Kumpulan Contoh Soal Konjungsi dalam Logika Matematika dan Pembahasannya

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Apa Itu Konjungsi?

Konjungsi merupakan dua pernyataan atau kalimat terbuka yang dihubungkan dengan kata hubung “dan” serta dilambangkan dengan simbol “∧”. Misalkan terdapat dua buah pernyataan p dan q sebagai berikut.

p: Lisa mengajak adiknya jalan-jalan

q: Lisa memberi uang Rp5.000,00 kepada adiknya

Maka kalimat konjungsi dari dua pernyataan tersebut adalah sebagai berikut.

p ∧ q: Lisa mengajak adiknya jalan-jalan dan memberi uang Rp5.000,00 kepada adiknya.

Tabel Kebenaran Konjungsi

p	q	p ∧ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Keterangan:

B = benar

S = salah

Contoh Soal Dan Pembahasan

1. Diberikan dua pernyataan berikut ini.

p: Mangga adalah nama buah (benar)

q: Mangga adalah buah berbentuk balok (salah)

Tentukan kalimat konjungsi dan nilai kebenarannya.

Jawab:

p ∧ q: Mangga adalah nama buah dan berbentuk balok, bernilai salah.

2. Kalimat “Unila adalah universitas negeri dan terletak di Lampung” bernilai benar. Mengapa demikian?

Jawab:

Kalimat di atas, dapat dipisahkan menjadi dua seperti berikut

p: Unila adalah universitas negeri (benar)

q: Unila terletak di Lampung (benar)

Karena keduanya memiliki nilai kebenaran benar, kesimpulannya pasti benar.

3. Tentukan nilai kebenaran dari setiap konjungsi berikut ini.

a) 4 + 2 = 6 dan ibukota Jawa Timur adalah Surabaya.

b) -4 adalah bilangan bulat dan 4 adalah bilangan prima.

Jawab:

a) Misalkan p: 4 + 2 = 6 dan q: ibukota Jawa Timur adalah Surabaya, maka:

● p: 4 + 2 = 6 bernilai benar (B)

● q: ibukota Jawa Timur adalah Surabaya bernilai benar (B)

karena p dan q bernilai benar, maka p ∧ q benar.

b) Misalkan p: -4 adalah bilangan bulat dan q: 4 adalah bilangan prima, maka:

● p: -4 adalah bilangan bulat bernilai benar (B)

● q: 4 adalah bilangan prima bernilai salah (S)

Karena p bernilai benar sedangkan q bernilai salah, maka p ∧ q salah.

4. Carilah nilai-nilai x agar kalimat berikut menjadi konjungsi yang benar.

1 – x = 2x – 5 dan 10 adalah bilangan komposit.

Jawab:

Kalimat “1 – x = 2x – 5 dan 10 adalah bilangan komposit” terdiri atas kalimat terbuka p(x): 1 – x = 2x – 5 dan pernyataan q: 10 adalah bilangan komposit. Pernyataan q bernilai benar. Agar kalimat tersebut menjadi disjungsi yang benar, maka kalimat terbuka p(x): 1 – x = 2x – 5 harus diubah menjadi pernyataan yang benar (perhatikan tabel nilai kebenaran konjungsi pada baris pertama).

Nilai x yang menyebabkan kalimat terbuka p(x): 1 – x = 2x – 5 menjadi pernyataan yang benar adalah penyelesaian dari kalimat itu, yaitu sebagai berikut.

⇒ 1 – x = 2x – 5

⇒ 2x + x = 1 + 5

⇒ 3x = 6

⇒ x = 2

Jadi, kalimat “1 – x = 2x – 5 dan 10 adalah bilangan komposit” menjadi konjungsi yang benar untuk nilai x = 2.

5. Tentukan nilai kebenaran setiap konjungsi berikut ini.

a) 2log 8 = 3 dan 23 = 8

b) setiap bentuk akar adalah bilangan irasional dan √4 = ± 2

c) setiap bilangan yang ditulis dengan tanda akar ialah bilangan irasional dan √9 = 3

d) x2 – 1 = 0 mempunyai akar real dan x2 + 1 = 0 tidak mempunyai akar real.

Jawab:

a) Misalkan p: 2log 8 = 3 dan q: 23 = 8, maka

● p: 2log 8 = 3 bernilai benar (B)

● q: 23 = 8 bernilai benar (B)

Karena p dan q bernilai benar, maka p ∧ q benar.

b) Misalkan p: setiap bentuk akar adalah bilangan irasional dan q: √4 = ± 2, maka:

● p: setiap bentuk akar adalah bilangan irasional bernilai benar (B)

● q: √4 = ± 2 bernilai benar (B)

karena p dan q bernilai benar, maka p ∧ q benar.

c) Misalkan p: setiap bilangan yang ditulis dengan tanda akar ialah bilangan irasional dan q: √9 = 3, maka:

● p: setiap bilangan yang ditulis dengan tanda akar ialah bilangan irasional bernilai salah (S)

● q: √9 = 3 bernilai benar (B)

karena p bernilai salah dan q bernilai benar, maka p ∧ q salah.

d) Misalkan p: x2 – 1 = 0 mempunyai akar real dan q: x2 + 1 = 0 tidak mempunyai akar real, maka:

● p: x2 – 1 = 0 mempunyai akar real bernilai benar (B)

● q: x2 + 1 = 0 tidak mempunyai akar real bernilai benar (B)

karena p dan q bernilai benar, maka p ∧ q benar.

6. Misalkan p adalah pernyataan yang bernilai salah dan q adalah pernyataan yang bernilai benar, tentukan nilai kebenaran dari tiap pernyataan berikut.

a) ~p

b) ~q

c) p ∧ q

d) ~p ∧ q

e) p ∧ ~q

f) ~p ∧ ~q

Jawab:

Untuk mempermudah menentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di atas, maka kita buat dalam bentuk tabel berikut ini.

p	q	~p	~q	p ∧ q	~p ∧ q	p ∧ ~q	~p ∧ ~q
S	B	B	S	S	B	S	S

7. Diketahui pernyataan-pernyataan berikut.

p: √5 + √20 = 3√5 dan q: √5 adalah bilangan rasional

Tulislah pernyataan dari setiap rumus simbolis berikut ini.

a) ~p

b) p ∧ ~q

c) ~p ∧ q

d) q ∧ ~p

e) ~q ∧ p

f) ~q ∧ ~p

Jawab:

a) pernyataan dari ~p adalah sebagai berikut.

~p: tidak benar bahwa  √5 + √20 = 3√5.

b) pernyataan dari p ∧ ~q adalah sebagai berikut.

√5 + √20 = 3√5 dan √5 bukan bilangan rasional.

c) pernyataan dari ~p ∧ q adalah sebagai berikut.

Tidak benar bahwa √5 + √20 = 3√5 dan √5 adalah bilangan rasional.

d) pernyataan dari q ∧ ~p adalah sebagai berikut.

√5 adalah bilangan rasional dan tidak benar bahwa √5 + √20 = 3√5.

e) pernyataan ~q ∧ p adalah sebagai berikut.

√5 bukan bilangan rasional dan √5 + √20 = 3√5.

8. Carilah nilai x agar setiap kalimat berikut ini menjadi konjungsi yang benar.

a) 2x – 3 = 5 dan √40 = 2√10

b) 1 – 3x = 2x – 4 dan log 2 + log 3 = log 6

c) 2x = 16 dan 2log 16 = 4

Jawab:

a) Terdapat sebuah kalimat terbuka yaitu p(x): 2x – 3 = 5 dan pernyataan q: √40 = 2√10. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan sebagai berikut.

⇒ √40 = √4 × √10

⇒ √40 = 2 × √10

⇒ √40 = 2√10

Dengan demikian, pernyataan q bernilai benar (B). Agar p ∧ q menjadi konjungsi yang benar maka kalimat terbuka p(x) harus bernilai benar sehingga nilai x yang memenuhi adalah sebagai berikut.

⇒ 2x – 3 = 5

⇒ 2x = 5 + 3

⇒ 2x = 8

⇒ x = 8/2

⇒ x = 4

Jadi, agar 2x – 3 = 5 dan √40 = 2√10 menjadi konjungsi yang benar, maka nilai x adalah 4.

b) Terdapat sebuah kalimat terbuka yaitu p(x): 1 – 3x = 2x – 4 dan pernyataan q: log 2 + log 3 = log 6. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan sebagai berikut.

⇒ log 2 + log 3 = log (2 × 3)

⇒ log 2 + log 3 = log 6

Dengan demikian, pernyataan q bernilai benar (B). Agar p ∧ q menjadi konjungsi yang benar maka kalimat terbuka p(x) harus bernilai benar sehingga nilai x yang memenuhi adalah sebagai berikut.

⇒ 1 – 3x = 2x – 4

⇒ 2x + 3x = 1 + 4

⇒ 5x = 5

⇒ x = 5/5

⇒ x = 1

Jadi, agar 1 – 3x = 2x – 4 dan log 2 + log 3 = log 6 menjadi konjungsi yang benar, maka nilai x adalah 1.

c) Terdapat sebuah kalimat terbuka yaitu p(x): 2x = 16 dan pernyataan q: 2log 16 = 4. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan sebagai berikut.

⇒ 2log 16 = 2log 24 = 4

Dengan demikian, pernyataan q bernilai benar (B). Agar p ∧ q menjadi konjungsi yang benar maka kalimat terbuka p(x) harus bernilai benar sehingga nilai x yang memenuhi adalah sebagai berikut.

⇒ 2x = 16

Jadi, agar 1 – 3x = 2x – 4 dan log 2 + log 3 = log 6 menjadi konjungsi yang benar, maka nilai x adalah 1.

9. Diketahui p(x): x2 – 5x + 4 = 0 dan q(x): 3 ≤ x ≤ 5 dengan x peubah pada himpunan bilangan asli A. Pernyataan p dan q dibentuk dari p(x) dan q(x) dengan mengganti nilai x ∈ A. Carilah nilai x sehingga (p ∧ q) bernilai benar.

Jawab:

Himpunan penyelesaian p(x): x2 – 5x + 4 = 0 adalah P = {1, 4}

Himpunan penyelesaian q(x): 3 ≤ x ≤ 5 adalah Q = {3, 4, 5}

Irisan P dan Q adalah P ∩ Q = {4}

(p ∧ q) benar, jika x ∈ P ∩ Q, berarti nilai x = 4.