Menerapkan Fungsi Kuadrat Dalam Menyelesaikan Soal Matematika

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita jumpai persoalan atau perhitungan yang berkaitan dengan fungsi kuadrat. Nilai ekstrim (maksimum atau minimum) memiliki peran penting dalam memecahkan masalah yang berhubungan dengan fungsi kuadrat. Dalam kehidupan sehari-hari, nilai maksimum atau nilai minimum diungkapkan dengan menggunakan kata yang berbeda-beda, misalnya:

1.Kata-kata terjauh, terbesar, terluas, tertinggi, terpanjang, terjauh, … atau yang searti dengan kata-kata tersebut, dapat dihubungkan dengan konsep nilai minimum fungsi kuadrat.

2.Kata-kata terdekat, terkecil, terendah, terpendek, tersempit, … atau yang searti dengan kata-kata itu, dapat dihubungkan dengan konsep nilai minimum fungsi kuadrat.

Jika dalam sebuah masalah memuat kata-kata seperti di atas, maka hal ini merupakan indikator bahwa masalah tersebut dapat dipecahkan dengan menggunakan model matematika berbentuk fungsi kuadrat. Setelah diketahui bahwa karakteristik masalahnya berkaitan dengan model matematika yang berbentuk fungsi kuadrat, langkah-langkah pemecahan masalah berikutnya adalah sebagai berikut:

1.Nyatakan besaran yang ada dalam masalah sebagai variabel (dilambangkan dengan huruf-huruf) untuk mendapatkan hubungan atau ekspresi matematikanya.

2.Rumuskan fungsi kuadrat yang merupakan model matematika dari masalah.

3.Tentukan penyelesaian dari model matematika fungsi kuadrat yang diperoleh pada langkah 2.

4.Tafsirkan hasil-hasil yang diperoleh pada langkah 3 terhadap masalah semula.

Agar kalian lebih memahami tentang bagaimana caranya menerapkan fungsi kuadrat dalam menyelesaikan persoalan matematika yang berkaitan dengan fungsi kuadrat tersebut, simaklah beberapa contoh soal dan pembahasannya berikut ini dengan seksama.

Contoh Soal #1

Jumlah panjang sisi tegak dari suatu segitiga siku-siku sama dengan 16 cm. Hitunglah luas terbesar dari segitiga tersebut.

Jawab

Dari pertanyaan “hitunglah luas terbesar dari segitiga tersebut” merupakan indikator bahwa masalah ini berkaitan dengan persoalan matematika yang berbentuk fungsi kuadrat. Selanjutnya dengan menggunakan langkah-langkah yang telah diuraikan di atas, soal tersebut dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut.

Menyatakan besaran sebagai variabel

Misalkan panjang sisi-sisi tegak itu adalah x cm dan y cm, sehingga diperoleh hubungan sebagai berikut.

x + y = 16 atau y =16 – x

Merumuskan fungsi kuadrat

Jika luas segitiga itu dilambangkan dengan L, maka L dapat dinyatakan dalam bentuk:

L(x) = ½ x . y

L(x) = ½ x(16 – x)

L(x) = – ½ x2 + 8x

Model matematika yang diperoleh adalah fungsi kuadrat yaitu

L(x) = – ½ x2 + 8x

Menentukan penyelesaian dari fungsi kuadrat

Fungsi kuadrat L(x) = – ½ x2 + 8x memiliki koefisien-koefisien a = – ½, b = 8 dan c = 0. Karena a < 0, maka fungsi kuadrat mencapai nilai maksimum. Nilai maksimum tersebut dapat dihitung dengan menggunakan persamaan koordinat titik puncak atau titik balik fungsi kuadrat sebagai berikut.

L	=	b2 – 4ac
		–4a
L	=	64
		–4(–½)
L	=	32

Menafsirkan hasil

Dengan demikian, luas terbesar segitiga itu adalah L = 32 cm2.

Contoh Soal #2

Seutas kawat memiliki panjang 40 cm. Kawat tersebut dibentuk menjadi persegi panjang dengan panjang x cm dan lebar y cm. Luar persegi panjang dinyatakan sebagai L (cm2)

a) Nyatakan L sebagai fungsi x

b) Carilah luas persegi panjang yang terbesar

Jawab

a) Panjang kawat = keliling persegi panjang = 40

Keliling persegi panjang = 2(panjang + lebar)

2(x + y) = 40

x + y = 20

y = 20 – x

Luas persegi panjang L = x . y

L = x(20 – x)

L = –x2 + 20x

Dengan demikian, L sebagai fungsi x adalah L = –x2 + 20x

b) L = –x2 + 20x merupakan fungsi kuadrat dalam x dengan a = –1 , b = 20 dan c = 0. Karena a < 0 maka fungsi kuadrat tersebut memiliki nilai maksimum yang dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.

L	=	b2 – 4ac
		–4a
L	=	(20)2 – 4(–1)(0)
		–4(–1)
L	=	100

Dengan demikian, luas persegi panjang yang terbesar adalah L = 100 cm2.

Contoh Soal #3

Pada gambar di atas, ABCD merupakan persegi panjang yang panjangnya 8 cm dan lebarnya 4 cm. Titik-titik E, F, G dan H terletak pada AB, BC, CD dan AD sehingga BE = CF = DG = AH = x cm.

a) Jika L (cm2) menyatakan luas daerah segi empat EFGH (bagian  yang diraster), nyatakan L dalam x.

b) Tentukan luas minimum segi empat EFGH itu.

Jawab

a) Panjang AE = CG = (8 – x) dan panjang BF = DH = (4 – x)

Luas ∆AEH = ½ AH × AE = ½ x(8 – x)

Luas ∆CFG = ½ CF × CG = ½ x(8 – x)

Luas ∆BEF = ½ BE × BF = ½ x(4 – x)

Luas ∆DGH = ½ CF × CG = ½ x(8 – x)

Luas persegi panjang ABCD = AB × AD = 8 × 4 = 32

Luas segi empat EFGH:

LEFGH = luas persegi panjang ABCD – (luas ∆AEH + luas ∆CFG + luas ∆BEF + luas ∆DGH)

LEFGH = 32 – {½ x(8 – x) + ½ x(8 – x) + ½ x(4 – x) + ½ x(4 – x)}

LEFGH = 32 – { x(8 – x) + x(4 – x)}

LEFGH = 32 – x{(8 – x) + (4 – x)}

LEFGH = 32 – x(12 – 2x)

LEFGH = 2x2 – 12x + 32

Jadi, L sebgai fungsi x adalah L = 2x2 – 12x + 32

b) L = 2x2 – 12x + 32 merupakan fungsi kuadrat dalam x dengan a = 2, b = –12 dan c = 32. Karena a > 0 maka fungsi kuadrat L mencapai nilai minimum. Nilai minimum ini dapat ditentukan dengan cara berikut.

L	=	b2 – 4ac
		–4a
L	=	(–12)2 – 4(2)(32)
		–4(2)
L	=	144 – 256
		–8
L	=	14

Dengan demikian, luas minimum segi empat EFGH adalah L = 14 cm2.

Demikianlah artikel tentang penerapan fungsi kuadrat dalam menyelesaikan persoalan matematika. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Apabila terdapat kesalahan tanda, simbol, huruf maupun angka dalam perhitungan mohon dimaklumi. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.