Cara Menentukan Penyelesaian SPLDV Metode Invers Matriks

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel atau disingkat SPLDV dapat dicari dengan beberapa cara, diantaranya adalah dengan menggunakan:

■ Metode grafik

■ Metode subtitusi

■ Metode eliminasi

■ Metode gabungan

■ Metode determinan

■ Metode invers matriks

Nah, pada kesempatan kali ini, kita akan membahas tentang cara menentukan himpunan penyelesaian (HP) sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan metode invers matriks. Namun sebelum itu, tahukah kalian apa itu invers matriks? Berikut ini penjelasan singkat mengenai invers matriks.

Pengertian Invers Matriks

Jika A dan B adalah matriks persegi dan berlaku A . B = B . A = 1, maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A atau ditulis B = A-1. Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular. Sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular. Untuk mencari invers matriks persegi berordo 2×2, coba kalian perhatikan contoh berikut ini.

Jika A	=	[	a	b	]	Dengan ad – bc ≠ 0
			c	d

Maka invers dari matrik A (ditulis A-1) dirumuskan sebagai berikut.

A-1	=	1	[	d	−b	]
		ad – bc		−c	a

Jika ad – bc = 0, maka matriks tersebut tidak mempunyai invers atau disebut matriks singular.

Penyelesaian SPLDV dengan Invers Matriks

Invers matriks dapat digunakan untuk mempermudah dalam menentukan himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear baik dua variabel maupun tiga variabel. Untuk menentukan penyelesaian SPLDV dengan invers matriks, terlebih dahulu kita ubah bentuk umum SPLDV menjadi bentuk matriks. Perhatikan penjelasan berikut.

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah:

ax + by = p …………… Pers. (1)

cx + dy = q …………… Pers. (2)

Persamaan (1) dan (2) di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti di bawah ini.

AX = B

Matriks A memuat koefisien-koefisien kedua persamaan. Matriks X memuat variabel x dan y. Sedangkan matriks B memuat konstanta kedua persamaan linear. Dengan demikian, bentuk matriks AX = B adalah sebagai berikut

[	a	b	]	[	x	]	=	[	p	]
	c	d			y				q

Tujuan menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel adalah untuk menentukan nilai x dan nilai y yang memenuhi persamaan tersebut. Oleh karena itu, bentuk matriks AX = B harus kita ubah menjadi bentuk invers seperti berikut.

AX = B

X = A-1B

A-1 merupakan invers matriks A. Dengan menggunakan rumus invers matriks di atas, maka bentuk matriks dari X = A-1B adalah sebagai berikut.

[	x	]	=	1	[	d	−b	]	[	p	]
	y			ad – bc		−c	a			q

Nah, rumus inilah yang digunakan untuk menentukan nilai x dan y dari sistem persamaan linear dua variabel. Agar kalian lebih paham mengenai cara menggunakan rumus invers matriks di atas, silahkan pelajari contoh soal berikut ini.

Contoh Soal

Dengan menggunakan metode invers matriks, tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut ini.

2x – 3y = 3

x + 2y = 5

Pembahasan

Pertama, kita ubah SPLDV di atas menjadi bentuk matriks AX = B

[	2	−3	]	[	x	]	=	[	3	]
	1	2			y				5

Kedua, kita ubah matriks AX = B menjadi bentuk invers X = A-1B

[	x	]	=	1	[	2	−(-3)	]	[	3	]
	y			(2)(2) – (-3)(1)		−1	2			5

[	x	]	=	1	[	2	3	]	[	3	]
	y			4 – (-3)		−1	2			5

[	x	]	=	1	[	2	3	]	[	3	]
	y			7		−1	2			5

Ketiga, selesaikan persamaan matriks di atas

[	x	]	=	1	[	6 + 15	]
	y			7		−3 + 10

[	x	]	=	1	[	21	]
	y			7		7

[	x	]	=	[	21/7	]
	y				7/7

[	x	]	=	[	3	]
	y				1

Jadi, kita peroleh nilai x = 3 dan nilai y = 1. Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah HP = {(3, 1)}.