Biimplikasi Logis: Pengertian, Contoh, Soal dan Pembahasan

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Dalam logika kita mengenal yang namanya kalimat majemuk. Kalimat majemuk adalah kalimat yang terdiri atas dua pernyataan atau kalimat terbuka. Kalimat majemuk dalam logika matematika dikategorikan menjadi konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi. Masih ingatkah kalian dengan apa yang dimaskud biimplikasi itu?

Biimplikasi adalah dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan tanda hubung “jika dan hanya jika”. Biimplikasi dilambangkan dengan ⇔. Adapun tabel nilai kebenaran biimplikasi dari pernyataan p dan q adalah sebagai berikut.

Tabel Nilai Kebenaran Biimplikasi p ⇔ q

p	q	p ⇔ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Sekarang, agar kalian lebih memahami mengenai konsep biimplikasi dalam logika matematika, silahkan simak beberapa contoh soal dan pembahasannya berikut ini.

Contoh Soal 1:

Tentukan nilai kebenaran setiap biimplikasi berikut ini.

a) P ∩ Q = Q jika dan hanya jika Q ⊆ P.

b) Persamaan ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar kembar jika dan hanya jika b2 – 4ac = 0.

Jawab:

a) Misalkan p: P ∩ Q = Q dan q: Q ⊆ P. Maksud dari pernyataan p dan q adalah sebagai berikut.

□ p: P ∩ Q = Q, dengan “∩” dibaca irisan. P ∩ Q berarti suatu himpunan yang memuat semua elemen yang sama-sama dimiliki oleh P dan Q. Sebagai contoh, jika P = a, b, c, d, e dan Q = a, c, e, g, i maka P ∩ Q = a, c, e.

□ q: Q ⊆ P, dengan “⊆” dibaca subset. Q ⊆ P berarti setiap elemen Q juga merupakan elemen P. Sebagai contoh, jika Q = a, b, dan c maka a, b, dan c juga merupakan elemen dari P. Tetapi setiap elemen P belum tentu menjadi elemen Q.

Sekarang, untuk menentukan nilai kebenaran biimplikasi di atas, kita buat  permisalan sebagai berikut.

Misalkan:

Himpunan P = 1, 2, 3, 4, 5

Himpunan Q = 1, 2, 3

Berarti dapat dikatakan Q ⊆ P dan P ∩ Q = 1, 2, 3. Dengan demikian P ∩ Q = Q. Jadi kalimat “P ∩ Q = Q jika dan hanya jika Q ⊆ P” adalah benar.

b) Misalkan p: Persamaan ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar kembar dan q: b2 – 4ac = 0. Suatu persamaan kuadrat yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 akan memiliki akar-akar sama (akar kembar), real dan rasional apabila nilai diskriminan D = 0. Nilai diskriminan ditentukan dengan persamaan berikut.

D = b2 – 4ac

Dengan demikian, kalimat “Persamaan ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar kembar jika dan hanya jika b2 – 4ac = 0” adalah benar.

Contoh Soal 2:

Carilah nilai x agar setiap kalimat berikut menjadi biimplikasi yang bernilai benar.

Log 10 = 1 jika dan hanya jika x3 + 1 = 0

Jawab:

Terdapat pernyataan p: Log 10 = 1 dan kalimat terbuka q(x): x3 + 1 = 0. Nilai kebenaran pernyataan p adalah sebagai berikut.

Log 10 = 10log 101 =  1

Dengan demikian, pernyataan p bernilai benar. Agar p ⇔ q benar, maka kalimat terbuka q(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar, sehingga nilai x yang memenuhi adalah x = -1.

Contoh Soal 3:

Carilah nilai x agar kalimat berikut ini menjadi biimplikasi yang bernilai salah.

Log 16 = (log 4)2 jika dan hanya jika x2 – 16 = 0.

Jawab:

Terdapat sebuah pernyataan p: Log 16 = (log 4)2 dan kalimat terbuka q: x2 – 16 = 0. Nilai kebenaran pernyataan p adalah sebagai berikut.

Log 16 = log (4 × 4)

Log 16 = log 4 + log 4

(log 4)2 = log 4 × log 4

Jadi log 16 ≠ (log 4)2

Dengan demikian, pernyataan p bernilai salah. Agar p ⇔ q salah, maka kalimat terbuka q(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar, sehingga nilai x yang memenuhi adalah sebagai berikut.

x2 – 16 = 0

(x + 4)(x – 4) = 0

x = -4 atau x = 4

Jadi, kalimat “Log 16 = (log 4)2 jika dan hanya jika x2 – 16 = 0” akan menjadi biimplikasi yang salah, apabila nilai x = -4 atau x = 4.

Apa itu Biimplikasi Logis?

Untuk memahami pengertian biimplikasi logis, simaklah kembali kalimat yang berbentuk p(x) ⇔ q(x) berikut.

x – 2 = 0 jika dan hanya jika 3x = 6

Tiap penggantian nilai x yang menyebabkan p(x) benar akan menyebabkan kalimat q(x) juga benar. Begitu pula tiap penggantian nilai x yang menyebabkan q(x) benar akan menyebabkan p(x) juga benar. Kalimat p(x) ⇔ q(x) yang berciri seperti itu disebut biimplikasi logis.

Apabila p(x) ⇔ q(x) sebuah implikasi logis, dikatakan p(x) dan q(x) merupakan dua kalimat yang ekuivalen, ditulis sebagai berikut.

p(x) ≡ q(x)

{dibaca: p(x) ekuivalen q(x)}

Jadi, dua kalimat terbuka dikatakan ekuivalen jika kedua kalimat terbuka itu mempunyai himpunan penyelasaian yang sama. Berikut ini adalah beberapa contoh biimplikasi logis.

a) 2log x = 3 jika dan hanya jika x = 23

b) x + 2 = 0 jika dan hanya jika 2x + 3 = x + 1

c) ∆ABC siku-siku jika dan hanya jika ∆ABC mempunyai sebuah sudut siku-siku.

Catatan: Biimplikasi pada contoh c) di atas dapat pula dibaca sebagai berikut. □ Jika ∆ABC siku-siku, maka ∆ABC mempunyai sebuah sudut siku-siku dan jika ∆ABC mempunyai sebuah sudut siku-siku, maka ∆ABC siku-siku. □ ∆ABC siku-siku merupakan syarat perlu dan cukup bagi ∆ABC mempunyai sebuah sudut siku-siku. □ ∆ABC mempunyai sebuah sudut siku-siku merupakan syarat perlu dan cukup bagi ∆ABC siku-siku.