3 Cara Menentukan Akar Persamaan Kuadrat + Contoh Soal dan Pembahasan

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Persamaan kuadrat dalam variabel x adalah persamaan yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 dengan a, b, dan c merupakan bilangan real dan a ≠ 0. Dalam persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, a adalah koefisien dari x2, b adalah koefisien dari x dan c adalah suku tetapan atau konstanta.

Nah, pada kesempatan kali ini kita akan membahas tentang cara menentukan akar persamaan kuadrat dengan metode pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna dan dengan menggunakan rumus ABC. Untuk itu, silahkan kalian simak baik-baik penjelasan berikut ini. Selamat belajar.

#1 Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Pemfaktoran

Terdapat empat bentuk persamaan kuadrat yang perlu kalian ketahui, yaitu sebagai berikut.

1) Persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1.

2) Persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1 dan a ≠ 0.

3) Persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx atau nilai c = 0.

4) Persamaan kuadrat bentuk x2 – c atau nilai b = 0.

Untuk masing-masing bentuk persamaan kuadrat tersebut, terdapat cara yang berbeda dalam memfaktorkan atau mencari akar-akarnya. Agar kalian lebih memahami mengenai faktorisasi, mari kita bahas satu persatu metode faktorisasi berikut ini.

Akar Persamaan Kuadrat Bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1

Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 dengan a = 1 melalui metode pemfaktoran, kalian dapat menggunakan langkah-langkah berikut ini.

Persamaan Kuadrat	Rumus Pemfaktoran	Keterangan
ax2 + bx + c = 0	(ax + p)(ax + q) = 0	p + q = b
		p × q = ac

Untuk menentukan akar persamaan kuadrat, perhatikan cara berikut:

#1 Tentukan dua angka, misalnya p dan q yang jika dijumlahkan hasilnya sama dengan b dan jika dikalikan hasilnya sama dengan a × c. Untuk menentukan nilai pasangan p dan q secara mudah, kalian dapat mencari bilangan-bilangan yang merupakan faktor dari ac.

#2 Apabila nilai p dan q sudah ditentukan, masukan nilai p dan q tersebut ke dalam rumus pemfaktoran di atas.

Contoh Soal:

Dengan cara pemfaktoran, tentukanlah akar-akar dari tiap persamaan berikut ini.

a) x2 – 5x + 6 = 0

b) x2 + 9x + 14 = 0

Jawab

a) x2 – 5x + 6 = 0

Diketahui nilai dari a = 1, b = –5, c = 6 dan ac = 1 × 6 = 6. Untuk menentukan nilai p dan q kita cari dulu faktor dari 6 yaitu sebagai berikut.

-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6

Dari delapan bilangan di atas, mana dua angka yang jika dijumlah hasilnya -5 dan jika dikalikan hasilnya 6? Tentu saja angka -2 dan -3 bukan? Dengan demikian kita peroleh p = -2 dan q = -3 (dibalik juga bisa). Dengan mensubtitusikan nilai p dan q ke rumus pemfaktoran, kita peroleh.

⇔ (ax + p)(ax + q) = 0

⇔ {x + (-2)}{x + (-3)} = 0

⇔ (x – 2)(x – 3) = 0

⇔ x = 2 atau x = 3

Dengan demikian, akar dari x2 – 5x + 6 = 0 adalah 2 atau 3.

b) x2 + 9x + 14 = 0

Diketahui nilai dari a = 1, b = 9, c = 14 dan ac = 1 × 14 = 14. Faktor dari 14 yaitu sebagai berikut.

-14, -7, -2, -1, 1, 2, 7, 14

Dari delapan bilangan di atas, dua angka yang jika dijumlah hasilnya 9 dan jika dikalikan hasilnya 14 adalah angka 2 dan 7. Dengan demikian kita peroleh p = 2 dan q = 7. Dengan mensubtitusikan nilai p dan q ke rumus pemfaktoran, kita peroleh.

⇔ (ax + p)(ax + q) = 0

⇔ (x + 2)(x + 7) = 0

⇔ x = -2 atau x = -7

Dengan demikian, akar dari x2 + 9x + 14 = 0 adalah -2 atau -7.

Akar Persamaan Kuadrat Bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1

Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 1 melalui metode pemfaktoran, kalian dapat menggunakan langkah-langkah berikut ini.

Persamaan Kuadrat	Rumus Pemfaktoran			Keterangan
ax2 + bx + c = 0		(ax + p)(ax + q)	= 0	p + q = b
		a		p × q = ac

Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat kita cari dahulu nilai p dan q dengan ketentuan yang sama dengan cara di atas.

Contoh Soal:

Dengan cara pemfaktoran, tentukanlah akar-akar dari tiap persamaan berikut ini.

a) 4x2 – 12x + 9 = 0

b) 3x2 + 22x – 16 = 0

Jawab

a) 4x2 – 12x + 9 = 0

Diketahui nilai dari a = 4, b = –12, c = 9 dan ac = 4 × 9 = 36. Untuk menentukan nilai p dan q kita cari dulu faktor dari 36 yaitu sebagai berikut.

-36, -18, -12, -9, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Dari bilangan-bilangan bulat di atas, pasangan angka yang jika dijumlah hasilnya -12 dan jika dikalikan hasilnya 36 adalah angka -6 dan juga -6. Dengan demikian kita peroleh p = -6 dan q = -6. Dengan mensubtitusikan nilai p dan q ke rumus pemfaktoran, kita peroleh.

⇔	(ax + p)(ax + q)	= 0
	a

⇔	(4x – 6)(4x – 6)	= 0
	4

⇔	2(2x – 3) × 2(2x – 3)	= 0
	4

⇔	4(2x – 3)(2x – 3)	= 0
	4

⇔ (2x – 3)(2x – 3) = 0

⇔ 2x – 3 = 0

⇔ 2x = 3

⇔ x = 3/2

Dengan demikian, akar dari 4x2 – 12x + 9 = 0 adalah 3/2.

b) 3x2 + 22x – 16 = 0

Diketahui nilai dari a = 3, b = 22, c = –16 dan ac = 3 × (–16) = –48. Untuk menentukan nilai p dan q kita cari dulu faktor dari 36 yaitu sebagai berikut.

-48, -24, -16, -12, -8, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

Dari bilangan-bilangan bulat di atas, pasangan angka yang jika dijumlah hasilnya 22 dan jika dikalikan hasilnya –48 adalah angka -2 dan 24. Dengan demikian kita peroleh p = -2 dan q = 24. Dengan mensubtitusikan nilai p dan q ke rumus pemfaktoran, kita peroleh.

⇔	(ax + p)(ax + q)	= 0
	a

⇔	(3x – 2)(3x + 24)	= 0
	3

⇔	(3x – 2) × 3(x + 8)	= 0
	3

⇔ (3x – 2)(x + 8)= 0

⇔ 3x – 2 = 0 atau x + 8 = 0

⇔ 3x = 2 atau x = -8

⇔ x = 2/3 atau x = -8

Dengan demikian, akar dari 3x2 + 22x – 16 = 0 adalah 2/3 atau -8.

Akar Persamaan Kuadrat Bentuk ax2 + bx

Untuk menentukan akar dari persamaan kuadrat yang berbentuk ax2 + bx = 0, caranya sangat mudah sekali yaitu dengan mengubah bentuk persamaan kuadrat itu menjadi bentuk perkalian faktor-faktor aljabar dalam variabel x. Perhatikan langkah berikut.

ax2 + bx = ax(x + b/a) = 0

⇔ ax(x + b/a) = 0

⇔ ax = 0 atau x + b/a = 0

⇔ x = 0 atau x = –b/a

Dengan demikian akar-akar persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx = 0 adalah 0 atau –b/a.

Contoh Soal:

Dengan cara pemfaktoran, tentukanlah akar-akar dari tiap persamaan berikut ini.

a) 4x2 – 20x = 0

b) 3x2 + 5x = 0

Jawab

a) 4x2 – 20x = 0

⇔ 4x2 – 20x = 4x(x – 20/4) = 0

⇔ 4x(x – 20/4) = 0

⇔ 4x = 0 atau x – 20/4 = 0

⇔ x = 0 atau x = 20/4 = 5

Dengan demikian, akar dari 4x2 – 20x = 0 adalah 0 atau 5.

b) 3x2 + 5x = 0

Kita dapat menentukan akar persamaan kuadrat ini dengan cepat tanpa melalui perhitungan yaitu dengan menggunakan rumus x = 0 atau x = -b/a sehingga kita peroleh akar-akar dari 3x2 + 5x = 0 adalah 0 atau -5/3.

Akar Persamaan Kuadrat Bentuk x2 – c

Persamaan kuadrat berbentuk x2 – c dapat kita ubah menjadi bentuk perkalian faktor-faktornya, yaitu:

x2 – c = (x – b)(x + b) dengan b = √|c|

Sehingga kita peroleh akar-akarnya yaitu –b dan b.

Contoh Soal:

Dengan cara pemfaktoran, tentukanlah akar-akar dari tiap persamaan berikut ini.

a) x2 – 16 = 0

b) x2 – 25 = 0

Jawab

a) x2 – 16 = 0

⇔ x2 – 16 = (x – √16)(x + √16) = 0 

⇔ (x – √16)(x + √16) = 0 

⇔ (x – 4)(x + 4) = 0 

⇔ x – 4 = 0 atau x + 4 = 0 

⇔ x = 4 atau x = -4

Dengan demikian, akar dari x2 – 16 = 0 adalah 4 atau -4.

b) x2 – 25 = 0

Dengan menggunakan rumus, b = √|c| maka kita peroleh b = √|-25|

b = √|-25|

b = √25

b = 5

Dengan demikian, akar-akar dari x2 – 25 = 0 adalah 5 atau -5.

#2 Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Berikut ini adalah langkah-langkah dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Misalnya terdapat sebuah persamaan berbentuk ax2 + bx + c = 0 dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0. Maka dengan melengkapkan kuadrat sempurna, akar-akarnya dapat dicari langkah-langkah berikut.

#1 Tentukan nilai a, b dan c

#2 Bagi kedua ruas dengan a

#3 Kurangi kedua ruas dengan nilai c

Jika a = 1, maka pakai nilai c dari persamaan kuadrat lama

Jika a ≠ 1, maka pakai nilai c dari persamaan kuadrat baru dan berlaku untuk langkah berikutnya

#4 Tambahkan (b/2a)2 pada kedua ruas

#5 Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna

Bentuk persamaan kuadrat sempurna yang dimaksud adalah sebagai berikut.

(x + p)2 = q dengan q ≥ 0

#6 Tentukan akar-akar persamaan kuadrat

Akar persamaan kuadrat ditentukan sesuai dengan bentuk persamaan yang terakhir. Adapun akar dari persamaan tersebut dapat dicari dengan rumus berikut ini.

(x + p) = ± √q atau x = –p  ± √q

Contoh Soal:

Dengan melengkapkan kuadrat sempurna, tentukanlah akar-akar dari persamaan x2 + 8x + 12 = 0

Jawab

1) Persamaan  x2 + 8x + 12 = 0 memiliki nilai a = 1, b = 8 dan c = 12

2) Karena a = 1, maka kita langsung menuju langkah 3

3) Kurangi kedua ruas dengan nilai c

⇔ x2 + 8x + 12 = 0

⇔ x2 + 8x + 12 – 12 = 0 – 12

⇔ x2 + 8x = –12

4) Tambahkan (b/2a)2 = (8/2.1)2 = 16 pada kedua ruas.

⇔ x2 + 8x = –12

⇔ x2 + 8x + 16 = –12 + 16

⇔ x2 + 8x + 16 = 4

5) Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna (x + p)2 = q

⇔ x2 + 8x + 16 = 4

⇔ (x + 4)2 = 4

6) Langkah terakhir menentukan akar dengan rumus (x + p) = ± √q

⇔ (x + 4)2 = 4

⇔ x + 4 = ± √4

⇔ x + 4 = ± 2

⇔ x1 = –4 + 2 = –2 atau x2 = –4 – 2 = –6

Jadi, akar-akarnya adalah x1 = –2 atau x2 = –6 ditulis HP = {–6, –2}

#3 Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Rumus ABC

Rumus ABC atau rumus kuadrat biasanya dipergunakan untuk menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat yang sulit untuk difaktorkan. Akan tetapi karena menggunakan perhitungan yang agak rumit, untuk bentuk persamaan kuadrat sederhana yang masih bisa difaktorkan dengan mudah, pada umumnya orang lebih menyukai metode pemfaktoran selain karena mereka tidak hafal rumus ABC ini. Bentuk Rumus ABC yang dimaksud adalah sebagai berikut.

x1,2	=	–b ± √	b2 – 4ac
		2a

Rumus kuadrat di atas sebenarnya diperoleh dengan proses melengkapkan kuadrat sempurna pada bentuk persamaan ax2 + bx + c. Jika kalian ingin mengetahui bagaimana caranya mendapatkan rumus ABC di atas, silahkan kalian baca artikel tentang 2 cara pembuktian rumus ABC (Rumus Kuadrat) secara mudah.

Contoh Soal :

Dengan menggunakan rumus ABC, tentukanlah akar-akar dari persamaan x2 + 8x + 12 = 0

Jawab

Persamaan x2 + 8x + 12 = 0 memiliki nilai a = 1, b = 8 dan c = 12.

x1,2	=	–b ± √	b2 – 4ac
		2a

x1,2	=	–8 ± √	82 – 4(1)(12)
		2(1)

x1,2	=	–8 ± √	64 – 48
		2

x1,2	=	–8 ± √	16
		2

x1,2	=	–8 ± 4
		2

x1,2 = –4 ± 2

x1 = –4 – 2 = –6

x2 = –4 + 2 = –2

Jadi akar-akarnya adalah x1 = –6 atau x2 = –2 dan bisa kita tuliskan HP = {–6, –2}.