
|
−1
|
1
|
1
|
1
| ||
1
|
−2
|
1
|
M12
|
=
|
1
|
1
|
=
|
[(1)(1)] – [(1)(1)]
|
=
|
0
|
1
|
1
|
Dengan demikian, nilai dari K12 adalah sebagai berikut.
K12 = (−1)1 + 2 (0) = 0
K13 = (−1)1 + 3 M13
M13 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom ketiga matriks A.
M13
|
=
|
2
|
1
|
−1
|
1
|
1
|
1
| ||
1
|
−2
|
1
|
M13
|
=
|
1
|
1
|
=
|
[(1)(−2)] – [(1)(1)]
|
=
|
−3
|
1
|
−2
|
Dengan demikian, nilai dari K13 adalah sebagai berikut.
K13 = (−1)1 + 3 (−3) = −3
K21 = (−1)2 + 1 M21
M21 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom pertama matriks A.
M21
|
=
|
2
|
1
|
−1
|
1
|
1
|
1
| ||
1
|
−2
|
1
|
M21
|
=
|
1
|
−1
|
=
|
[(1)(1)] – [(−2)(−1)]
|
=
|
−1
|
−2
|
1
|
Dengan demikian, nilai dari K21 adalah sebagai berikut.
K21 = (−1)2 + 1 (−1) = 1
K22 = (−1)2 + 2 M22
M22 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom kedua matriks A.
M22
|
=
|
2
|
1
|
−1
|
1
|
1
|
1
| ||
1
|
−2
|
1
|
M22
|
=
|
2
|
−1
|
=
|
[(2)(1)] – [(1)(−1)]
|
=
|
3
|
1
|
1
|
Dengan demikian, nilai dari K22 adalah sebagai berikut.
K22 = (−1)2 + 2 (3) = 3
K23 = (−1)2 + 3 M23
M23 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom ketiga matriks A.
M23
|
=
|
2
|
1
|
−1
|
1
|
1
|
1
| ||
1
|
−2
|
1
|
M23
|
=
|
2
|
1
|
=
|
[(2)(−2)] – [(1)(1)]
|
=
|
−5
|
1
|
−2
|
Dengan demikian, nilai dari K23 adalah sebagai berikut.
K23 = (−1)2 + 3 (−5) = 5
K31 = (−1)3+ 1 M31
M31 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom pertama matriks A.
M31
|
=
|
2
|
1
|
−1
|
1
|
1
|
1
| ||
1
|
−2
|
1
|
M31
|
=
|
1
|
−1
|
=
|
[(1)(1)] – [(1)(−1)]
|
=
|
2
|
1
|
1
|
Dengan demikian, nilai dari K31 adalah sebagai berikut.
K31 = (−1)3 + 1 (2) = 2
K32 = (−1)3+ 2 M32
M32 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom kedua matriks A.
M32
|
=
|
2
|
1
|
−1
|
1
|
1
|
1
| ||
1
|
−2
|
1
|
M32
|
=
|
2
|
−1
|
=
|
[(2)(1)] – [(1)(−1)]
|
=
|
3
|
1
|
1
|
Dengan demikian, nilai dari K32 adalah sebagai berikut.
K32 = (−1)3 + 2 (3) = −3
K33 = (−1)3+ 3 M33
M33 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom ketiga matriks A.
M33
|
=
|
2
|
1
|
−1
|
1
|
1
|
1
| ||
1
|
−2
|
1
|
M33
|
=
|
2
|
1
|
=
|
[(2)(1)] – [(1)(1)]
|
=
|
1
|
1
|
1
|
Dengan demikian, nilai dari K33 adalah sebagai berikut.
K33 = (−1)3 + 3 (1) = 1
Sekarang kita kumpulkan semua nilai K yang diperoleh dari perhitungan di atas, yaitu sebagai berikut.
K11 = 3
|
K21 = 1
|
K31 = 2
| ||
K12 = 0
|
K22 = 3
|
K32 = −3
| ||
K13 = −3
|
K23 = 5
|
K33 = 1
|
Dengan demikian, bentuk dari matriks kofaktor A adalah sebagai berikut.
kof(A)
|
=
|
3
|
0
|
−3
|
1
|
3
|
5
| ||
2
|
−3
|
1
|
Menentukan matriks Kofaktor A Transpose [kof(A)T]
Bentuk matriks transpose diperoleh dengan cara menukar elemen-elemen baris suatu matriks menjadi elemen-elemen kolom dan menukar elemen-elemen kolom menjadi elemen-elemen baris. Dengan demikian, bentuk matriks transpose dari matriks kofaktor A adalah sebagai berikut.
[kof(A)]T
|
=
|
3
|
1
|
2
|
0
|
3
|
−3
| ||
−3
|
5
|
1
|
Bentuk transpose dari matriks kofaktor A merupakan matriks adjoin A, sehingga adjoin dari matriks A adalah sebagai berikut.
Adj A = (matriks kofaktor A)T
Adj A
|
=
|
3
|
1
|
2
|
0
|
3
|
−3
| ||
−3
|
5
|
1
|
Langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z dengan mengubah bentuk matriks AX = B menjadi bentuk invers seperti berikut.
AX = B
X = A-1B
x
|
=
|
1
|
adj
|
2
|
1
|
−1
|
1
| |
y
|
1
|
1
|
1
|
6
| ||||
det A
| ||||||||
z
|
1
|
−2
|
1
|
0
|
x
|
=
|
1
|
3
|
1
|
2
|
1
| ||
y
|
0
|
3
|
−3
|
6
| ||||
9
| ||||||||
z
|
−3
|
5
|
1
|
0
|
x
|
=
|
3/9
|
1/9
|
2/9
|
1
| |
y
|
0/9
|
3/9
|
−3/9
|
6
| ||
z
|
−3/9
|
5/9
|
1/9
|
0
|
x
|
=
|
(3/9 × 1) + (1/9 × 6) + (2/9 × 0)
|
y
|
(0/9 × 1) + (3/9 × 6) + (−3/9 × 0)
| |
z
|
(−3/9 × 1) + (5/9 × 6) + (1/9 × 0)
|
x
|
=
|
3/9 + 6/9 + 0
|
y
|
0 + 18/9 + 0
| |
z
|
−3/9 + 30/9 + 0
|
x
|
=
|
9/9
|
y
|
18/9
| |
z
|
27/9
|
x
|
=
|
1
|
y
|
2
| |
z
|
3
|
Jadi, kita peroleh nilai x = 1, y = 2 dan z = 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah {(1, 2, 3)}.
Materi
Materi
