Kumpulan Contoh Soal dan Jawaban SPLDV (Sistem Persamaan Linear Dua Variabel)

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Sistem persamaan linear dua variabel (peubah) atau disingkat SPLDV adalah suatu persamaan matematika yang terdiri atas dua persamaan linear yang masing-masing bervariabel dua (misal x dan y). Dengan demikian, bentuk umum SPLDV adalah sebagai berikut.

ax + by = c .................... Persamaan (1)
px + qy = r .................... Persamaan (2)

dengan a, b, c, p, q, dan r merupakan bilangan real.

Nah, pada kesempatan kali ini kita akan menyajikan kumpulan contoh soal dan pembahasan tentang sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dengan menggunakan berbagai macam metode. Silahkan disimak baik-baik.

Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + 2y = 2 dan 2x + 4y = 8 untuk x, y ∈ R menggunakan metode grafik.

Penyelesaian

Pertama, kita tentukan titik potong masing-masing persamaan pada sumbu-X dan sumbu-Y

■ x + 2y = 2

Titik potong dengan sumbu-X, syaratnya adalah y = 0

⇔ x + 2(0) = 2

⇔ x = 2

Titik potong (2, 0)

Titik potong dengan sumbu-Y, syaratnya adalah x = 0

⇔ 0 + 2y = 2

⇔ 2y = 2

⇔ y = 1

Titik potong (0, 1)

■ 2x + 4y = 8

Titik potong dengan sumbu-X, syaratnya adalah y = 0

⇔ 2x + 4(0) = 8

⇔ 2x = 8

⇔ x = 4

Titik potong (4, 0)

Titik potong dengan sumbu-Y, syaratnya adalah x = 0

⇔ 2(0) + 4y = 8

⇔ 4y = 8

⇔ y = 2

Titik potong (0, 2)

Kedua, kita gambarkan grafik dari masing-masing persamaan pada sebuah bidang Cartesius seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Berdasarkan gambar grafik sistem persamaan di atas, tampak bahwa kedua garis tersebut tidak akan pernah berpotongan karena keduanya sejajar. Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + 2y = 2 dan 2x + 4y = 8 adalah himpunan kosong, ditulis {} atau {∅}.

2. Dengan menggunakan metode subtitusi, tentukanlah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut ini.

2x – 3y = 7

3x + 2y = 4

Jawab

2x – 3y = 7 ………. Pers. (7)

3x + 2y = 4 ………. Pers. (8)

Dari persamaan (7) kita peroleh persamaan x sebagai berikut.

⇔	2x – 3y	=	7
⇔	2x	=	7 + 3y
⇔	x	=	7 + 3y
			2

Subtitusikan persamaan x ke dalam persamaan (8) sebagai berikut.

⇔	3	(	7 + 3y	)	+	2y	=	4
			2
⇔	3(7 + 3y) + 4y						=	8 (kedua ruas dikali 2)
⇔	21 + 9y + 4y						=	8
⇔	21 + 13y						=	8
⇔	13y						=	8 – 21
⇔	13y						=	-13
⇔	y						=	-1

Untuk menentukan nilai x, kita subtitusikan nilai y ke persamaan (7) atau persamaan (8) sebagai berikut.

⇔ 2x – 3(-1) = 7

⇔ 2x + 3 = 7

⇔ 2x = 7 – 3

⇔ 2x = 4

⇔ x = 2

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah {(2, -1)}.

3. Dengan menggunakan metode eliminasi, carilah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini.

x – 2	+	y	=	3
4

x	+	y + 4	=	8
		3

Jawab

Kedua bentuk SPLDV di atas belum baku, karena itu, perlu diubah terlebih dahulu menjadi bentuk baku. Caranya adalah persamaan pertama kita kalikan 4 pada kedua ruasnya sedangkan persamaan kedua kita kalian 3 pada kedua ruasnya, sehingga menghasilkan persamaan berikut ini.

Persamaan pertama:

x – 2 + 4y = 12

x + 4y = 12 + 2

x + 4y = 14

Persamaan kedua:

3x + y + 4 = 24

3x + y = 24 – 4

3x + y = 20

Dengan demikian, sistem persamaan semula ekuivalen dengan SPLDV berikut ini.

x + 4y = 14

3x + y = 20

Selanjutnya, SPLDV yang terakhir ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metode eliminasi yaitu sebagai berikut:

Untuk mengeliminasi x, maka kalikan persamaan pertama dengan 3 agar koefisien x kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai y sebagai berikut.

x + 4y	=	14	|× 3|	→	3x + 12y	=	42
3x + y	=	20	|× 1|	→	3x + y	=	20	−
					11y	=	22
					y	=	2

Untuk mengeliminasi y, maka kalikan persamaan kedua dengan 4 agar koefisien y kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai x sebagai berikut.

x + 4y	=	14	|× 1|	→	x + 4y	=	14
3x + y	=	20	|× 4|	→	12x + 4y	=	80	−
					-11x	=	-66
					x	=	6

Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = 6 dan y = 2 sehingga himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah {(6, 2)}.

4. Dengan menggunakan metode campuran atau gabungan, carilah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini.

x – 2	+	y	=	3
4

x	+	y + 4	=	8
		3

Jawab

Kedua bentuk SPLDV di atas belum baku, karena itu, perlu diubah terlebih dahulu menjadi bentuk baku. Caranya adalah persamaan pertama kita kalikan 4 pada kedua ruasnya sedangkan persamaan kedua kita kalian 3 pada kedua ruasnya, sehingga menghasilkan persamaan berikut ini.

Persamaan pertama:

x – 2 + 4y = 12

x + 4y = 12 + 2

x + 4y = 14

Persamaan kedua:

3x + y + 4 = 24

3x + y = 24 – 4

3x + y = 20

Dengan demikian, sistem persamaan semula ekuivalen dengan SPLDV berikut ini.

x + 4y = 14

3x + y = 20

Selanjutnya, SPLDV yang terakhir ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metode eliminasi yaitu sebagai berikut:

Untuk mengeliminasi x, maka kalikan persamaan pertama dengan 3 agar koefisien x kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai y sebagai berikut.

x + 4y	=	14	|× 3|	→	3x + 12y	=	42
3x + y	=	20	|× 1|	→	3x + y	=	20	−
					11y	=	22
					y	=	2

Langkah terakhir, untuk mencari nilai x, kita subtitusikan nilai y = 2 ke persamaan x + 4y = 14, sehingga kita peroleh hasil sebagai berikut.

x + 4y = 14

x + 4(2) = 14

x + 8 = 14

x = 14 – 8

x = 6

Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = 6 dan y = 2 sehingga himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah {(6, 2)}.

5. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini menggunakan metode determinan.

2x + y = 4

x – 2y = -3

Jawab:

Pertama, kita ubah sistem persamaan di atas ke dalam bentuk matriks berikut

2	1		x	=	4
1	-2		y		-3

Kedua, kita tentukan nilai D, Dx dan Dy yaitu sebagai berikut.

D	=	2	1	=	(2)(-2) – (1)(1) = -4 – 1 = -5
		1	-2

Dx	=	4	1	=	(4)(-2) – (1)(-3) = -8 – (-3) = -5
		-3	-2

Dy	=	2	4	=	(2)(-3) – (4)(1) = -6 – 4 = -10
		1	-3

Ketiga, kita tentukan nilai x dan y menggunakan nilai-nilai determinan.

x = Dx/D = -5/-5 = 1

y = Dy/D = -10/-5 = 2

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear di atas adalah HP = {(1, 2)}.

6. Dengan menggunakan metode invers matriks, tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut ini.

2x – 3y = 3

x + 2y = 5

Pembahasan

Pertama, kita ubah SPLDV di atas menjadi bentuk matriks AX = B

2	−3		x	=	3
1	2		y		5

Kedua, kita ubah matriks AX = B menjadi bentuk invers X = A-1B

x	=	1		2	−(-3)		3
y		(2)(2) – (-3)(1)		−1	2		5

x	=	1		2	3		3
y		4 – (-3)		−1	2		5

x	=	1		2	3		3
y		7		−1	2		5

Ketiga, selesaikan persamaan matriks di atas

x	=	1		6 + 15
y		7		−3 + 10

x	=	1		21
y		7		7

x	=	21/7
y		7/7

x	=	3
y		1

Jadi, kita peroleh nilai x = 3 dan nilai y = 1. Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah HP = {(3, 1)}.

7. Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) berikut ini.

x + 8	+	y	=	2
2		3

x + y – 2	+	x – y + 1	=	−3
5		4

Jawab:

■ Pertama, kita ubah masing-masing persamaan menjadi bentuk baku yaitu sebagai berikut

Persamaan 1

x + 8	+	y	=	2
2		3

KPK dari 2 dan 3 adalah 6, oleh karena itu, agar menjadi bentuk baku, kita kalikan kedua ruas dengan angka 6 sehingga hasilnya adalah sebagai berikut.

6(x + 8)	+	6y	=	12
2		3

3(x + 8) + 2y = 12

3x + 24 + 2y = 12

3x + 2y = 12 – 24

3x + 2y = –12

Persamaan 2

x + y – 2	+	x – y + 1	=	−3
5		4

KPK dari 5 dan 4 adalah 20, oleh karena itu, agar menjadi bentuk baku, kita kalikan kedua ruas dengan angka 20 sehingga hasilnya adalah sebagai berikut.

20(x + y – 2)	+	20(x – y + 1)	=	−60
5		4

4(x + y – 2) + 5(x – y + 1) = −60

4x + 4y – 8 + 5x – 5y + 5 = −60

9x – y – 3 = −60

9x – y = −60 + 3

9x – y = −57

Dengan demikian, bentuk baku dari sistem persamaan linear dua variabel bentuk pecahan di atas adalah sebagai berikut

3x + 2y = –12

9x – y = −57

■ Kedua, setelah bentuk baku diperoleh, selanjutnya menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut menggunakan salah satu metode penyelesaian SPLDV. Agar lebih cepat dan simpel, kita gunakan metode campuran saja yaitu sebagai berikut.

#1 Metode Eliminasi

Untuk mengeliminasi x, maka kalikan persamaan pertama dengan angka 3 agar koefisien x kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai y sebagai berikut.

3x + 2y	=	–12	|× 3|	→	9x + 6y	=	–36
9x – y	=	–57	|× 1|	→	9x – y	=	–57	−
					7y	=	21
					y	=	3

#2 Metode Subtitusi

Setalah nilai y kita peroleh, selanjutnya untuk mencari nilai x, kita subtitusikan nilai y tersebut ke salah satu persamaan, misalnya persamaan 9x –y = −57, sehingga kita peroleh hasil sebagai berikut.

9x – y = −57

9x – 3 = −57

9x = −57 + 3

9x = −54

x = −57/9

x = −6

Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = −6 dan y = 3 sehingga himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah {(−6, 3)}.