Kumpulan Contoh Soal dan Jawaban SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel)

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) adalah suatu persamaan matematika yang terdiri atas 3 persamaan linear yang masing-masing persamaan bervariabel tiga (misalkan x, y, dan z). Dengan demikian dapat kita tuliskan bentuk umum dari SPLTV adalah sebagai berikut.

ax + by + cz = d ………….. Persamaan (1)

ex + fy + gz = h ….……….. Persamaan (2)

ix + jy + kz = l …………….. Persamaan (3)

Dengan:

a, e, i = koefisien x

b, f, j = koefisien y

c, g, k = koefisien i

d, h, l = konstanta

x, y, z = variabel atau peubah

Nah, pada kesempatan kali ini kita akan menyajikan kumpulan contoh soal dan pembahasan tentang sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan menggunakan berbagai macam metode. Silahkan disimak baik-baik.

Contoh Soal Sistem Persamaan Linear 3 Variabel (SPLTV)

1. Dengan menggunakan metode subtitusi, tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linier tiga variabel (SPLTV) berikut ini.

x + y – z = –3

x + 2y + z = 7

2x + y + z = 4

Jawab:

Jawab:

Pertama, kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana. Dari ketiga persamaan yang ada, persamaan pertama lebih sederhana. Dari persamaan pertama, nyatakan variabel x sebagai fungsi y dan z sebagai berikut.

⇒ x + y – z = –3

⇒ x = –3 – y + z

■ Subtitusikan peubah x ke dalam persamaan kedua

⇒ x + 2y + z = 7

⇒ (–3 – y + z) + 2y + z = 7

⇒ –3 + y + 2z = 7

⇒ y + 2z = 7 + 3

⇒ y + 2z = 10 ……………….. Pers. (3)

■ Subtitusikan variabel x ke dalam persamaan ketiga

⇒ 2x + y + z = 4

⇒ 2(–3 – y + z) + y + z = 4

⇒ –6 – 2y + 2z + y + z = 4

⇒ –y + 3z = 4 + 6

⇒ –y + 3z = 10 ……………….. Pers. (4)

■ Persamaan (3) dan (4) membentuk SPLDV y dan z:

y + 2z = 10

–y + 3z = 10

■ Selanjutnya kita selesaikan SPLDV tersebut dengan metode subtitusi. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana yaitu persamaan pertama. Dari persamaan pertama, kita peroleh

⇒ y + 2z = 10

⇒ y = 10 – 2z

■ Subtitusikan peubah y ke dalam persamaan kedua

⇒ –y + 3z = 10

⇒ –(10 – 2z) + 3z = 10

⇒ –10 + 2z + 3z = 10

⇒ –10 + 5z = 10

⇒ 5z = 10 + 10

⇒ 5z = 20

⇒ z = 4

■ Subtitusikan nilai z = 4 ke salah satu SPLDV, misal y + 2z = 10 sehingga kita peroleh

⇒ y + 2z = 10

⇒ y + 2(4) = 10

⇒ y + 8 = 10

⇒ y = 10 – 8 

⇒ y = 2

■ Selanjutnya, subtitusikan nilai y = 2 dan z = 4 ke salah satu SPLTV, misal x + 2y + z = 7 sehingga kita peroleh

⇒ x + 2y + z = 7

⇒ x + 2(2) + 4 = 7

⇒ x + 4 + 4 = 7

⇒ x + 8 = 7

⇒ x = 7 – 8

⇒ x = –1

Dengan demikian, kita peroleh nilai x = –1, y = 2 dan z = 4. Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLTV di atas adalah {(–1, 2, 4)}.

Untuk memastikan bahwa nilai x, y, dan z yang diperoleh sudah benar, kalian dapat mengeceknya dengan cara mensubtitusikan nilai x, y, dan z ke dalam tiga SPLTV di atas.

■ Persamaan pertama

⇒ x + y – z = –3

⇒ –1 + 2 – 4 = –3

⇒ –34 = –3 (benar)

■ Persamaan kedua

⇒ x + 2y + z = 7

⇒ –1 + 2(2) + 4 = 7

⇒ –1 + 4 + 4 = 7

⇒ 7 = 7 (benar)

■ Persamaan ketiga

⇒ 2x + y + z = 4

⇒ 2(–1) + 2 + 4 = 4

⇒ –2 + 2 + 4 = 4

⇒ 4 = 4 (benar)

Berdasarkan pembuktian tersebut, maka bisa dipastikan bahwa nilai x, y dan z yang diperoleh sudah benar dan memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel yang ditanyakan.

2. Dengan menggunakan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut ini.

x + 3y + 2z = 16

2x + 4y – 2z = 12

x + y + 4z = 20

Jawab:

Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana adalah x sehingga kita akan mengeliminasi x terlebih dulu. Untuk menghilangkan variabel x, maka kita harus samakan koefisien masing-masing x dari ketiga persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.

x + 3y + 2z = 16 → koefisien x = 1

2x + 4y – 2z = 12 → koefisien x = 2

x + y + 4z = 20 → koefisien x = 1

Agar ketiga koefisien x sama, maka kita kalikan persamaan pertama dan persamaan ketiga dengan 2 sedangkan persamaan kedua kita kalikan 1. Prosesnya adalah sebagai berikut.

x + 3y + 2z	=	16	|× 2|	→	2x + 6y + 4z	=	32
2x + 4y – 2z	=	12	|× 1|	→	2x + 4y – 2z	=	12
x + y + 4z	=	20	|× 2|	→	2x + 2y + 8z	=	40

Setelah koefisien x ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel x hilang. Prosesnya seperti di bawah ini.

■ Dari persamaan pertama dan kedua:

2x + 6y + 4z	=	32
2x + 4y – 2z	=	12	−
2y + 6z	=	20

■ Dari persamaan kedua dan ketiga:

2x + 4y – 2z	=	12
2x + 2y + 8z	=	40	−
2y – 10z	=	–28

Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.

2y + 6z = 20

2y – 10z = –28

Langkah selanjutnya adalah kita selesaikan SPLDV di atas dengan metode eliminasi. Pertama, kita tentukan nilai y dengan mengeliminasi z. Untuk dapat mengeliminasi variabel z, maka kita harus menyamakan koefisien z dari kedua persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.

2y + 6z = 20 → koefisien z = 6

2y – 10z = –28 → koefisien z = –10

Agar kedua koefisien z sama, maka persamaan pertama kita kali dengan 5 sedangkan persamaan kedua kita kali dengan 3. Setelah itu, kedua persamaan kita jumlahkan. Prosesnya adalah sebagai berikut.

2y + 6z	=	20	|× 5|	→	10y + 30z	=	100
2y – 10z	=	–28	|× 3|	→	6y – 30z	=	–84	+
					16y	=	16
					y	=	1

Kedua, kita tentukan nilai z dengan mengeliminasi y. Untuk dapat mengeliminasi variabel y, maka kita juga harus menyamakan koefisien y dari kedua persamaan. Berhubung koefisien y kedua persamaan sudah sama, maka kita bisa langsung mengurangkan kedua persamaan tersebut. Prosesnya adalah sebagai berikut.

2y + 6z	=	20
2y – 10z	=	–28	−
16z	=	48
z	=	3

Sampai pada tahap ini kita sudah memperoleh nilai y = 1 dan z = 3. Langkah terakhir, untuk mendapatkan nilai x, kita subtitusikan nilai y dan z tersebut ke dalam salah satu SPLTV, misalnya persamaan x + y + 4z = 20 sehingga kita peroleh:

⇒ x + y + 4z = 20

⇒ x + 1 + 4(3) = 20

⇒ x + 1 + 12 = 20

⇒ x + 13 = 20

⇒ x = 20 – 13

⇒ x = 7

Dengan demikian kita peroleh nilai x = 7, y = 1 dan z = 3 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(7, 1, 3)}.

3. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel di bawah ini dengan menggunakan metode campuran.

x – y + 2z = 4

2x + 2y – z = 2

3x + y + 2z = 8

Jawab:

■ Metode Eliminasi (SPLTV)

Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana adalah y sehingga kita akan mengeliminasi y dulu. Untuk menghilangkan peubah y, maka kita harus menyamakan koefisien masing-masing y dari ketiga persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.

x – y + 2z = 4 → koefisien y = –1

2x + 2y – z = 2 → koefisien y = 2

3x + y + 2z = 8 → koefisien y = 1

Agar ketiga koefisien y sama, maka kita kalikan persamaan pertama dan persamaan ketiga dengan 2 sedangkan persamaan kedua kita kalikan 1. Prosesnya adalah sebagai berikut.

x – y + 2z	=	4	|× 2|	→	2x – 2y + 4z	=	8
2x + 2y – z	=	2	|× 1|	→	2x + 2y – z	=	2
3x + y + 2z	=	8	|× 2|	→	6x + 2y + 4z	=	16

Setelah koefisien y ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel y hilang. Prosesnya seperti di bawah ini.

● Dari persamaan pertama dan kedua:

2x – 2y + 4z	=	8
2x + 2y – z	=	2	+
4x + 3z	=	10

● Dari persamaan kedua dan ketiga:

2x + 2y – z	=	2
6x + 2y + 4z	=	16	−
−4x − 5z	=	−14
4x + 5z	=	14

Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.

4x + 3z = 10

4x + 5z = 14

■ Metode Subtitusi (SPLDV)

Dari SPLDV pertama kita peroleh persamaan x sebagai berikut.

⇒ 4x + 3z = 10

⇒ 4x = 10 – 3z

Lalu kita subtitusikan persamaan y tersebut ke SPLDV kedua sebagai berikut.

⇒ 4x + 5z = 14

⇒ (10 – 3z) + 5z = 14

⇒ 10 + 2z = 14

⇒ 2z = 14 – 10

⇒ 2z = 4

⇒ z = 2

Kemudian, untuk menentukan nilai x, kita subtitusikan nilai z = 2 ke dalam salah satu SPLDV, misalnya persamaan 4x + 3z sehingga kita peroleh:

⇒ 4x + 3(2) = 10

⇒ 4x + 6 = 10

⇒ 4x = 10 – 6

⇒ 4x = 4

⇒ x =1

Langkah terakhir, untuk menentukan nilai y, kita subtitusikan nilai x = 1 dan z = 2 ke dalam salah satu SPLTV di atas, misalnya persamaan x – y + 2z = 4 sehingga kita peroleh:

⇒ x – y + 2z = 4

⇒ (1) – y + 2(2) = 4

⇒ 1 – y + 4 = 4

⇒ 5 – y = 4

⇒ y = 5 – 4

⇒ y = 1

Dengan demikian kita peroleh nilai x = 1, y = 1 dan z = 2 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(1, 1, 2)}.

4. Dengan menggunakan metode determinan, tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini.

2x + y + z = 12

x + 2y – z = 3

3x – y + z = 11

Jawab:

■ Mengubah SPLTV ke bentuk matriks

Pertama, kita ubah sistem persamaan yang ditanyakan dalam soal ke bentuk matriks berikut.

2	1	1		x	=	12
1	2	−1		y		3
3	−1	1		z		11

Kedua, kita tentukan nilai D, Dx, Dy dan Dz dengan ketentuan seperti pada langkah-langkah di atas.

■ Menentukan nilai D

D	=	2	1	1	2	1
		1	2	−1	1	2
		3	−1	1	3	−1

D = [(2)(2)(1) + (1)(−1)(3) + (1)(1)(−1)] – [(3)(2)(1) + (−1)(−1)(2) + (1)(1)(1)]

D = [4 – 3 – 1] − [6 + 2 + 1]

D = 0 − 9

D = −9

■ Menentukan nilai Dx

Dx	=	12	1	1	12	1
		3	2	−1	3	2
		11	−1	1	11	−1

Dx = [(12)(2)(1) + (1)(−1)(11) + (1)(3)(−1)] – [(11)(2)(1) + (−1)(−1)(12) + (1)(3)(1)]

Dx = [24 – 11 – 3] − [22 + 12 + 3]

Dx = 10 − 37

Dx = −27

■ Menentukan nilai Dy

Dy	=	2	12	1	2	12
		1	3	−1	1	3
		3	11	1	3	11

Dy = [(2)(3)(1) + (12)(−1)(3) + (1)(1)(11)] – [(3)(3)(1) + (11)(−1)(2) + (1)(1)(12)]

Dy = [6 – 36 + 11] − [9 − 22 + 12]

Dy = −19 – (–1)

Dy = −18

■ Menentukan nilai Dz

Dz	=	2	1	12	2	1
		1	2	3	1	2
		3	−1	11	3	−1

Dz = [(2)(2)(11) + (1)(3)(3) + (12)(1)(−1)] – [(3)(2)(12) + (−1)(3)(2) + (11)(1)(1)]

Dz = [44 + 9 – 12] − [72 − 6 + 11]

Dz = 41 − 77

Dz = −36

■ Menentukan nilai x, y, z

Setelah nilai D, Dx, Dy, dan Dz kita peroleh, langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z menggunakan rumus berikut ini.

x	=	Dx	=	−27	=	3
		D		−9

y	=	Dy	=	−18	=	2
		D		−9

z	=	Dz	=	−36	=	4
		D		−9

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear 3 variabel di atas adalah HP = {(3, 2, 4)}.

5. Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV berbentuk pecahan berikut ini.

1	+	2	+	4	=	1
x		y		z

−1	+	4	+	12	=	0
x		y		z

2	+	8	+	4	=	−1
x		y		z

Penyelesaian:

Misalkan:

1	=	p	;	1	=	q	;	1	=	r
x				y				z

Dengan menggunakan permisalan ini, maka bentuk SPLTV pecahan di atas menjadi seperti berikut.

■ Persamaan pertama:

⇒ 1(1/x) + 2(1/y) + 4(1/z) = 1

⇒ p + 2q + 4r = 1

■ Persamaan kedua:

⇒ −1(1/x) + 4(1/y) + 12(1/z) = 0

⇒ −p + 4q + 12r = 0

■ Persamaan ketiga:

⇒ 2(1/x) + 8(1/y) + 4(1/z) = −1

⇒ 2p + 8q + 4r = −1

Dengan demikian, kita telah memperoleh SPLTV bentuk baku dengan variabel p, q, dan r yaitu sebagai berikut.

p + 2q + 4r = 1 …………..…… Pers. (1)

−p + 4q + 12r = 0 …………… Pers. (2)

2p + 8q + 4r = −1 ..….……… Pers. (3)

Langkah selanjutnya adalah menentukan himpunan penyelesaian SPLTV tersebut dengan menggunakan salah satu dari 5 metode penyelesaian yang telah disebutkan di atas. Misalnya kita gunakan metode campuran (eliminasi + subtitusi), sehingga penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

#1 Metode Eliminasi (SPLTV)

Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana adalah p sehingga kita akan mengeliminasi p dulu.

Untuk menghilangkan peubah p, maka kita harus menyamakan koefisien masing-masing p dari ketiga persamaan. Perhatikan cara berikut.

p + 2q + 4r = 1 → koefisien p = 1

−p + 4q + 12r = 0 → koefisien p = −1

2p + 8q + 4r = −1 → koefisien p = 2

Agar ketiga koefisien q sama (abaikan tanda), maka kita kalikan persamaan pertama dan kedua dengan 2, sedangkan persamaan ketiga kita kalikan 1 sehingga hasilnya adalah sebagai berikut.

p + 2q + 4r	=	1	|× 2|	→	2p + 4q + 8r	=	2
−p + 4q + 12r	=	0	|× 2|	→	−2p + 8q + 24r	=	0
2p + 8q + 4r	=	−1	|× 1|	→	2p + 8q + 4r	=	−1

Setelah koefisien p ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kita selisihkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel p hilang. Perhatikan proses berikut ini.

● Dari persamaan pertama dan kedua:

2p + 4q + 8r	=	2
−2p + 8q + 24r	=	0	+
12q + 32r	=	2

● Dari persamaan kedua dan ketiga:

−2p + 8q + 24r	=	0
2p + 8q + 4r	=	−1	+
16q + 28r	=	−1

Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.

12q + 32r = 2

16q + 28r = −1

#2 Metode Subtitusi (SPLDV)

Dari SPLDV pertama, kita peroleh persamaan p sebagai berikut.

⇒ 12q + 32r = 2

⇒ 12q = 2 – 32r

Kemudian, agar persamaan q di atas dapat disubtitusikan pada SPLDV kedua, kita sedikit modifikasi SPLDV menjadi bentuk seperti berkut.

⇒ 16q + 28r = −1 [SPLDV awal]

⇒ 4/3(12q) + 28r = −1 [SPLDV modifikasi]

Kemudian masukkan persamaan q ke SPLDV modifikasi tersebut.

⇒ 4/3(12q) + 28r = −1

⇒ 4/3(2 – 32r) + 28r = −1

⇒ 8/3 – 128r/3 + 28r = −1

Kalikan kedua ruas dengan angka 3

⇒ 8 − 128r + 84r = −3

⇒ −128r + 84r = −3 – 8

⇒ −44r = −11

⇒ r = −11/−44

⇒ r = 1/4

Kemudian untuk menentukan nilai q, kita subtitusikan nilai r = 1/4  ke dalam salah satu SPLDV, misalnya persamaan 12q + 32r = 2 sehingga kita peroleh:

⇒ 12q + 32r = 2

⇒ 12q + 32(1/4 ) = 2

⇒ 12q + 8 = 2

⇒ 12q = 2 – 8

⇒ 12q = –6

⇒ q = –6/12

⇒ q = –1/2

Setelah nilai q dan r diperoleh, langkah selanjutnya adalah menentukan nilai p dengan cara mensubtitusikan nilai q = –1/2 dan r = 1/4  ke salah satu SPLTV di atas, misalnya persamaan p + 2q + 4r = 1 sehingga kita peroleh:

⇒ p + 2q + 4r = 1

⇒ p + 2(–1/2) + 4(1/4 ) = 1

⇒ p + 2(–1/2) + 4(1/4 ) = 1

⇒ p – 1 + 1 = 1

⇒ p + 0 = 1

⇒ p = 1

Sampai disini kita sudah berhasil mendapatkan nilai p = 1, q = –1/2 dan r = 1/4 . Langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z dengan menggunakan permisalan sebelumnya, yaitu sebagai berikut.

1/x	=	p		1/y	=	q		1/z	=	r
1/x	=	1		1/y	=	–1/2		1/z	=	1/4
x	=	1		y	=	–2		z	=	4

Dengan demikian kita peroleh nilai x = 1 , y = −2, dan z = 4 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV tersebut adalah {(1, −2, 4)}.