6 Macam Metode Menentukan Penyelesaian SPLDV + Contoh Soal dan Pembahasan

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

SPLDV merupakan kependekan dari Sistem Persamaan Linier Dua (2) Variabel. SPLDV  adalah suatu persamaan matematika yang terdiri atas dua persamaan linear yang masing-masing bervariabel dua (misal x dan y). Dengan demikian, bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dalam x dan y dapat kita tuliskan sebagai berikut.

ax + by = c	atau	a1x + b1y = c1
px + qy = r		a2x + b2y = c2

Dengan a, b, c, p, q dan r atau a1, b1, c1, a2, b2 dan c2 merupakan bilangan-bilangan real.

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dapat ditentukan dengan beberapa cara, diantaranya adalah dengan metode grafik, subtitusi, eliminasi, campuran (gabungan), determinan dan invers metrik. Nah, berikut ini penjelasan keenam jenis metode penyelesaian SPLDV tersebut. Silahkan kalian simak baik-baik.

1. Penyelesaian SPLDV Metode Grafik

Langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode grafis adalah sebagai berikut.

Langkah 1:

□ Tentukan koordinat titik potong masing-masing persamaan terhadap sumbu-X dan sumbu-Y.

□ Gambarkan grafik dari masing-masing persamaan pada sebuah bidang Cartesius.

Langkah 2:

□ Jika kedua garis berpotongan pada satu titik, maka himpunan penyelesaiannya tepat memiliki satu anggota.

□ Jika kedua garis sejajar, maka himpunan penyelesaiannya tidak memiliki anggota. Dikatakan himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong, dan ditulis ∅.

□ Jika kedua garis saling berhimpit, maka himpunan penyelesaiannya memiliki anggota yang tak hingga banyaknya.

Dengan menggunakan sifat-sifat dua garis berpotongan, dua garis sejajar dan dua garis berimpit, maka bayaknya anggota dari himpunan penyelesaian SPLDV berikut.

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

dapat ditetapkan sebagai berikut.

1. Jika a1b2 – a2b1 ≠ 0, maka SPLDV tepat memiliki satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.

2. Jika a1b2 – a2b1 = 0 dan a1c2 – a2c1 ≠ 0 atau c1b2 – c2b1 ≠ 0, maka SPLDV tidak memiliki anggota dalam himpunan penyelesaiannya.

3. Jika a1b2 – a2b1 = 0 dan a1c2 – a2c1 = 0 atau c1b2 – c2b1 = 0, maka SPLDV memiliki anggota yang tak hingga banyaknya.

Contoh Soal:

Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV: x + y = 5 dan x − y = 1 untuk x, y ∈ R menggunakan metode grafik.

Penyelesaian

Pertama, kita tentukan titik potong masing-masing persamaan pada sumbu-X dan sumbu-Y

■ x + y = 5

Titik potong dengan sumbu-X, syaratnya adalah y = 0

⇔ x + 0 = 5

⇔ x = 5

Titik potong (5, 0)

Titik potong dengan sumbu-Y, syaratnya adalah x = 0

⇔ 0 + y = 5

⇔ y = 5

Titik potong (0, 5)

■ x − y = 1

Titik potong dengan sumbu-X, syaratnya adalah y = 0

⇔ x − 0 = 1

⇔ x = 1

Titik potong (1, 0)

Titik potong dengan sumbu-Y, syaratnya adalah x = 0

⇔ 0 − y = 1

⇔ y = −1

Titik potong (0, -1)

Kedua, kita gambarkan grafik dari masing-masing persamaan pada sebuah bidang Cartesius seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Dari gambar grafik di atas, titik potong kedua grafik tersebut adalah di titik (3, 2). Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 5 dan x – y = 1 untuk x, y ∈ R adalah {(3, 2)}.

2. Penyelesaian SPLDV Metode Subtitusi

Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode subtitusi adalah sebagai berikut.

Langkah 1:

Pilihlah salah satu persamaan (jika ada pilih yang paling sederhana), kemudian nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x.

Langkah 2:

Subtitusikan nilai x atau y yang diperoleh dari langkah 1 ke persamaan yang lain.

Contoh Soal:

Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLDV berikut ini.

5x + 5y = 25

3x + 6y = 24

Jawab

5x + 5y = 25 ………. Pers. (1)

3x + 6y = 24 ………. Pers. (2)

Dari persamaan (1) kita peroleh persamaan y sebagai berikut.

⇔ 5x + 5y = 25

⇔ 5y = 25 – 5x

⇔ y = 5 – x

Lalu kita subtitusikan persamaan y ke persamaan (2) sebagai berikut.

⇔ 3x + 6(5 – x) = 24

⇔ 3x + 30 – 6x = 24

⇔ 30 – 3x = 24

⇔ 3x = 30 – 24

⇔ 3x = 6

⇔ x = 2

Terakhir, untuk menentukan nilai y, kita subtitusikan nilai x ke persamaan (1) atau persamaan (2) sebagai berikut.

⇔ 5(2) + 5y = 25

⇔ 10 + 5y = 25

⇔ 5y = 25 – 10

⇔ 5y = 15

⇔ y = 3

Jadi, himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah {(2, 3)}.

3. Penyelesaian SPLDV Metode Eliminasi

Adapun cara untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi adalah sebagai berikut.

Nilai x dicari dengan cara mengeliminasi (menghilangkan) variabel y. Sedangkan nilai y dicari dengan cara mengeliminasi variabel x.

Contoh Soal:

Dengan menggunakan metode eliminasi, carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini.

2x + y = 8

x – y = 10

Jawab

Dari kedua persamaan di atas, kita bisa melihat bahwa koefisien yang sama dimiliki oleh peubah (variabel) y. Dengan demikian, variabel y dapat kita eliminasi (hilangkan) dengan cara dijumlahkan, sehingga nilai x bisa kita tentukan dengan cara berikut ini.

2x + y	=	8
x – y	=	10	+
3x	=	18
x	=	6

Selanjutnya, kita akan menentukan nilai y dengan cara mengeliminasi variabel x. Untuk dapat mengeliminasi variabel x, maka kita harus menyamakan koefisien x dari kedua persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.

2x + y = 8 → koefisien x = 2

x – y = 10 → koefisien x = 1

Agar kedua koefisien x sama, maka persamaan pertama kita kali dengan 1 sedangkan persamaan kedua kita kali dengan 2. Setelah itu, kedua persamaan kita kurangkan. Perhatikan langkah berikut.

2x + y	=	8	|× 1|	→	2x + y	=	8
x – y	=	10	|× 2|	→	2x – 2y	=	20	−
					3y	=	-12
					y	=	-4

Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = 6 dan y = -4 sehingga himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah {(6, -4)}.

4. Penyelesaian SPLDV Metode Gabungan

Metode gabungan adalah suatu metode yang digunakan untuk mencari himpunan penyelesaian SPLDV dengan cara menggabungkan dua metode sekaligus, yakni metode eliminasi dan metode subtitusi.

Pertama, menggunakan metode eliminasi untuk mencari salah satu nilai variabelnya, setelah nilai variabel diperoleh, maka nilai variabel tersebut disubtitusikan ke dalam salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai variabel lainnya.

Agar tidak bingung, mari kita coba selesainkan sistem persamaan linear dua variabel berikut ini.

x + y = 7

x – y = 3

Dengan menggunakan metode gabungan, langkah-langkah penyelesaian SPLDV di atas adalah sebagai berikut.

Langkah 1 (eliminasi salah satu variabel)

Pertama, kita akan mengeliminasi (menghilangkan) salah satu variabel, misalnya x. Karena koefisien x pada kedua persamaan sudah sama maka kita bisa langsung mengurangkan kedua persamaan tersebut, yaitu sebagai berikut.

x+ y	=	7
x – y	=	3	−
2y	=	4
y	=	2

Langkah 2 (subtitusi nilai variabel yang telah diperoleh)

Selanjutnya, untuk memperoleh nilai x, kita dapat mensubtitusikan nilai y ke salah satu persamaan, misalnya persamaan x + y = 7, sehingga diperoleh:

x + y = 7

x + 2 = 7

x = 7 – 2

x = 5

Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = 5 dan y = 2 sehingga himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah {(5, 2)}.

Contoh Soal:

Dengan menggunakan metode gabungan, carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini.

2x + y = 8

x – y = 10

Jawab

Dari kedua persamaan di atas, kita bisa melihat bahwa koefisien yang sama dimiliki oleh peubah (variabel) y. Dengan demikian, variabel y dapat kita eliminasi (hilangkan) dengan cara dijumlahkan, sehingga nilai x bisa kita tentukan dengan cara berikut ini.

2x + y	=	8
x – y	=	10	+
3x	=	18
x	=	6

Selanjutnya, kita akan menentukan nilai y dengan cara mensubtitusikan nilai x ke salah satu persamaan, misalnya persamaan x – y = 10. Sehingga kita peroleh hasil sebagai berikut.

x – y = 10

6 – y = 10

y = 6 – 10

y = -4

Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = 6 dan y = -4 sehingga himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah {(6, -4)}.

5. Penyelesaian SPLDV Metode Determinan

Metode determinan sering juga disebut dengan metode cramer. Determinan adalah suatu bilangan yang berkaitan dengan matriks bujur sangkar (persegi). Determinan dapat pula digunakan untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linear baik dua variabel (SPLDV) maupun tiga variabel (SPLTV).

Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian dengan metode determinan adalah sebagai berikut.

Langkah Pertama, ubahlah sistem persamaa linear dua variabel ke dalam bentuk matriks, yaitu sebagai berikut.

Misalkan terdapat sistem persamaan berikut.

ax + by = e

cx + dy = f

persamaan di atas kita ubah menjadi bentuk berikut

A . X = B …………… Pers. (1)

Dengan:

A	=	a	b
		c	d

X	=	x
		y

B	=	e
		f

Sehingga persamaan 1 di atas menjadi bentuk matriks berikut.

a	b		x	=	e
c	d		y		f

Langkah Kedua, tentukan nilai determinan matriks A (D), determinan x (Dx) dan determinan y (Dy)dengan persamaan berikut.

D	=	a	b	=	ad − bc
		c	d

D adalah determinan dari matriks A.

Dx	=	e	b	=	de − bf
		f	d

Dx adalah determinan dari matriks A yang kolom pertama diganti dengan elemen-elemen matriks B.

Dy	=	a	e	=	af − ce
		c	f

Dy adalah determinan dari matriks A yang kolom kedua diganti dengan elemen-elemen matriks B.

Langkah Ketiga, tentukan nilai x dan y dengan persamaan berikut.

x	=	Dx	dan	y	=	Dy
		D				D

Contoh Soal:

Dengan menggunakan metode determinan, tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini.

2x + y = 3

3x + 5y = 1

Jawab:

Pertama, kita ubah sistem persamaan di atas ke dalam bentuk matriks berikut

2	1		x	=	3
3	5		y		1

Kedua, kita tentukan nilai D, Dx dan Dy dengan ketentuan seperti pada langkah-langkah di atas.

D	=	2	1	=	(2)(5) – (1)(3) = 10 – 3 = 7
		3	5

Dx	=	3	1	=	(3)(5) – (1)(1) = 15 – 1 = 14
		1	5

Dy	=	2	3	=	(2)(1) – (3)(3) = 2 – 9 = -7
		3	1

Ketiga, kita tentukan nilai x dan y menggunakan nilai-nilai determinan di atas.

x = Dx/D = 14/7 = 2

y = Dy/D = -7/7 = -1

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear di atas adalah HP = {(2, -1)}.

6. Penyelesaian SPLDV Metode Invers Metrik

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah:

ax + by = p …………… Pers. (a)

cx + dy = q …………… Pers. (b)

Persamaan (a) dan (b) di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti di bawah ini.

AX = B

Matriks A memuat koefisien-koefisien kedua persamaan. Matriks X memuat variabel x dan y. Sedangkan matriks B memuat konstanta kedua persamaan linear. Dengan demikian, bentuk matriks AX = B adalah sebagai berikut

a	b		x	=	p
c	d		y		q

Tujuan menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel adalah untuk menentukan nilai x dan nilai y yang memenuhi persamaan tersebut. Oleh karena itu, bentuk matriks AX = B harus kita ubah menjadi bentuk invers seperti berikut.

AX = B

X = A-1B

A-1 merupakan invers matriks A. Bentuk matriks dari X = A-1B adalah sebagai berikut.

x	=	1		d	−b		p
y		ad – bc		−c	a		q

Nah, rumus inilah yang digunakan untuk menentukan nilai x dan y dari sistem persamaan linear dua variabel.

Contoh Soal:

Dengan menggunakan metode invers matriks, tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut ini.

2x – 3y = 3

x + 2y = 5

Pembahasan

Pertama, kita ubah SPLDV di atas menjadi bentuk matriks AX = B

2	−3		x	=	3
1	2		y		5

Kedua, kita ubah matriks AX = B menjadi bentuk invers X = A-1B

x	=	1		2	−(-3)		3
y		(2)(2) – (-3)(1)		−1	2		5

x	=	1		2	3		3
y		4 – (-3)		−1	2		5

x	=	1		2	3		3
y		7		−1	2		5

Ketiga, selesaikan persamaan matriks di atas

x	=	1		6 + 15
y		7		−3 + 10

x	=	1		21
y		7		7

x	=	21/7
y		7/7

x	=	3
y		1

Jadi, kita peroleh nilai x = 3 dan nilai y = 1. Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah HP = {(3, 1)}.