Cara Mudah Menyusun Persamaan Kuadrat Baru, Contoh Soal dan Pembahasan

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Pada kesempatan kali ini, kita akan belajar mengenai cara membentuk atau menyusun Persamaan Kuadrat Baru (PKB) yang akar-akarnya masih memiliki hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lama. Maksudnya seperti apa? Coba kalian perhatikan skema berikut ini.

Persamaan Kuadrat Lama	Persamaan Kuadrat Baru
ax2 + bx + c	px2 + qx + r
Akar-akarnya: ■ x1 ■ x2	Akar-akarnya: ■ y1 ■ y2

Persamaan kuadrat lama yaitu ax2 + bx + c yang akar-akarnya x1 dan x2 dapat dibentuk menjadi persamaan kuadrat baru berbentuk px2 + qx + r yang akar-akarnya y1 dan y2 tanpa menentukan nilai akar-akar dari persamaan kuadrat lama terlebih dahulu asalkan y1 dan y2 masih berkaitan dengan x1 dan x2, misalkan seperti ini.

■ y1 = 2x1

■ y2 = 2x2

atau

■ y1 = 1/x1

■ y2 = 1/x2

Lalu bagaimana caranya menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya masih berhubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lama? Prinsip dasar dalam menyusun persamaan kuadrat baru adalah dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar. Dengan memanfaatkan kedua rumus tersebut, maka persamaan kuadrat baru dapat kita susun sesuai dengan hubungan akar-akarnya.

Secara umum, persamaan kuadrat baru dirumuskan sebagai berikut.

x2 – (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0

Atau biasanya ditulis dalam bentuk simbol sebagai berikut.

x2 – (α + β)x + α.β = 0

dengan α dan β merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat baru. Agar lebih jelas, silahkan kalian simak secara seksama contoh soal dan pembahasan mengenai cara menyusun persamaan kuadrat baru berikut ini.

Contoh Soal dan Pembahasan

Diketahui persamaan kuadrat x2 – x + 3 = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2. Susunlah sebuah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah sebagai berikut:

■ x1 + 2 dan x2 + 2

■ x12 dan x22

■ 1/(x1 – 2) dan 1/(x2 – 2)

■ x1/x2 dan x2/x1

Jawab

Langkah pertama, kita tinjau persamaan kuadrat lama x2 – x + 3 = 0 memiliki nilai a = 1, b = -1 dan c = 3.

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat lama adalah

⇔ x1 + x2 = -b/a

⇔ x1 + x2 = -(-1)/1

⇔ x1 + x2 = 1

Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat lama adalah

⇔ x1 . x2 = c/a

⇔ x1 . x2 = 3/1

⇔ x1 . x2 = 3

Langkah kedua, kita tinjau jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat yang baru sebagai berikut.

■ x1 + 2 dan x2 + 2

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β, maka α = x1 + 2 dan β = x2 + 2.

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah

⇔ α + β = (x1 + 2) + (x2 + 2)

⇔ α + β = (x1 + x2) + 4

⇔ α + β = 1 + 4

⇔ α + β = 5

Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru adalah

⇔ α . β = (x1 + 2) . (x2 + 2)

⇔ α . β = x1 . x2 + 2x1 + 2x2 + 4

⇔ α . β = x1 . x2 + 2(x1 + x2) + 4

⇔ α . β = 3 + 2(1) + 4

⇔ α . β = 9

Kemudian masukan nilai α + β dan α . β ke dalam rumus menyusun persamaan kuadrat baru, yaitu sebagai berikut.

⇔ x2 – (α + β)x + α.β = 0

⇔ x2 – (5)x + 9 = 0

⇔ x2 – 5x + 9 = 0

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah x2 – 5x + 9 = 0.

■ x12 dan x22

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β, maka α = x12 dan β = x22.

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah

⇔ α + β = x12 + x22

Bentuk x12 + x22 dapat kita ubah menjadi seperti berikut

● (x1 + x2)2 = x12 + x22 + 2(x1 . x2)

● x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2(x1 . x2)

Jadi,

⇔ α + β = (x1 + x2)2 − 2(x1 . x2)

⇔ α + β = (1)2 – 2(3)

⇔ α + β = 1 – 6

⇔ α + β = –5

Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru adalah

⇔ α . β = x12 . x22

⇔ α . β = (x1 . x2)2

⇔ α . β = (3)2

⇔ α . β = 9

Kemudian masukan nilai α + β dan α . β ke dalam rumus menyusun persamaan kuadrat baru, yaitu sebagai berikut.

⇔ x2 – (α + β)x + α.β = 0

⇔ x2 – (-5)x + 9 = 0

⇔ x2 + 5x + 9 = 0

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah x2 + 5x + 9 = 0.

■ 1/(x1 – 2) dan 1/(x2 – 2)

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β, maka α = 1/(x1 – 2) dan β = 1/(x2 – 2).

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah

⇔ α + β	=	1	+	1
		x1 – 2		x2 – 2

⇔ α + β	=	(x2 – 2) + (x1 – 2)
		(x1 – 2)(x2 – 2)

⇔ α + β	=	(x2 + x1) – 4
		x1 . x2 – 2(x1 + x2) + 4

⇔ α + β	=	1 – 4
		3 – 2(1) + 4

⇔ α + β	=	–3
		5

Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru adalah

⇔ α . β	=	1	.	1
		x1 – 2		x2 – 2

⇔ α . β	=	1
		x1 . x2 – 2(x1 + x2) + 4

⇔ α . β	=	1
		3 – 2(1) + 4

⇔ α . β	=	1
		5

Kemudian masukan nilai α + β dan α . β ke dalam rumus menyusun persamaan kuadrat baru, yaitu sebagai berikut.

⇔ x2 – (α + β)x + α.β = 0

⇔ x2 – (-3/5)x + 1/5 = 0

⇔ x2 + 3/5x + 1/5 = 0

Apabila kedua ruas kita kalikan dengan 5 (agar tidak ada koefisien pecahan), maka persamaan kuadrat yang baru adalah 5x2 + 3x + 1 = 0.

■ x1/x2 dan x2/x1

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β, maka α = x1/x2 dan β = x2/x1.

Jumlah akar-akar persamaan kuadrat baru adalah

⇔ α + β	=	x1	+	x2
		x2		x1

⇔ α + β	=	x12 + x22
		x1 . x2

⇔ α + β	=	(x1 + x2)2 − 2(x1 . x2)
		x1 . x2

⇔ α + β	=	(1)2 − 2(3)
		3

⇔ α + β	=	–5
		3

Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat baru adalah

⇔ α . β	=	x1	.	x2
		x2		x1

⇔ α . β

=

1

Kemudian masukan nilai α + β dan α . β ke dalam rumus menyusun persamaan kuadrat baru, yaitu sebagai berikut.

⇔ x2 – (α + β)x + α.β = 0

⇔ x2 – (-5/3)x + 1 = 0

⇔ x2 + 5/3x + 1 = 0

Apabila kedua ruas kita kalikan dengan 3 (agar tidak ada koefisien pecahan), maka persamaan kuadrat yang baru adalah 3x2 + 5x + 3 = 0.

Demikianlah artikel tentang cara mudah menyusun persamaan kuadrat baru dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar beserta contoh soal dan pembahasan. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Apabila terdapat kesalahan tanda, simbol, huruf maupun angka dalam perhitungan mohon dimaklumi. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.