Kumpulan Contoh Soal Implikasi dalam Logika Matematika dan Pembahasannya

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Apa itu Implikasi?

Implikasi merupakan dua pernyataan atau kalimat terbuka yang dihubungkan dengan kata hubung “jika … maka …” serta dilambangkan dengan simbol “⇒”. Misalkan terdapat dua buah pernyataan p dan q sebagai berikut.

p: Lisa lulus ujian.

q: Lisa memberikan uang kepada adiknya.

Maka kalimat implikasi dari dua pernyataan tersebut adalah sebagai berikut.

p ⇒ q: Jika Lisa lulus ujian maka ia akan memberikan uang kepada adiknya.

Tabel Kebenaran Implikasi

p	q	p ⇒ q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	S

Keterangan:

B = benar

S = salah

Contoh Soal Dan Pembahasan

1. Tentukan nilai kebenaran dari implikasi dua pernyataan berikut.

p: Pak Rudi adalah manusia. (benar)

q: Pak Rudi kelak akan mati. (benar)

Jawab:

p ⇒ q: Jika Pak Rudi adalah manusia, maka kelak akan mati. (benar)

2. Tentukan nilai kebenaran dari implikasi dua pernyataan berikut.

p: 2 + 5 = 7 (benar)

q: 7 bukan bilangan prima (salah)

Jawab:

p ⇒ q: Jika 2 + 5 = 7, maka 7 bukan bilangan prima (salah).

3. Tentukan nilai kebenaran setiap implikasi berikut ini.

a) Jika 3 + 2 = 5, maka 5 adalah bilangan prima.

b) Jika 9 adalah bilangan genap, maka Surabaya adalah ibukota Jawa Timur.

c) Jika Semarang ibukota Jawa Tengah, maka Medan ibukota Sumatra Barat.

d) Jika log 3 + log 5 = log 8, maka 103 + 105 = 108.

Jawab:

a) Misalkan p: 3 + 2 = 5 dan q: 5 adalah bilangan prima, maka:

● p: 3 + 2 = 5 bernilai benar (B)

● q: 5 adalah bilangan prima bernilai benar (B)

Karena p dan q bernilai benar, maka p ⇒ q benar.

b) Misalkan p: 9 adalah bilangan genap dan q: Surabaya adalah ibukota Jawa Timur, maka:

● p: 9 adalah bilangan genap bernilai salah (S)

● q: Surabaya adalah ibukota Jawa Timur bernilai benar (B)

Karena p bernilai salah sementara q bernilai benar, maka p ⇒ q benar.

c) Misalkan p: Semarang ibukota Jawa Tengah dan q: Medan ibukota Sumatra Barat, maka:

● p: Semarang ibukota Jawa Tengah bernilai benar (B)

● q: Medan ibukota Sumatra Barat bernilai salah (S)

Karena p bernilai benar sedangkan q bernilai salah, maka p ⇒ q salah.

d) Misalkan p: log 3 + log 5 = log 8 dan q: 103 + 105 = 108, maka:

p: log 3 + log 5 = log 8 bernilai salah (S)

q: 103 + 105 = 108 bernilai salah (S)

Karena p dan q bernilai salah, maka p ⇒ q benar.

4. Carilah nilai x agar kalimat berikut menjadi implikasi yang benar.

Jika x – 3 = 4 maka 4 adalah bilangan prima.

Jawab:

Kalimat “Jika x – 3 = 4 maka 4 adalah bilangan prima” dapat dituliskan dalam bentuk “p(x) ⇒ q” dengan p(x): x – 3 = 4 merupakan suatu kalimat terbuka dan q: 4 adalah bilangan prima merupakan suatu pernyataan.

Agar kalimat “Jika x – 3 = 4 maka 4 adalah bilangan prima” menjadi implikasi yang bernilai benar, maka kalimat terbuka p(x): x – 3 = 4 harus diubah menjadi pernyataan yang salah, sebab pernyataan q sudah jelas bernilai salah (perhatikan tabel nilai kebenaran implikasi).

Nilai x yang menyebabkan kalimat terbuka p(x): x – 3 = 4 menjadi pernyataan yang salah ditentukan sebagai berikut.

x – 3 = 4

x = 4 + 3

x = 7

Apabila nilai x = 7 maka kalimat terbuka p(x): x – 3 = 4 bernilai benar. Karena kita membutuhkan kalimat terbuka p(x): x – 3 = 4 bernilai salah, maka nilai x yang memenuhi adalah x ≠ 7.

Jadi, kalimat “Jika x – 3 = 4 maka 4 adalah bilangan prima” menjadi implikasi yang bernilai benar untuk x ≠ 7.

5. Tentukan nilai kebenaran setiap implikasi berikut.

a) Jika 22 × 23 = 25 maka 2log 32 = 5.

b) Jika 3 faktor dari 6 maka 6 habis dibagi 2.

c) Jika log 10 = 1 maka log 20 = 2

d) Jika 5 adalah bilangan genap maka 5 + 1 adalah bilangan ganjil.

e) Jika x2 < 0 maka x2 + 1 > 0.

Jawab:

a) Misalkan p: 22 × 23 = 25 dan q: 2log 32 = 5, maka:

● p: 22 × 23 = 25 bernilai benar (B)

● q: 2log 32 = 5 bernilai benar (B)

Karena p dan q bernilai benar, maka p ⇒ q benar.

b) Misalkan p: 3 faktor dari 6 dan q: 6 habis dibagi 2, maka:

● p: 3 faktor dari 6 bernilai benar (B)

● q: 6 habis dibagi 2 bernilai benar (B)

Karena p dan q bernilai benar, maka p ⇒ q benar.

c) Misalkan p: log 10 = 1 dan q: log 20 = 2, maka

● p: log 10 = 1 bernilai benar (B)

● q: log 20 = 2 bernilai salah (S)

Karena p bernilai benar sementara q bernilai salah, maka p ⇒ q salah.

d) Misalkan p: 5 adalah bilangan genap dan q: 5 + 1 adalah bilangan ganjil, maka:

● p: 5 adalah bilangan genap bernilai salah (S)

● q: 5 + 1 adalah bilangan ganjil bernilai salah (S)

Karena p dan q bernilai salah, maka p ⇒ q benar.

e) Misalkan p: x2 < 0 dan q: x2 + 1 > 0, maka:

● p: x2 < 0 bernilai salah (S)

● q: x2 + 1 > 0 bernilai benar (B)

Karena p bernilai salah sementara q bernilai benar, maka p ⇒ q benar.

6. Misalkan p adalah pernyataan yang bernilai benar dan q adalah pernyataan yang bernilai salah, tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan berikut ini.

a) p ⇒ q

b) p ⇒ ~q

c) ~p ⇒ q

d) ~p ⇒ ~q

e) ~(p ⇒ ~q)

f) ~(~p ⇒ q)

Jawab:

Untuk mempermudah menentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di atas, maka kita buat dalam bentuk tabel berikut ini.

p	q	~p	~q	p ⇒ q	p ⇒ ~q	~p ⇒ q	~p ⇒ ~q	~(p ⇒ ~q)	~(~p ⇒ q)
B	S	S	B	S	B	B	B	S	S

7. Carilah nilai-nilai x agar setiap kalimat berikut ini menjadi implikasi yang bernilai benar.

a) Jika 1 – 3x = 4 maka 2 adalah bilangan komposit.

b) Jika x2 ≠ 4 maka √4 = ±2.

Jawab:

a) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): 1 – 3x = 4 dan sebuah pernyataan q: 2 adalah bilangan komposit. Nilai kebenaran pernyataan q adalah sebagai berikut.

q: 2 adalah bilangan komposit bernilai salah. Hal ini dikarenakan 2 bukan termasuk bilangan komposit. Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih dari 1 yang bukan bilangan prima. Contoh bilangan komposit adalah 4, 6, 8, 9, dan seterusnya.

Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang benar, maka kalimat terbuka p(x) harus bernilai salah. Sehingga nilai x yang memenuhi adalah sebagai berikut.

1 – 3x = 4

-3x = 4 – 1

-3x = 3

x = 3/(-3)

x = -1

karena p(x) harus bernilai salah, maka x harus bernilai selain bilangan -1. Jadi, agar kalimat “Jika 1 – 3x = 4 maka 2 adalah bilangan komposit” menjadi implikasi yang benar, maka nilai x ≠ -1.

b) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): x2 ≠ 4 dan sebuah pernyataan q: √4 = ±2. Nilai kebenaran pernyataan q adalah benar (B). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang benar maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar atau salah. Sehingga nilai x yang memenuhi adalah sebagai berikut.

x2 ≠ 4

x ≠ √4

x ≠ ±2

■ Agar p(x): x2 ≠ 4 bernilai benar, maka nilai x ≠ ±2.

■ Agar p(x): x2 ≠ 4 bernilai salah, maka nilai x = ±2.

Apabila x ≠ ±2 dan x = ±2 digabungkan maka himpunan penyelesaiannya akan menjadi x ∈ R.

Jadi, agar kalimat “Jika x2 ≠ 4 maka √4 = ±2” menjadi implikasi yang benar, maka nilai x yang memenuhi adalah x ∈ R.

8. Carilah nilai-nilai x agar setiap kalimat berikut menjadi implikasi yang salah.

a) Jika 5 – 2x = 1, maka √9 adalah bilangan irasional.

b) Jika 4x – 5 = 2x + 1, maka log 5 + log 6 = log 11.

Jawab:

a) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): 5 – 2x = 1 dan sebuah pernyataan q: √9 adalah bilangan irasional. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan sebagai berikut.

√9 = ±3 (bilangan rasional)

Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang salah, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar. Sehingga nilai x yang memenuhi adalah sebagai berikut.

5 – 2x = 1

2x = 5 – 1

2x = 4

x = 4/2

x = 2

Jadi, agar kalimat “Jika 5 – 2x = 1, maka √9 adalah bilangan irasional” menjadi implikasi yang salah, maka nilai x yang memenuhi adalah x = 2.

b) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): 4x – 5 = 2x + 1 dan sebuah pernyataan q: log 5 + log 6 = log 11. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan sebagai berikut.

log 5 + log 6 = log (5 × 6)

log 5 + log 6 = log 30

Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang salah, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar. Sehingga nilai x yang memenuhi adalah sebagai berikut.

4x – 5 = 2x + 1

4x – 2x = 1 + 5

2x = 6

x = 6/2

x = 3

Jadi, agar kalimat “Jika 4x – 5 = 2x + 1, maka log 5 + log 6 = log 11” menjadi implikasi yang salah, maka nilai x yang memenuhi adalah x = 3.

9. Carilah nilai-nilai x agar setiap kalimat berikut ini menjadi implikasi yang bernilai benar.

a) Jika x < 2 maka 2log 4 = 1/2

b) Jika 31/2 = √3 maka 1 – 2x = x – 8

Penyelesaian:

a) terdapat sebuah kalimat terbuka yaitu p(x): x < 2 dan pernyataan q: 2log 4 = 1/2. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan sebagai berikut.

2log 4 = 2log 22 = 2

Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang benar maka kalimat terbuka p(x) harus bernilai salah. Nilai x yang memenuhi adalah sebagai berikut.

x < 2, maka x harus lebih besar dari atau sama dengan 2 untuk x ∈ R.

Jadi, agar kalimat “Jika x < 2 maka 2log 4 = 1/2” menjadi implikasi yang benar, maka nilai x ≥ 2, untuk x ∈ R.

b) Terdapat sebuah pernyataan p: 31/2 = √3 dan kalimat terbuka q(x): 1 – 2x = x – 8. Nilai kebenaran pernyataan p kita tentukan sebagai berikut.

31/2 = 2√31 atau hanya ditulis sebagai √3

Dengan demikian, pernyataan p bernilai benar (B). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang benar maka kalimat terbuka q(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar, sehingga nilai x yang memnuhi adalah sebagai berikut.

1 – 2x = x – 8

x + 2x = 1 + 8

3x = 9

x = 9/3

x = 3

Jadi, agar kalimat “Jika 31/2 = √3 maka 1 – 2x = x – 8” menjadi implikasi yang benar, maka nilai x yang memenuhi adalah 3.

10. Carilah nilai-nilai x agar setiap kalimat berikut ini menjadi implikasi yang bernilai salah.

a) Jika x2 – 1 = 0 maka sin2 45o = 1.

b) Jika √2 + √8 = 3√2 maka x – 2 ≠ 1.

Penyelesaian:

a) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x):  x2 – 1 = 0 dan pernyataan q: sin2 45o = 1. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan sebagai berikut.

sin2 45o = (sin 45)2

sin2 45o = (1/2√2)2

sin2 45o = 1/4(2)

sin2 45o = 2/4

sin2 45o = 1/2

Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang bernilai salah, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar, sehingga nilai x yang memenuhi adalah sebagai berikut.

x2 – 1 = 0

(x – 1)(x + 1) = 0

x = 1 atau x = -1

Jadi, agar kalimat “Jika x2 – 1 = 0 maka sin2 45o = 1” menjadi implikasi yang salah, maka nilai x adalah 1 atau -1.

b) Terdapat sebuah pernyataan p: √2 + √8 = 3√2 dan kalimat terbuka q(x): x – 2 ≠ 1. Nilai kebenaran pernyataan p adalah sebagai berikut.

√2 + √8 = √2 + √(4 × 2)

√2 + √8 = √2 + √4 × √2

√2 + √8 = √2 + 2 × √2

√2 + √8 = √2 + 2√2

√2 + √8 = 3√2

Dengan demikian, pernyataan p bernilai benar (B). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang bernilai salah, maka kalimat terbuka q(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai salah, sehingga nilai x yang memenuhi adalah sebagai berikut.

x – 2 = 1

x = 1 + 2

x = 3

jika nilai x = 3, maka kalimat terbuka x – 2 ≠ 1 akan menjadi pernyataan yang bernilai salah (S).

Jadi, agar kalimat “Jika √2 + √8 = 3√2 maka x – 2 ≠ 1” menjadi implikasi yang bernilai salah, maka nilai x adalah 3.

11. Carilah nilai-nilai x agar kalimat “jika 3log 1/3 = −1 maka x3 – 1 = 0” menjadi implikasi yang bernilai benar.

Jawab:

Terdapat sebuah pernyataan yaitu p: jika 3log 1/3 = −1 dan kalimat terbuka q(x): x3 – 1 = 0. Nilai kebenaran pernyataan p kita tentukan sebagai berikut.

3log 1/3 = 3log (3)-1 = −1

Dengan demikian, pernyataan p bernilai benar (B). Sekarang coba perhatikan kembali tabel nilai kebenaran implikasi di atas. Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang benar, maka kalimat terbuka q(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar. Nilai x yang memenuhi adalah sebagai berikut.

x3 – 1 = 0

x3 = 1

x = 3√1

x = 1

jadi, agar kalimat “jika 3log 1/3 = −1 maka x3 – 1 = 0” menjadi implikasi yang benarm maka nilai x = 1.

12. Carilah nilai-nilai x agar kalimat “Jika (√4 + √9) bilangan rasional, maka x2 – 16 = 0” menjadi implikasi yang bernilai salah.

Jawab:

Terdapat sebuah pernyataan p: (√4 + √9) bilangan rasional dan kalimat terbuka q(x): x2 – 16 = 0. Nilai kebenaran pernyataan p kita tentukan sebagai berikut.

√4 + √9 = 2 + 3 = 5 (bilangan rasional)

Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam betuk a/b (pecahan) dimana a dan b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. Contohnya bilangan 3 dapat dinyatakan dalam bentuk 6/2, 9/3, 18/6 dan sebagainya.

Dengan demikian, pernyataan p bernilai benar. Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang salah, maka kalimat terbuka q(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai salah. Mula-mula kita tentukan terlebih nilai x yang memenuhi yaitu sebagai berikut.

x2 – 16 = 0

(x – 4)(x + 4) = 0

x = 4 atau x = −4

● Jika nilai x = 4 atau x = −4, maka kalimat terbuka q(x): x2 – 16 = 0 menjadi pernyataan yang bernilai benar (B).

● Jika nilai x ≠ 4 atau x ≠ −4, maka kalimat terbuka q(x): x2 – 16 = 0 menjadi pernyataan yang bernilai salah (S).

Jadi, agar kalimat “Jika (√4 + √9) bilangan rasional, maka x2 – 16 = 0” menjadi implikasi yang bernilai salah, maka x ∈ R, dengan x  ≠ 4 dan x ≠−4.