Penyelesaian SPLK Implisit Yang Tidak Dapat Difaktorkan
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/11/penyelesaian-SPLK-implisit-yang-tidak-dapat-difaktorkan.html
Daftar Materi Matematika
Advertisement
Sistem persamaan linear dan kuadrat atau disingkat SPLK merupakan sistem persamaan yang terdiri atas sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang masing-masing bervariabel dua. SPLK dibedakan menjadi dua jenis berdasarkan bentuk kuadratnya, yaitu SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit dan SPLK dengan bagian bagian kuadrat berbentuk implisit.
Secara umum, SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit dapat dituliskan sebagai berikut.
px + qy + r = 0
|
……………. (bagian linear)
|
ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0
|
……………. (bagian kuadrat)
|
Dengan a, b, c, d, e, f, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.
SPLK dengan bagian kuadrat yang berbentuk implisit ada dua kemungkinan, yaitu:
Nah, pada kesempatan kali ini kita akan membahas tentang cara menentukan himpunan penyelesaian dari Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK) dengan bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan. Untuk itu, silahkan kalian simak baik-baik penjelasan berikut ini. Selamat belajar dan semoga bisa paham.
Cara Menentukan Penyelesaian SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1: Pada bagian persamaan linear, nyatakan x dalam y atau y dalam x.
Langkah 2: Subtitusikan x atau y pada langkah 1 ke bagian bentuk kuadrat, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.
Langkah 3: Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh pada langkah 2, kemudian nilai-nilai yang didapat disubtitusikan ke persamaan linear atau kuadrat. Namun untuk efisiensi waktu, cukup subtitusikan ke persamaan linear saja.
Contoh Soal dan Pembahasan
1. Carilah himpunan-himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dan kuadrat berikut ini.
x + y = 0 ……….. bagian linear
x2 + y2 – 8 = 0 ….. bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan
Jawab:
Pada bagian persamaan linear, kita nyatakan y dalam x, yaitu sebagai berikut.
⇒ x + y = 0
⇒ y = x
Lalu subtitusikan persamaan y = x , ke persamaan kuadrat x2 + y2 – 8 = 0 sehingga kita peroleh:
⇒ x2 + y2 – 8 = 0
⇒ x2 + (x)2 – 8 = 0
⇒ x2 + x2 – 8 = 0
⇒ 2x2 – 8 = 0
⇒ x2 – 4 = 0
⇒ (x – 2)(x + 2) = 0
⇒ x = 2 atau x = −2
Setelah nilai-nilai x kita peroleh, selanjutnya subtitusikan x = 2 atau x = −2 ke persamaan linear x + y = 0, yaitu sebagai berikut.
■ untuk x = 2 diperoleh:
⇒ x + y = 0
⇒ 2 + y = 0
⇒ y = −2
Kita peroleh himpunan penyelesaian (2, −2)
■ untuk x = −2 diperoleh:
⇒ x + y = 0
⇒ −2 + y = 0
⇒ y = 2
Kita peroleh himpunan penyelesaian (−2, 2)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, −2), (−2, 2)}. Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPLK tersebut dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong garis x + y = 0 dengan lingkaran x2 + y2 = 8. Perhatikan gambar berikut ini.
2. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.
x + y – 1 = 0
x2 + y2 – 25 = 0
Jawab:
Pada bagian persamaan linear, kita nyatakan y dalam x yaitu sebagai berikut.
⇒ x + y – 1 = 0
⇒ y = 1 – x
Lalu subtitusikan persamaan y = 1 – x, ke persamaan kuadrat x2 + y2 – 25 = 0, sehingga kita peroleh:
⇒ x2 + y2 – 25 = 0
⇒ x2 + (1 – x)2 – 25 = 0
⇒ x2 + 1 – 2x + x2 – 25 = 0
⇒ 2x2 – 2x – 24 = 0
⇒ x2 – x – 12 = 0
⇒ (x + 3)(x – 4) = 0
⇒ x = −3 atau x = 4
Setelah nilai-nilai x kita peroleh, selanjutnya subtitusikan x = −3 atau x = 4 ke persamaan linear x + y – 1 = 0 yaitu sebagai berikut.
■ untuk x = −3 diperoleh:
⇒ x + y – 1 = 0
⇒ −3 + y – 1 = 0
⇒ y – 4 = 0
⇒ y = 4
Kita peroleh himpunan penyelesaian (−3, 4).
■ untuk x = 4 diperoleh:
⇒ x + y – 1 = 0
⇒ 4 + y – 1 = 0
⇒ y + 3 = −3
⇒ y = 4
Kita peroleh himpunan penyelesaian (4, −3).
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(−3, 4), (4, −3)}.
3. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.
2x – y – 8 = 0
x2 + 4xy + 4y2 + 2x + 4y + 1 = 0
Jawab:
Pada bagian persamaan linear, kita nyatakan y dalam x yaitu sebagai berikut.
⇒ 2x – y – 8 = 0
⇒ y = 2x – 8
Lalu subtitusikan persamaan y = 2x – 8, ke persamaan kuadrat x2 + 4xy + 4y2 + 2x + 4y + 1 = 0, sehingga kita peroleh:
⇒ x2 + 4xy + 4y2 + 2x + 4y + 1 = 0
⇒ x2 + 4x(2x – 8) + 4(2x – 8)2 + 2x + 4(2x – 8) + 1 = 0
⇒ x2 + 8x2 – 32x + 4(4x2 – 32x + 64) + 2x + 8x – 32 + 1 = 0
⇒ x2 + 8x2 – 32x + 16x2 – 128x + 256 + 2x + 8x – 32 + 1 = 0
⇒ 25x2 – 150x + 225 = 0
⇒ x2 – 6x + 9 = 0
⇒ (x – 3)2 = 0
⇒ x – 3 = 0
⇒ x = 3
Setelah nilai x kita peroleh, selanjutnya subtitusikan x = 3, ke persamaan linear 2x – y – 8 = 0, yaitu sebagai berikut.
⇒ 2(3) – y – 8 = 0
⇒ 6 – y – 8 = 0
⇒ y = 6 – 8
⇒ y = −2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, −2)}.
