Penyelesaian SPLK Implisit Yang Dapat Difaktorkan

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Sistem persamaan linear dan kuadrat atau disingkat SPLK merupakan sistem persamaan yang terdiri atas sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang masing-masing bervariabel dua. SPLK dibedakan menjadi dua jenis berdasarkan bentuk kuadratnya, yaitu SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit dan SPLK dengan bagian bagian kuadrat berbentuk implisit.

Secara umum, SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit dapat dituliskan sebagai berikut.

px + qy + r = 0	……………. (bagian linear)
ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0	……………. (bagian kuadrat)

Dengan a, b, c, d, e, f, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.

SPLK dengan bagian kuadrat yang berbentuk implisit ada dua kemungkinan, yaitu:

1. SPLK bentuk implisit yang tak dapat difaktorkan

2. SPLK bentuk implisit yang dapat difaktorkan

Nah, pada kesempatan kali ini kita akan membahas tentang cara menentukan himpunan penyelesaian dari Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK) dengan bagian kuadrat berbentuk implisit yang dapat difaktorkan. Untuk itu, silahkan kalian simak baik-baik penjelasan berikut ini. Selamat belajar dan semoga bisa paham.

Cara Menentukan Penyelesaian SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit yang dapat difaktorkan

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit yang dapat difaktorkan dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut.

Langkah 1:

Nyatakan bagian bentuk kuadratnya ke dalam faktor-faktor dengan ruas kanan sama dengan nol, sehingga diperoleh L1 . L2 = 0.

L1 . L2 = 0 ⇔ L1 = 0 atau L2 = 0, dengan L1 dan L2 masing-masing berbentuk linear.

Langkah 2:

Bentuk-bentuk linear yang diperoleh pada Langkah 1 digabungkan dengan persamaan linear semula, sehingga diperoleh dua buah SPLDV. Kemudian selesaikan masing-masing SPLDV itu.

Langkah-langkah di atas dapat diperlihatkan dalam bentuk bagan seperti di bawah ini.

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut ini.

x + 2y = 4 ……...……… bagian linear

2x2 – 3xy – 2y2 = 0 …. bagian kuadrat

Jawab:

Bagian kuadrat dapat difaktorkan sebagai berikut.

⇒ 2x2 – 3xy – 2y2 = 0

⇒ (2x + y)(x – 2y) = 0

⇒ 2x + y = 0 atau x – 2y = 0

Kemudian hasil ini kita gabungkan dengan persamaan linear semula, sehingga akan diperoleh dua Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV), yaitu sebagai berikut.

x + 2y = 4	………. SPLDV pertama
2x + y = 0

x + 2y = 4	………. SPLDV kedua
x – 2y = 0

Selanjutnya masing-masing SPLDV itu diselesaikan dengan menggunakan salah satu dari metode penyelesaian SPLDV berikut ini.

■ Metode subtitusi

■ Metode eliminasi

■ Metode gabungan atau campuran

■ Metode determinan

■ Metode invers matriks

Sebagai contoh, kita akan menggunakan metode gabungan (eliminasi + subtitusi)

Menyelesaikan SPLDV  pertama

Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan x + 2y = 4 dan 2x + y = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.

x + 2y	=	4	|× 2|	→	2x + 4y	=	8
2x + y	=	0	|× 1|	→	2x + y	=	0	−
					3y	=	8
					y	=	8/3

Selanjutnya, subtitusikan nilai y = 8/3 ke persamaan x + 2y = 4 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.

⇒ x + 2y = 4

⇒ x + 2(8/3) = 4

⇒ x + 16/3 = 4

Kalikan kedua ruas dengan 3 untuk menghilangkan bentuk pecahan

⇒ 3x + 16 = 12

⇒ 3x = 12 – 16

⇒ 3x = –4

⇒ x = –4/3

Dengan demikian, SPLDV pertama ini memberikan penyelesaian (–4/3, 8/3).

Menyelesaikan SPLDV  Kedua

Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan x + 2y = 4 dan x – 2y = 0 kita peroleh nilai x sebagai berikut.

x + 2y	=	4
x – 2y	=	0	+
2x	=	4
x	=	2

Selanjutnya subtitusikan nilai x = 2 ke persamaan x + 2y = 4 sehingga diperoleh nilai y sebagai berikut.

⇒ x + 2y = 4

⇒ 2 + 2y = 4

⇒ 2y = 4 – 2

⇒ 2y = 2

⇒ y = 1

Dengan demikian, SPLDV kedua ini memberikan penyelesaian (2, 1)

Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah {(–4/3, 8/3), (2, 1)}.

2. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.

2x + 3y = 8

4x2 – 12xy + 9y2 = 16

Jawab:

Bagian kuadrat dapat difaktorkan sebagai berikut.

⇒ 4x2 – 12xy + 9y2 = 16

⇒ (2x – 3y)2 – 16 = 0

⇒ (2x – 3y + 4)(2x – 3y – 4) = 0

⇒ 2x – 3y + 4 = 0 atau 2x – 3y – 4 = 0

Jika hasil ini digabungkan dengan persamaan linear semula, maka akan diperoleh dua SPLDV, yaitu sebagai berikut.

2x + 3y = 8	………. SPLDV pertama
2x – 3y + 4 = 0

2x + 3y = 8	………. SPLDV kedua
2x – 3y – 4 = 0

Selanjutnya masing-masing SPLDV itu diselesaiakan dengan menggunakan salah satu dari metode penyelesaian SPLDV yang telah disebutkan sebelumnya.Sebagai contoh, kita gunakan metode gabungan.

Menyelesaikan SPLDV  pertama

Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan 2x + 3y = 8 dan 2x – 3y + 4 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.

2x + 3y	=	8
2x – 3y	=	–4	−
6y	=	12
y	=	2

Kemudian subtitusikan nilai y = 2 ke persamaan 2x + 3y = 8 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.

⇒ 2x + 3(2) = 8

⇒ 2x + 6 = 8

⇒ 2x = 8 – 6

⇒ 2x = 2

⇒ x = 1

Dengan demikian, SPLDV pertama ini memberikan penyelesaian (1, 2).

Menyelesaikan SPLDV  Kedua

Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan 2x + 3y = 8 dan 2x – 3y – 4 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.

2x + 3y	=	8
2x – 3y	=	4	−
6y	=	4
y	=	4/6
y	=	2/3

Kemudian subtitusikan nilai y = 2/3 ke persamaan 2x + 3y = 8 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.

⇒ 2x + 3(2/3) = 8

⇒ 2x + 6/3 = 8

⇒ 2x + 2 = 8

⇒ 2x = 8 – 2

⇒ 2x = 6

⇒ x = 3

Dengan demikian, SPLDV pertama ini memberikan penyelesaian (3, 2/3).

Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah {(1, 2), (3, 2/3)}.

3. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.

x – y = 3 ……………………… bagian linear

x2 – 4xy + 4y2 – 25 = 0 …. bagian kuadrat

Bagian kuadrat dapat difaktorkan sebagai berikut.

⇒ x2 – 4xy + 4y2 – 25 = 0

⇒ (x – 2y)2 – 25 = 0

⇒ (x – 2y + 5)( x – 2y – 5) = 0

⇒ x – 2y + 5 = 0 atau x – 2y – 5 = 0

Jika hasil ini digabungkan dengan persamaan linear semula, maka akan diperoleh dua Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV), yaitu sebagai berikut.

x – y = 3	………. SPLDV pertama
x – 2y + 5 = 0

x – y = 3	………. SPLDV kedua
x – 2y – 5 = 0

Selanjutnya masing-masing SPLDV itu diselesaiakan dengan menggunakan salah satu dari metode penyelesaian SPLDV yang telah disebutkan sebelumnya. Sebagai contoh, kita gunakan metode gabungan.

Menyelesaikan SPLDV  pertama

Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan x – y = 3 dan x – 2y + 5 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.

x – y	=	3
x – 2y	=	–5	−
y	=	8

Selanjutnya subtitusikan nilai y = 8 ke persamaan x – y = 3 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.

⇒ x – 8 = 3

⇒ x = 3 + 8

⇒ x = 11

Dengan demikian, SPLDV pertama ini memberikan penyelesaian (11, 8).

Menyelesaikan SPLDV  Kedua

Dengan menggunakan metode eliminasi, maka dari sistem persamaan x – y = 3 dan x – 2y – 5 = 0 kita peroleh nilai y sebagai berikut.

x – y	=	3
x – 2y	=	5	−
y	=	–2

Selanjutnya subtitusikan nilai y = –2 ke persamaan x – y = 3 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.

⇒ x – (–2) = 3

⇒ x + 2 = 3

⇒ x = 3 – 2

⇒ x = 11

Dengan demikian, SPLDV kedua ini memberikan penyelesaian (1, –2).

Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah {(11, 8), (1, –2)}.