Kumpulan Contoh Soal Disjungsi dalam Logika Matematika dan Pembahasannya
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/05/contoh-soal-disjungsi-dan-pembahasannya.html
Daftar Materi Matematika
Advertisement
Apa Itu Disjungsi?
Disjungsi merupakan kalimat deklaratif yang dihubungkan dengan kata hubung “atau” dan dilambangkan dengan simbol “∨”. Misalkan terdapat dua buah pernyataan p dan q sebagai berikut.
p: Lisa mengajak adiknya jalan-jalan
q: Lisa memberi uang Rp5.000,00 kepada adiknya
Maka kalimat disjungsi dari dua pernyataan tersebut adalah sebagai berikut.
p ∨ q: Lisa mengajak adiknya jalan-jalan atau memberi uang Rp5.000,00 kepada adiknya.
Tabel Kebenaran Disjungsi
p
|
q
|
p ∨ q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
Keterangan:
B = benar
S = salah
Contoh Soal Dan Pembahasan
1. Diberikan dua pernyataan berikut ini.
p: 4 + 9 = 13 (benar)
q: 6 adalah bilangan prima (benar)
Tentukan kalimat disjungsi dan nilai kebenarannya.
Jawab:
p ∨ q: 4 + 9 = 13 atau 6 adalah bilangan prima (benar).
2. Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi dua pernyataan berikut.
p: Salah satu faktor dari 12 adalah 5. (salah)
q: 14 habis dibagi dengan 2. (benar)
Jawab:
p ∨ q: Salah satu faktor dari 12 adalah 5 atau 14 habis dibagi dengan 2. (benar)
3. Tentukan nilai kebenaran dari setiap disjungsi berikut ini.
a) 3 × 5 = 15 atau 15 adalah bilangan ganjil.
b) 3 × 5 = 15 atau 15 adalah bilangan genap.
c) 3 × 5 = 8 atau 8 adalah bilangan genap.
d) 3 × 5 = 8 atau 8 adalah bilangan ganjil.
Jawab:
a) Misalkan p: 3 × 5 = 15 dan q: 15 adalah bilangan ganjil maka:
● p: 3 × 5 = 15 bernilai benar (B)
● q: 15 adalah bilangan ganjil bernilai benar (B)
karena p dan q bernilai benar, maka p ∨ q benar.
b) Misalkan p: 3 × 5 = 15 dan q: 15 adalah bilangan genap maka:
● p: 3 × 5 = 15 bernilai benar (B)
● q: 15 adalah bilangan genap bernilai salah (S)
karena p bernilai benar dan q bernilai salah, maka p ∨ q benar.
c) Misalkan p: 3 × 5 = 8 dan q: 8 adalah bilangan genap maka:
● p: 3 × 5 = 8 bernilai salah (S)
● q: 8 adalah bilangan genap bernilai benar (B)
karena p bernilai salah dan q bernilai benar, maka p ∨ q benar.
d) Misalkan p: 3 × 5 = 8 dan q: 8 adalah bilangan ganjil maka:
● p: 3 × 5 = 8 bernilai salah (S)
● q: 8 adalah bilangan ganjik bernilai salah (S)
karena p dan q bernilai salah, maka p ∨ q salah.
4. Carilah nilai-nilai x agar kalimat berikut menjadi disjungsi yang benar.
5 – 2x = x – 1 atau 9 adalah bilangan prima.
Jawab:
“5 – 2x = x – 1 atau 9 adalah bilangan prima” terdiri atas kalimat terbuka p(x): 5 – 2x = x – 1 dan pernyataan q: 9 adalah bilangan prima. Agar kalimat itu menjadi disjungsi yang benar, maka kalimat terbuka p(x): 5 – 2x = x – 1 harus bernilai benar sebab pernyataan q sudah jelas bernilai salah (perhatikan tabel nilai kebenaran disjungsi di atas). Nilai x yang menjadikan kalimat terbuka p(x): 5 – 2x = x – 1 menjadi pernyataan yang benar adalah penyelesaian dari kalimat terbuka itu, yaitu:
⇒ 5 – 2x = x – 1
⇒ x + 2x = 5 + 1
⇒ 3x = 6
⇒ x = 2
Jadi, kalimat “5 – 2x = x – 1 atau 9 adalah bilangan prima” menjadi disjungsi yang benar untuk nilai x = 2.
5. Tentukan nilai kebenaran dari tiap disjungsi berikut ini.
a) 3 adalah bilangan prima atau 3 adalah bilangan ganjil.
b) 3 + 4 ≤ 12 atau 3 + 4 adalah sebuah bilangan genap.
c) x2 ≥ 0 atau x2 + 1 > 0.
d) |x| ≥ 0 atau √x2 = |x|
Jawab:
a) Misalkan p: 3 adalah bilangan prima dan q: 3 adalah bilangan ganjil, maka:
● p: 3 adalah bilangan prima bernilai benar (B).
● q: 3 adalah bilangan ganjil bernilai benar (B).
karena p dan q bernilai benar, maka p ∨ q benar.
b) Misalkan p: 3 + 4 ≤ 12 dan q: 3 + 4 adalah sebuah bilangan genap, maka:
● p: 3 + 4 ≤ 12 bernilai benar (B).
● q: 3 + 4 adalah sebuah bilangan genap bernilai salah (S).
karena p bernilai benar dan q bernilai salah, maka p ∨ q benar.
c) Misalkan p: x2 ≥ 0 dan q: x2 + 1 > 0, maka:
● p: x2 ≥ 0 bernilai benar (B).
● q: x2 + 1 > 0 bernilai benar (B).
Karena p dan q bernilai benar, maka p ∨ q benar.
d) Misalkan p: |x| ≥ 0 dan q: √x2 = |x|, maka:
● p: |x| ≥ 0 bernilai benar (B).
● q: √x2 = |x| bernilai salah (S), mengapa? Perhatikan penjelasan berikut.
⇒ √x2 = |x|
⇒ x ≠ |x|
karena p bernilai benar dan s bernilai salah, maka p ∨ q benar.
6. Misalkan p adalah pernyataan yang benar dan q adalah pernyataan yang salah. Tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan berikut.
a) ~p
b) ~q
c) p ∨ q
d) p ∨ ~q
e) ~p ∨ q
f) ~p ∨ ~q
Jawab:
Untuk mempermudah menentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di atas, maka kita buat dalam bentuk tabel berikut ini.
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p ∨ q
|
p ∨ ~q
|
~p ∨ q
|
~p ∨ ~q
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
7. Diketahui pernyataan-pernyataan:
p: 3 adalah bilangan prima dan
q: 3 adalah bilangan ganjil
Carilah rumus-rumus simbolis untuk setiap disjungsi berikut.
a) 3 bukan bilangan prima atau 3 adalah bilangan ganjil.
b) 3 adalah bilangan prima atau 3 bukan bilangan ganjil.
c) 3 bukan bilangan prima atau 3 bukan bilangan ganjil.
d) 3 adalah bilangan prima atau 3 adalah bilangan prima.
e) 3 bukan bilangan ganjil atau 3 adalah bilangan prima.
f) 3 bukan bilangan ganjil atau 3 bukan bilangan prima.
Jawab:
Terdapat dua pernyataan yaitu:
p: 3 adalah bilangan prima dan
q: 3 adalah bilangan ganjil
Ingkaran atau negasi dua pernyataan tersebut adalah:
~p: 3 bukan bilangan prima dan
~q: 3 bukan bilangan ganjil
Maka rumus simbolis dari disjungsi berikut ini adalah:
a) 3 bukan bilangan prima atau 3 adalah bilangan ganjil.
~p ∨ q
b) 3 adalah bilangan prima atau 3 bukan bilangan ganjil.
p ∨ ~q
c) 3 bukan bilangan prima atau 3 bukan bilangan ganjil.
~p ∨ ~q
d) 3 adalah bilangan prima atau 3 adalah bilangan prima.
p ∨ p
e) 3 bukan bilangan ganjil atau 3 adalah bilangan prima.
~q ∨ p
f) 3 bukan bilangan ganjil atau 3 bukan bilangan prima.
~q ∨ ~p
8. Carilah nilai-nilai x agar setiap kalimat berikut menjadi disjungsi yang benar.
a) x – 3 = 5 – 3x atau 99 adalah bilangan prima.
b) x2 – 16 = 0 atau 3 + 3 < 3 + 1.
Jawab:
a) Terdapat satu kalimat terbuka dan satu pernyataan yang bernilai salah, yaitu:
kalimat terbuka:
p(x): x – 3 = 5 – 3x
pernyataan:
q: 99 adalah bilangan prima (salah)
agar p ∨ q bernilai benar, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi sebuah pernyataan yang benar. Dengan demikian nilai x yang memenuhi agar p(x) menjadi pernyataan yang bernilai benar adalah sebagai berikut.
⇒ x – 3 = 5 – 3x
⇒ x + 3x = 5 + 3
⇒ 4x = 8
⇒ x = 2
Jadi, kalimat “x – 3 = 5 – 3x atau 99 adalah bilangan prima” menjadi disjungsi yang benar untuk nilai x = 2.
b) Terdapat satu kalimat terbuka dan satu pernyataan yang bernilai salah, yaitu:
kalimat terbuka:
p(x): x2 – 16 = 0
pernyataan:
q: 3 + 3 < 3 + 1 (salah)
agar p ∨ q bernilai benar, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi sebuah pernyataan yang benar. Dengan demikian nilai x yang memenuhi agar p(x) menjadi pernyataan yang bernilai benar adalah sebagai berikut.
⇒ x2 – 16 = 0
⇒ (x – 4)(x + 4) = 0
⇒ x = 4 atau x = -4
Jadi, kalimat “x2 – 16 = 0 atau 3 + 3 < 3 + 1” menjadi disjungsi yang benar untuk nilai x = 4 atau x = -4.
9. Diketahui p(x): 2x2 – 7x + 3 = 0 dan q(x): x2 – 2x – 3 = 0, dengan x adalah peubah pada himpunan bilangan real R. Jika p dan q adalah pernyataan yang terbentuk dari p(x) dan q(x) dengan mengganti nilai x ∈ R, carilah nilai x sehingga (p ∨ q) bernilai benar.
Jawab:
Himpunan penyelesaian p(x): 2x2 – 7x + 3 = 0 adalah P = {1/2, 3}
Himpunan penyelesaian q(x): x2 – 2x – 3 = 0 adalah Q = {-1, 3}
P ∪ Q = {-1, 1/2, 3}
(p ∨ q) bernilai benar, jika x ∈ (P ∪ Q), berarti x = -1, x = 1/2, x = 3.
