Cara Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat Berdasarkan Grafik
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/07/cara-membentuk-persamaan-fungsi-kuadrat-dari-grafik.html
Daftar Materi Matematika
Advertisement
Dalam artikel sebelumnya telah dijelaskan mengenai cara menggambar grafik fungsi kuadrat apabila persamaan atau rumus fungsi kuadrat tersebut sudah diketahui. Sekarang yang menjadi pertanyaannya adalah bagaimana jika gambar atau ciri-ciri grafik fungsi kuadrat sudah diketahui, dapatkah kita menentukan persamaan fungsi kuadrat dari grafik tersebut? Tentu saja bisa.
Apabila sketsa grafik suatu fungsi kuadrat diketahui, maka kita dapat menentukan rumus fungsi kuadrat itu. Proses demikian disebut membentuk atau menyusun fungsi kuadrat. Lalu tahukah kalian bagaimana caranya? Caranya sangat mudah sekali. Bisanya dalam soal telah ditetukan gambar grafik fungsi kuadrat atau keterangan-keterangan mengenai grafik tersebut.
Keterangan-keterangan yang diketahui pada sketsa grafik fungsi kuadrat seringkali mempunyai ciri-ciri atau sifat-sifat tertentu. Ciri-ciri itu diantaranya adalah sebagai berikut.
#1 Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di A(x1, 0) dan B(x2, 0) serta melalui sebuah titik tertentu, maka persamaan fungsi kuadratnya dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut.
y = f(x) = a(x – x1)(x – x2)
|
Dengan nilai a ditentukan kemudian.
#2 Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu-X di A(x1, 0) dan melalui sebuah titik tertentu, maka persamaan fungsi kuadratnya dapat dibentuk dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
y = f(x) = a(x – x1)2
|
Dengan nilai a ditentukan kemudian.
#3 Grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak atau titik balik P(xp, yp) dan melalui sebuah titik tertentu maka persamaan fungsi kuadrat dapat kita susun dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
y = f(x) = a(x – xp)2 + yp
|
Dengan nilai a ditentukan kemudian.
#4 Grafik fungsi kuadrat melalui titik-titik A(x1, y1), B(x2, y2) dan C(x3, y3) maka persamaan fungsi kuadratnya dapat kita nyatakan sebagai berikut.
y = f(x) = ax2 + bx + c
|
Dengan nilai a, b dan c ditentukan kemudian.
Oke, sekarang biar kalian paham mengenai cara menyusun atau membentuk fungsi kuadrat berdasarkan gambar atau ciri-ciri grafik fungsi kuadrat, perhatikan tiga contoh soal dan pembahasannya berikut ini.
Contoh soal #1
Sebuah grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di A(1, 0) dan B(2, 0). Apabila grafik tersebut juga melalui titik (0, 4), tentukanlah persamaan fungsi kuadratnya!
Jawab
Persamaan fungsi kuadrat dapat dinyatakan sebagai y = a(x – 1)(x – 2). Nilai a ditentukan dari keterangan bahwa fungsi kuadrat itu melalui titik (0, 4). Artinya untuk nilai x = 0 diperoleh y = 4.
y = a(x – 1)(x – 2)
4 = a(0 – 1)(0 – 2)
4 = a(–1)( –2)
4 = 2a
a = 2
Dengan demikian, persamaan fungsi kuadratnya adalah sebagai berikut.
y = f(x)
y = a(x – 1)(x – 2)
y = 2(x – 1)(x – 2)
y = 2(x2 – x – 2x + 2)
y = 2(x2 –3x + 2)
y = 2x2 – 6x + 4
Contoh soal #2
Pada gambar di atas, diperlihatkan sketsa grafik dari sebuah fungsi kuadrat. Tentukanlah persamaan grafik fungsi tersebut.
Jawab
Berdasarkan gambar grafik fungsi di atas, kita dapat menetapkan bahwa titik puncak parabola di (1 ½, 0) dan melalui titik (0, 4 ½). Persamaan fungsi kuadratnya dapat ditentukan sebagai berikut.
y = f(x) = a(x – 1 ½)2
karena grafik fungsi melalui titik (0, 4 ½) maka
4 ½ = a(0 – 1 ½)2
4 ½ = 9/4 a
a = 9/2 × 4/9
a = 2
Dengan demikian, rumus fungsi kuadratnya adalah
y = f(x)
y = a(x – 1 ½)2
y = 2(x – 1 ½)2
y = 2(x2 – 2(3/2 x) + 9/4)
y = 2(x2 – 3x + 9/4)
y = 2x2 – 6x + 9/2
y = 2x2 – 6x + 4 ½
Contoh soal #3
Grafik fungsi kuadrat f melalui titik-titik A(0, –6 ), B(–1, 0) dan C(1, –10). Tentukanlah
1. Persamaan grafik fungsi kuadrat
2. Titik-Titik potong dengan sumbu-X
3. Titik puncak atau titik balik grafik fungsi f.
Jawab
Menentukan persamaan grafik
Dari keterangan mengenai ciri-ciri grafik kita dapat menentukan persamaan fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus sebagai berikut
y = f(x) = ax2 + bx + c
Pertama, kita tentukan nilai c terlebih dahulu. Nilai c dapat diketahui apabila nilai x = 0. Karena grafik melalui titik A(0, –6 ), maka
y = ax2 + bx + c ……………………………. Pers (1)
–6 = a(0)2 + b(0) + c
c = –6
jadi, sekarang kita dapatkan persamaan fungsi baru yaitu
y = ax2 + bx –6 ……………………………. Pers (2)
Kedua, kita tentukan nilai a dan b dengan menggunakan persamaan (2) dan dua titik lainnya dengan catatan nilai x ≠ 0.
Grafik melalui titik B(–1, 0), berarti x = –1 dan y = 0 sehingga kita dapatkan persamaan sebagai berikut
y = ax2 + bx –6
0 = a(–1)2 + b(–1) – 6
0 = a – b – 6
a – b = 6
a = 6 + b ……………………………. Pers (3)
Grafik melalui titik C(1, –10). berarti x = 1 dan y = –10 sehingga kita dapatkan persamaan sebagai berikut
y = ax2 + bx –6
–10 = a(1)2 + b(1) – 6
–10 = a + b – 6
a + b = –10 + 6
a + b = –4 ……………………………. Pers (4)
Dengan mensubtitusikan persamaan (3) ke persamaan (4), kita dapatkan nilai b sebagai berikut
a + b = –4
(6 + b) + b = –4
6 + 2b = –4
2b = –4 – 6
2b = –10
b = –10/2
b = –5
Dengan mensubtitusikan nilai b = –5 ke persamaan (3) atau persamaan (4), kita peroleh nilai a sebagai berikut.
a = 6 + b
a = 6 + (–5)
a = 1
Dengan demikian kita dapatkan nilai a = 1, b = –5 dan c = –6 sehingga apabila ketiga nilai tersebut kita masukkan ke persamaan (1) kita dapat rumus fungsi kuadrat sebagai berikut.
y = ax2 + bx + c
y = (1)x2 + (–5)x + (–6)
y = x2 – 5x – 6
Menentukan titik potong dengan sumbu-X
Titik potong dengan sumbu-X dapat dicari apabila nilai y = 0. Dari persamaan fungsi kuadrat y = f(x) = x2 – 5x – 6, kita dapatkan titik potong dengan sumbu-X sebagai berikut.
y = x2 – 5x – 6
0 = x2 – 5x – 6
Dengan menggunakan metode pemfaktoran, kita dapatkan nilai-nilai x sebagai berikut.
(x – 6)(x + 1) = 0
x1 = 6 dan x2 = –1
Dengan demikian, titik-titik potong dengan sumbu-X adalah di titik (6 , 0) dan (–1, 0).
Menentukan titik puncak atau titik balik
Karena nilai a > 0, maka titik balik parabola merupakan titik balik minimum dimana bentuk kurva parabola adalah terbuka ke atas. Titik balik minimum dapat ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut.
Titik balik
|
=
|
(x, y)
|
=
|
(
|
–b
|
,
|
D
|
)
|
2a
|
–4a
|
Dimana D = b2 – 4ac dengan a = 1, b = –5 dan c = –6
Titik balik
|
=
|
(
|
–b
|
,
|
b2 – 4ac
|
)
|
2a
|
–4a
|
Titik balik
|
=
|
(
|
–(–5)
|
,
|
(–5)2 – 4(1)(–6)
|
)
|
2(1)
|
–4(1)
|
Titik balik
|
=
|
(2 ½, – 12 ¼)
|
Jadi, titik balik parabola y = x2 – 5x – 6 adalah di (2 ½, – 12¼)
Demikianlah artikel tentang cara menentukan persamaan fungsi kuadrat berdasarkan grafik lengkap dengan contoh soal dan pembahasan. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Apabila terdapat kesalahan tanda, simbol, huruf maupun angka dalam perhitungan mohon dimaklumi. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.
