Contoh Soal Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat Serta Pembahasannya

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Sebelum masuk ke pembahasan soal, kita rangkum dahulu rumus jumlah, selisih dan hasil kali akar persamaan kuadrat yang telah kita dapatkan dari artikel sebelumnya supaya kalian tidak bingung dalam mempelajari beberapa contoh soal dalam artikel ini.

Apabila akar-akar suatu persamaan kuadrat yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ditentukan dengan rumus ABC, maka akan kita dapatkan dua jenis akar anggaplah x1 dan x2. Kedua akar tersebut dapat dijumlahkan (x1 + x2), dikurangkan (x1 – x2) atau dikalikan (x1 × x2) yang hasilnya dinyatakan dalam bentuk koefisien-koefisien a, b dan c sebagai berikut.

x1 + x2 = –b/a

x1 − x2 = ±√D/a

x1 × x2 = c/a

Contoh Soal #1

Diketahui x1 dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat x2 – 4x + 3 = 0. Tentukan hasil dari x1 + x2, x1 – x2 dan x1 × x2 tanpa harus menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu.

Jawab

Persamaan kuadrat x2 – 4x + 3 = 0 memiliki nilai a = 1, b = -4 dan c = 3.

x1 + x2 = -b/a = -(-4)/1 = 4

x1 – x2 = ±√D/a

⇔ D = b2 – 4ac

⇔ D = (-4)2 – 4(1)(3)

⇔ D = 16 – 12

⇔ D = 4, jadi

x1 – x2 = ±√(4/1) = ±2

x1 × x2 = c/a = 3/1 = 1

Contoh Soal #2

Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat 2x2 – 4px + 8 = 0. Jika x1 + x2 = 10, maka nilai p yang memenuhi adalah

Jawab

Persamaan kuadrat 2x2 – 4px + 8 = 0 memiliki nilai a = 2, b = -4p dan c = 8.

x1 + x2 = -b/a

⇔ 10 = -(-4p)/2

⇔ 10 = 2p

⇔ p = 5

Contoh Soal #3

Salah satu akar dari persamaan kuadrat 2x2 – (2k + 1)x + k = 0 merupakan kebalikan dari akar yang lain. Tentukanlah nilai k dan jumlah kedua akarnya.

Jawab

Persamaan kuadrat 2x2 – (2k + 1)x + k = 0 memiliki nilai a = 2, b = -2k – 1 dan c = k. Misalkan kedua akarnya adalah x1 dan x2 maka x1 = 1/x2(karena salah satu akar merupakan kebalikan akar yang lain). Dengan menggunakan rumus hasil kali kita peroleh.

x1 × x2 = c/a = k/2

karena x1 = 1/x2, maka

1/x2 × x2 = k/2

⇔ x2/x2 = k/2

⇔ 1 = k/2

⇔ k = 2

Kita dapatkan nilai k = 2. Kemudian jumlah kedua akarnya dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut.

x1 + x2 = -b/a

⇔ x1 + x2 = -(-2k – 1)/2

⇔ x1 + x2 = (2k + 1)/2

⇔ x1 + x2 = [2(2) + 1]/2

⇔ x1 + x2 = [4 + 1]/2

⇔ x1 + x2 = 5/2

Contoh Soal #4

Apabila x1 – x2 = 6, di mana x1 dan x2 merupakan akar dari persamaan x2 + 4x + m = 0, maka nilai m yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut adalah

Jawab

Persamaan x2 + 4x + m = 0 memiliki nilai a = 1, b = 4 dan c = m.

x1 – x2 = ±√D/a

⇔ D = b2 – 4ac

⇔ D = (4)2 – 4(1)(m)

⇔ D = 16 – 4m, jadi

x1 – x2 = ±√[(16 – 4m)/1]

⇔ x1 – x2 = ±√(16 – 4m)

karena nilai x1 – x2 = 6 maka

⇔ 6 = ±√(16 – 4m)

⇔ 36 = 16 – 4m

⇔ 36 – 16 = –4m

⇔ 20 = –4m

⇔ m = -5

Contoh Soal #5

Diketahui persamaan kuadrat x2 – 2x + 3 = 0 yang memiliki akar-akar x1 dan x2. Tentukanlah hasil dari 1/x1 + 1/x2.

Jawab

Persamaan kuadrat x2 – 2x + 3 = 0 memiliki nilai a = 1, b = -2 dan c = 3.

1/x1 + 1/x2 dapat kita sederhanakan seperti menjumlahkan pecahan biasa yaitu sebagai berikut.

1/x1 + 1/x2 = (x1 + x2)/(x1x2) …….. Pers. (1)

Jadi, terlebih dahulu kita tentukan nilai jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

x1 + x2 = -b/a = -(-2)/1 = 2

x1 × x2 = c/a = 3/1 = 3

Kemudian kita masukkan nilai jumlah dan hasil kali tersebut ke dalam persamaan (1) di atas.

1/x1 + 1/x2 = (x1 + x2)/(x1x2)

⇔ 1/x1 + 1/x2 = 2/3

Contoh Soal #6

Diketahui p dan q adalah akar-akar dari persamaan kuadrat x2 – 8x + k = 0. Apabila p = 3q maka tentukan nilai k.

Jawab

Persamaan kuadrat x2 – 8x + k = 0 memiliki nilai a = 1, b = -8 dan c = k.

Untuk menyelesaikan soal ini, kita cukup menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Pertama, kita mulai dari yang telah diketahui

p = 3q …….. Pers. (2)

Kedua ruas ditambahkan dengan q, sehingga diperoleh

p + q = 3q + q

p + q = 4q …….. Pers. (3)

dengan menggunakan rumus jumlah akar, maka kita peroleh nilai sebagai berikut.

p + q = -b/a = -(-8)/1 = 8

Kemudian kita masukan nilai p + q ke persamaan (3) sebagai berikut.

8 = 4q

q = 2

Subtitusikan nilai q ke persamaan (2) sehingga kita peroleh nilai p

p = 3q

⇔ p = 3(2) = 6

Untuk menentukan nilai k, kita gunakan rumus kali akar sebagai berikut.

p × q = c/a

⇔ 6 × 2 = k/1

⇔ 12 = k

Jadi nilai k adalah 12.

Contoh Soal #7

Persamaan kuadrat x2 – mx + 4 = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2. Jika x1 – x2 = 2, maka tentukan nilai m

Jawab

Persamaan kuadrat x2 – mx + 4 = 0 memiliki nilai a = 1, b = -m dan c =  4.

Sebelum menggunakan rumus selisih akar, kita tentukan nilai diskriminan (D) terlebih dahulu.

D = b2 – 4ac

⇔ D = (-m)2 – 4(1)(4)

⇔ D = m2 – 16

Dengan demikian, rumus selisih akarnya adalah sebagai berikut.

x1 – x2 = ±√D/a

⇔ 2 = ±√[(m2 – 16)/1]

⇔ 2 = ±√(m2 – 16)

⇔ 4 = m2 – 16

⇔ m2 = 4 + 16

⇔ m2 = 20

⇔ m = 2√5

Contoh Soal #8

Persamaan kuadrat px2 – (p + 1)x + 1 = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2. Jika akar yang satu merupakan dua kali akar lainnya, tentukanlah nilai p yang memenuhi.

Jawab

Persamaan kuadrat px2 – (p + 1)x + 1 = 0 memiliki nilai a = p, b = –p – 1 dan c = 1.

Pertama, kita mulai dari yang telah diketahui

x2 = 2x1 …….. Pers. (4)

Kemudian, dengan menggunakan rumus jumlah akar kita peroleh

x1 + x2 = -b/a = –(–p – 1)/p

⇔ x1 + x2 = –(–p – 1)/p

⇔ x1 + x2 = (p + 1)/p …….. Pers. (5)

Kemudian subtitusikan persamaan (4) ke persamaan (5)

x1 + 2x1 = (p + 1)/p

⇔ 3x1 = (p + 1)/p

⇔ x1 = (p + 1)/3p …….. Pers. (6)

Selanjutnya, kita gunakan rumus hasil kali akar sebagai berikut.

x1 × x2 = c/a = 1/p

⇔ x1 × x2 = 1/p …….. Pers. (7)

Subtitusikan persamaan (4) ke persamaan (7)

x1 × 2x1 = 1/p

⇔ 2x12 = 1/p

⇔ x12 = 1/2p …….. Pers. (8)

Subtitusikan persamaan (6) ke persamaan (8)

[(p + 1)/3p]2 = 1/2p

⇔ (p2 + 2p + 1)/9p2 = 1/2p

Kalikan ruas kiri dan kanan dengan 18p2, sehingga kita dapatkan

2p2 + 4p + 2 = 9p

⇔ 2p2 + 4p – 9p + 2 = 0 

⇔ 2p2 – 5p + 2 = 0 

Terakhir, dengan menggunakan metode pemfaktoran kita peroleh nilai p sebagai berikut.

(2p – 2)(p – 2) = 0

⇔ 2p – 2 = 0 → p = 1 atau

⇔ p – 2 = 0 → p = 2

Jadi nilai p yang memenuhi adalah 1 atau 2.

Contoh Soal #9

Tentukan nilai k yang memenuhi persamaan 2kx2 – 9x + k2 = 0 jika diketahui x1 × x2 = 12.

Jawab

Persamaan 2kx2 – 9x + k2 = 0 memiliki nilai a = 2k, b = -9 dan c = k2.

Dengan menggunakan rumus hasil kali akar, kita peroleh

x1 × x2 = c/a = k2/2k

⇔ x1 × x2 = k/2

⇔ 12 = k/2

⇔ k = 24

Contoh Soal #10

x1 dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat mx2 – 2nx + 24 = 0. Diketahui x1 + x2 = 4 dan x1 × x2 = 6, maka apabila nilai m dan n diperoleh tentukan persamaan kuadratnya.

Jawab

Persamaan kuadrat mx2 – 2nx + 24 = 0 memiliki nilai a = m, b = -2n dan c = 24.

Dengan menggunakan rumus jumlah akar, kita peroleh

x1 + x2 = -b/a = -(-2n)/m

⇔ x1 + x2 = 2n/m

⇔ 4 = 2n/m

⇔ 2n = 4m

⇔ n = 2m …….. Pers. (9)

Dengan menggunakan rumus hasil kali akar, kita peroleh

x1 × x2 = c/a = 24/m

⇔ x1 × x2 = 24/m

⇔ 6 = 24/m

⇔ m = 24/6

⇔ m = 4

Subtitusikan nilai m = 4 ke persamaan (9) sehingga kita peroleh nilai n sebagai berikut.

n = 2m = 2(4) = 8

Jadi nilai n = 8 dan m = 4 sehingga persamaan kuadratnya adalah

mx2 – 2nx + 24 = 0

⇔ 4x2 – 2(8)x + 24 = 0

⇔ 4x2 – 16x + 24 = 0

⇔ x2 – 4x + 6 = 0

Demikianlah artikel tentang kumpulan contoh soal dan pembahasan jumlah, selisih dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Apabila terdapat kesalahan tanda, simbol, huruf maupun angka dalam perhitungan mohon dimaklumi. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.