Kumpulan Contoh Soal Biimplikasi dalam Logika Matematika dan Pembahasannya
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/05/contoh-soal-biimplikasi-dalam-logika-matematika.html
Daftar Materi Matematika
Advertisement
Apa itu Biimplikasi?
Biimplikasi atau implikasi dwiarah merupakan dua pernyataan atau kalimat terbuka yang dihubungkan dengan kata hubung “… jika dan hanya jika …” dan dilambangkan dengan simbol “⇔”. Misalkan terdapat dua buah pernyataan p dan q sebagai berikut.
p: Lisa memberikan uang kepada adiknya.
q: Lisa lulus ujian.
Maka kalimat implikasi dari dua pernyataan tersebut adalah sebagai berikut.
p ⇔ q: Lisa akan memberikan uang kepada adiknya jika dan hanya jika ia lulus ujian.
Tabel Kebenaran Biimplikasi
p
|
q
|
p ⇔ q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
Keterangan:
B = benar
S = salah
Contoh Soal Dan Pembahasan
1. Tentukan nilai kebenaran dari biimplikasi dua pernyataan berikut.
p: 3 × 2 = 6 (benar)
q: 6 memiliki faktor {1, 2, 3, 4, 6} (salah)
Jawab:
p ⇔ q: 3 × 2 = 6 jika dan hanya jika 6 memiliki faktor {1, 2, 3, 4, 6}. (salah)
2. Tentukan nilai kebenaran dari biimplikasi dua pernyataan berikut.
p: Persegi memiliki 5 simetri lipat. (salah)
q: Persegi memiliki 2 simetri putar. (sala)
Jawab:
p ⇔ q: Persegi memiliki 5 simetri lipat jika dan hanya jika memiliki 2 simetri putar. (benar)
3. Tentukan nilai kebenaran setiap biimplikasi berikut ini.
a) (16)1/2 = 4 jika dan hanya jika 16log 4 = ½
b) x2 – 4x + 3 = 0 mempunyai akar real jika dan hanya jika x2 – 4x = 0 tidak mempunyai akar real.
Jawab:
a) Misalkan p: (16)1/2 = 4 dan q: 16log 4 = ½, maka:
● p: (16)1/2 = 4 bernilai benar (B)
● q: 16log 4 = ½ bernilai benar (B)
Karena p dan q bernilai benar, maka p ⇔ q benar.
b) Misalkan p: x2 – 4x + 3 = 0 mempunyai akar real dan q: x2 – 4x = 0 tidak mempunyai akar real, maka:
● p: x2 – 4x + 3 = 0 mempunyai akar real bernilai benar (B)
● q: x2 – 4x = 0 tidak mempunyai akar real bernilai salah (S)
Karena p bernilai benar sedangkan q bernilai salah, maka p ⇔ q salah.
4. Carilah nilai-nilai x agar kalimat berikut menjadi biimplikasi yang bernilai benar.
3x – 4 = 2x + 2 jika dan hanya jika 6 adalah bilangan genap.
Jawab:
Kalimat “3x – 4 = 2x + 2 jika dan hanya jika 6 adalah bilangan genap” dapat dituliskan dalam bentuk “p(x) ⇔ q” dengan p(x): 3x – 4 = 2x + 2 merupakan suatu kalimat terbuka dan q: 6 adalah bilangan genap merupakan suatu pernyataan.
Agar kalimat “3x – 4 = 2x + 2 jika dan hanya jika 6 adalah bilangan genap” menjadi implikasi yang bernilai benar, maka kalimat terbuka p(x): 3x –4 = 2x + 2 haruslah diubah menjadi pernyataan yang benar, sebab pernyataan q sudah jelas bernilai benar (perhatikan tabel nilai kebenaran biimplikasi di atas).
Nilai x yang menyebabkan kalimat terbuka p(x): 3x – 4 = 2x + 2 menjadi pernyataan yang benar adalah himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka itu, yaitu untuk x = 6. Jadi, kalimat “3x – 4 = 2x + 2 jika dan hanya jika 6 adalah bilangan genap” menjadi biimplikasi yang bernilai benar untuk x = 6.
5. Tentukan nilai kebenaran setiap biimpliasi berikut ini.
a) 0 termasuk bilangan cacah jika dan hanya jika 0 adalah bilangan asli.
b) 2m–n = 2m – 2n jika dan hanya jika 25–2 = 23.
Jawab:
a) Misalkan p: 0 termasuk bilangan cacah dan q: 0 adalah bilangan asli, maka:
● p: 0 termasuk bilangan cacah bernilai benar (B)
● q: 0 adalah bilangan asli bernilai salah (S)
Karena p bernilai benar sedangkan q bernilai salah, maka p ⇔ q salah.
b) Misalkan p: 2m–n = 2m – 2n dan q: 25–2 = 23, maka:
● p: 2m–n = 2m – 2n bernilai salah (S)
● q: q: 25–2 = 23 bernilai benar (B)
Karena p bernilai salah dan q bernilai benar, maka p ⇔ q salah.
6. Diketahui p adalah pernyataan yang bernilai salah dan q adalah pernyataan yang bernilai benar, tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan berikut.
a) p ⇔ q
b) p ⇔ ~q
c) ~p ⇔ q
d) ~p ⇔ ~q
e) ~(p ⇔ ~q)
f) ~(~p ⇔ q)
Jawab:
Untuk mempermudah menentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di atas, maka kita buat dalam bentuk tabel berikut ini.
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p ⇔ q
|
p ⇔ ~q
|
~p ⇔ q
|
~p ⇔ ~q
|
~(p ⇔ ~q)
|
~(~p ⇔ q)
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
7. Carilah nilai x agar setiap kalimat berikut ini menjadi biimplikasi yang bernilai benar.
a) 2x + 1 = 3 jika dan hanya jika 3 adalah bilangan komposit.
b) x2 – 1 ≤ jika dan hanya jika 2log 4 + 2log 2 = 3.
Jawab:
a) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): 2x + 1 = 3 dan sebuah pernyataan q: 3 adalah bilangan komposit. Nilai kebenaran pernyataan q adalah sebagai berikut.
q: 3 adalah bilangan komposit bernilai salah. Hal ini dikarenakan 3 adalah bilangan prima sehingga tidak termasuk bilangan komposit. Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih dari 1 yang bukan bilangan prima. Contoh bilangan komposit adalah 4, 6, 8, 9, dan seterusnya.
Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇔ q menjadi biimplikasi yang benar, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai salah. Sehingga nilai x yang memenuhi adalah sebagai berikut.
2x + 1 = 3
2x = 3 – 1
2x = 2
x = 1
Karena p(x) harus bernilai salah, maka x harus bernilai selain 1. Jadi, agar kalimat “2x + 1 = 3 jika dan hanya jika 3 adalah bilangan komposit” menjadi biimplikasi yang benar, maka x ∈ R, x ≠1.
b) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): x2 – 1 ≤ 0 dan sebuah pernyataan q: 2log 4 + 2log 2 = 3. Nilai kebenaran pernyataan q adalah sebagai berikut.
2log 4 + 2log 2 = 2log 22 + 2log 21
= 2 + 1
= 3
Dengan demikian, pernyataan q bernilai benar (B). Agar p ⇔ q menjadi biimplikasi yang benar, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar. Sehingga nilai x yang memenuhi adalah sebaga berikut.
x2 – 1 ≤ 0 maka HP = {x| -1 ≤ x ≤ 1, x ∈ R}
Jadi, agar kalimat “x2 – 1 ≤ jika dan hanya jika 2log 4 + 2log 2 = 3” menjadi biimplikasi yang benar, maka rentang nilai x yang memenuhi adalah -1≤ x ≤ 1, x ∈ R.
8. Carilah nilai x agar kalimat berikut ini menjadi biimplikasi yang bernilai salah.
4x – 2 = 10 jika dan hanya jika log 4 + log 1 = log 5
Jawab:
Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): 4x – 2 = 10 dan sebuah pernyataan q: log 4 + log 1 = log 5. Nilai kebenaran pernyataan q adalah sebagai berikut.
log 4 + log 1 = log (4 × 1)
= log 4
Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇔ q menjadi biimplikasi yang salah, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar. Sehingga nilai x yang memenuhi adalah sebaga berikut.
4x – 2 = 10
4x = 10 + 2
4x = 12
x = 3
Jadi, agar kalimat “4x – 2 = 10 jika dan hanya jika log 4 + log 1 = log 5” menjadi bimplikasi yang bernilai salah, maka nilai x = 3.
9. Tentukan nilai kebenaran setiap biimplikasi berikut ini.
a) log 25 – log 4 = 21 jika dan hanya jika log 25 + log 4 = 2.
b) a = b jika dan hanya jika a + c = b + c, untuk a, b, c ∈ R.
Jawab:
a) Misalkan p: log 25 – log 4 = log 21 dan q: log 25 + log 4 = 2. Kita tentukan nilai kebenaran pernyataan p dan q sebagai berikut.
Nilai kebenaran p:
log 25 – log 4 = log (25/4)
log 25 – log 4 = log 6,25
jadi nilai kebenaran pernyataan p adalah salah (S).
Nilai kebenaran p:
log 25 + log 4 = log (25 × 4)
log 25 + log 4 = log 100
log 25 + log 4 = log 102
log 25 + log 4 = 2
jadi nilai kebenaran pernyataan q adalah benar (B).
karena p bernilai salah sedangkan q bernilai benar, maka p ⇔ q salah.
b) Misalkan p: a = b dan q: a + c = b + c. Dengan menggunakan persamaan pada pernyataan p, kita uji nilai kebenaran pernyataan q, yaitu sebagai berikut.
a + c = b + c
b + c = b + c
Jadi, pernyataan q benar, sedangkan pernyataan p sudah pasti benar (saling mempengaruhi) dengan demikian, p ⇔ q benar.
10. Carilah nilai x agar kalimat berikut ini menjadi biimplikasi yang bernilai benar.
√9 adalah bilangan irasional jika dan hanya jika x > 2
Jawab:
Terdapat pernyataan p: √9 adalah bilangan irasional dan kalimat terbuka q(x): x > 2. Nilai kebenaran pernyataan p adalah sebagai berikut.
√9 = ±3 (bilangan rasional)
Dengan demikian, pernyataan p bernilai salah. Agar p ⇔ q benar, maka kalimat terbuka q(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai salah, sehingga nilai x yang memenuhi adalah x ≤ 2, x ∈R.
11. Carilah nilai x agar kalimat berikut menjadi biimplikasi yang bernilai salah.
Log 9 = 2 log 3 jika dan hanya jika x ≥ 5.
Jawab:
Terdapat sebuah pernyataan p: log 9 = 2 log 3 dan kalimat terbuka q(x): x ≥ 5. Nilai kebenaran pernyataan p adalah sebagai berikut.
Log 9 = log 32
Log 9 = 2 log 3
Jadi, pernyataan p bernilai benar (B). Agar p ⇔ q salah, maka kalimat terbuka q(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai salah sehingga nilai x yang memenuhi adalah x < 5, x ∈ R.
12. Di antara pernyataan biimplikasi berikut ini, manakah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran benar (B)?
a) x = 16 jika dan hanya jika 2log x = 4
b) x – 6 > 0 jika dan hanya jika x2 – 7x + 6 > 0.
c) Dua buah garis sejajar jika dan hanya jika garis itu sebidang.
Jawab:
Suatu pernyataan biimplikasi yang terdiri dari dua kalimat terbuka p(x) dan q(x) akan bernilai benar apabila himpunan penyelesaian dari kedua kalimat terbuka tersebut sama.
a) p(x): x = 16 dan q(x): 2log x = 4. Himpunan penyelesaian kedua kalimat terbuka ini adalah sebagai berikut.
Misalkan himpunan penyelesaian p(x) = P dan q(x): Q maka:
□ x = 16, P = 16
□ 2log x = 4
2log 24 = 4, Q = 24 = 16
Karena P = Q, maka kalimat “x = 16 jika dan hanya jika 2log x = 4” adalah biimplikasi yang benar.
b) p(x): x – 6 > 0 dan q(x): x2 – 7x + 6 > 0. Himpunan penyelesaian kedua kalimat terbuka ini adalah sebagai berikut.
Misalkan himpunan penyelesaian p(x) = P dan q(x): Q maka:
□ x – 6 > 0
x > 6, P = {x | x > 6, x ∈ R}.
□ x2 – 7x + 6 > 0
(x – 6)(x – 1) > 0, Q = {x | x < 1 atau x > 6, x ∈ R}
Karena P = Q, maka kalimat “p(x): x – 6 > 0 dan q(x): x2 – 7x + 6 > 0” adalah biimplikasi yang benar.
b) Dua garis sejajar sudah pasti sebidang. Tapi dua garis sebidang, belum tentu sejajar (bisa saja berhimpit). Jadi, kalimat “Dua buah garis sejajar jika dan hanya jika garis itu sebidang” adalah biimplikasi yang benar.
13. Carilah nilai x agar setiap kalimat berikut menjadi biimplikasi yang bernilai benar.
Log 10 = 1 jika dan hanya jika x3 + 1 = 0
Jawab:
Terdapat pernyataan p: Log 10 = 1 dan kalimat terbuka q(x): x3 + 1 = 0. Nilai kebenaran pernyataan p adalah sebagai berikut.
Log 10 = 10log 101 = 1
Dengan demikian, pernyataan p bernilai benar. Agar p ⇔ q benar, maka kalimat terbuka q(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar, sehingga nilai x yang memenuhi adalah x = -1.
14. Carilah nilai x agar kalimat berikut ini menjadi biimplikasi yang bernilai salah.
Log 16 = (log 4)2 jika dan hanya jika x2 – 16 = 0.
Jawab:
Terdapat sebuah pernyataan p: Log 16 = (log 4)2 dan kalimat terbuka q: x2 – 16 = 0. Nilai kebenaran pernyataan p adalah sebagai berikut.
Log 16 = log (4 × 4)
Log 16 = log 4 + log 4
(log 4)2 = log 4 × log 4
Jadi log 16 ≠ (log 4)2
Dengan demikian, pernyataan p bernilai salah. Agar p ⇔ q salah, maka kalimat terbuka q(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar, sehingga nilai x yang memenuhi adalah sebagai berikut.
x2 – 16 = 0
(x + 4)(x – 4) = 0
x = -4 atau x = 4
Jadi, kalimat “Log 16 = (log 4)2 jika dan hanya jika x2 – 16 = 0” akan menjadi biimplikasi yang salah, apabila nilai x = -4 atau x = 4.
