Rumus Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Pada kesempatan kali ini, kita akan belajar mengenai cara menentukan jumlah, selisih dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Untuk menentukan jumlah, selisih dan hasil kali akar persamaan kuadrat, kita tidak perlu repot-repot mencarai akar-akarnya terlebih dahulu. Kita cukup melihat koefisien-koefisien persamaannya saja. Tentu kalian masih ingat bahwa akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ditentukan dengan rumus kuadrat atau rumus ABC sebagai berikut.

x1	=	–b + √	b2 – 4ac	atau	x2	=	–b − √	b2 – 4ac
		2a					2a

Berdasarkan rumus di atas, kita dapat mengembangkan rumus jumlah akar-akar (x1 + x2), rumus selisih akar-akar (x1 – x2) dan rumus hasil kali akar-akar (x1 × x2) dari persamaan kuadrat yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 yang dinyatakan dalam koefisien-koefisien a, b dan c. Lalu seperti apa rumus-rumus tersebut? Perhatikan penurunan rumus berikut ini.

Penurunan Rumus Jumlah Akar-Akar Persamaan Kuadrat

x1 + x2	=	–b + √	b2 – 4ac	+	–b − √	b2 – 4ac
		2a			2a

x1 + x2	=	–2b
		2a

x1 + x2	=	–b
		a

Dengan demikian, rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.

x1 + x2 = –b/a

Penurunan Rumus Selisih Akar-Akar Persamaan Kuadrat

x1 − x2	=	–b + √	b2 – 4ac	−	–b − √	b2 – 4ac
		2a			2a

x1 − x2	=	2 √	b2 – 4ac
		2a

x1 − x2	=	√	b2 – 4ac
		a

Karena b2 – 4ac = D (diskriminan), maka rumus di atas dapat kita tulis ulang menjadi sebagai berikut.

x1 − x2	=	±√	D
		a

Dengan demikian, rumus selisih akar-akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.

x1 − x2 = ±√D/a

Penurunan Rumus Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

x1 × x2	=	–b + √	b2 – 4ac	×	–b − √	b2 – 4ac
		2a			2a

x1 × x2	=	(–b)2	−	(	√	b2 – 4ac	)2
		(2a)2

x1 × x2	=	b2 – (b2 – 4ac)
		4a2

x1 × x2	=	4ac
		4a2

x1 × x2	=	c
		a

Dengan demikian, rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.

x1 × x2 = c/a

Ketiga rumus sudah kita dapatkan sehingga kita dapat menentukan jumlah, selisih dan hasil kali akar-akar suatu persamaan kuadrat secara mudah. Namun, dalam soal kadang-kadang tidak langsung ditanyakan jumlah, selisih dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tetapi dalam bentuk lainnya. Misalkan jumlah kuadrat akar-akar persamaan kuadrat atau penjumlahan dari kebalikan akar-akarnya.

Cara mudah untuk menyelesaikannya adalah dengan membuat bentuk yang ditanyakan ke dalam bentuk penjumlahan, selisih dan hasil kali akar-akarnya. Berikut ini akan penulis paparkan mengenai beberapa bentuk yang sering keluar dalam soal.

#1 Bentuk 1/x1 + 1/x2

Bentuk 1/x1 + 1/x2 merupakan bentuk pecahan yang dapat dengan mudah kita sederhanakan seperti menyederhanakan pecahan biasa.

⇔ 1/x1 + 1/x2 = (x1 + x2)/(x1x2)

Subtituskan nilai x1 + x2 = –b/a dan x1x2 = c/a ke persamaan di atas.

1/x1 + 1/x2 = (–b/a)/( c/a)

#2 Bentuk x12 + x22

Untuk bentuk jumlah akar-akar berpangkat dua, penyelesaiannya masih sederhana. Konsepnya adalah kita pangkatkan jumlah akar, kemudian kita kurangkan dengan bagian-bagian yang tidak diperlukan.

x12 + x22

Bentuk tersebut dapat kita ubah dengan cara sebagai berikut.

⇔ (x1 + x2)2 = x12 + x22 + 2x1x2

⇔ x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2

Subtituskan nilai x1 + x2 = –b/a dan x1x2 = c/a ke persamaan di atas.

⇔ x12 + x22 = (–b/a)2 – 2(c/a)

Dengan demikian, rumus jumlah kuadrat akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut.

x12 + x22 = (–b/a)2 – 2(c/a)

#3 Bentuk x12 − x22

Bentuk x12 − x22 dapat dengan mudah diubah menjadi bentuk perjumlahan dan selisih akar-akar sebagai berikut.

x12 − x22

⇔ x12 − x22 = (x1 + x2)(x1 – x2)

Subtituskan nilai x1 + x2 = –b/a dan x1 − x2 = √D/a ke persamaan di atas.

⇔ x12 − x22 = (–b/a)( ±√D/a)

Dengan demikian, rumus selisih kuadrat akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut.

x12 − x22 = (–b/a)( ±√D/a)

#4 Bentuk x1/x2 + x2/x1

Seperti bentuk 1 di atas, bentuk 4 kali ini juga dapat diubah seperti menyederhanakan bentuk pecahan biasa sebagai berikut.

⇔ x1/x2 + x2/x1 = (x12 + x22)/x1x2

subtitusikan bentuk x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 ke persamaan di atas.

⇔ x1/x2 + x2/x1 = [(x1 + x2)2 − 2x1x2]/x1x2

Subtituskan nilai x1 + x2 = –b/a dan x1x2 = c/a ke persamaan di atas.

⇔ x1/x2 + x2/x1 = [(–b/a)2 – 2(c/a)]/( c/a)

#5 Bentuk x13 + x23

Gunakan cara yang sama seperti pada bentuk 1 di atas, yaitu sebagai berikut

x13 + x23

⇔ (x1 + x2)3 = x13 + 2x12x2 + x1x22 + x12x2 + 2x1x22 + x23

⇔ (x1 + x2)3 = x13 + x23 + 3x12x2 + 3x1x22

⇔ x13 + x23 = (x1 + x2)3 − 3x12x2 − 3x1x22

⇔ x13 + x23 = (x1 + x2)3 − 3x1x2(x1 + x2)

⇔ x13 + x23 = (x1 + x2)3 − 3x1x2(x1 + x2)

⇔ x13 + x23 = (–b/a)3 – 3(c/a)(–b/a)

Dengan demikian, rumus jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut.

x13 + x23 = (–b/a)3 – 3(c/a)(–b/a)

#6 Bentuk x13 − x23

Gunakan cara yang sama seperti pada bentuk 3 di atas, yaitu sebagai berikut

x13 − x23

⇔ (x1 − x2)3 = x13 − 2x12x2 + x1x22 − x12x2 + 2x1x22 − x23

⇔ (x1 − x2)3 = x13 − x23 − 3x12x2 + 3x1x22

⇔ x13 − x23 = (x1 − x2)3 + 3x12x2 − 3x1x22

⇔ x13 − x23 = (x1 − x2)3 + 3x1x2(x1 − x2)

⇔ x13 − x23 = (±√D/a)3 + 3(c/a)(±√D/a)

Dengan demikian, rumus selisih pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut.

x13 − x23 = (±√D/a)3 + 3(c/a)(±√D/a)

#7 Bentuk x14 + x24

Bentuk 7 dapat diubah dengan cara menguadratkan bentuk 2 di atas, perhatikan langkah berikut ini.

⇔ (x12 + x22)2 = x14 + 2x12x22 + x24

⇔ (x12 + x22)2 = x14 + x24 + 2x12x22

⇔ x14 + x24 = (x12 + x22)2 − 2x12x22

Kemudian subtitusikan nilai x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 ke persamaan di atas

⇔ x14 + x24 = [(x1 + x2)2 − 2x1x2]2 − 2x12x22

⇔ x14 + x24 = [(x1 + x2)2 − 2x1x2]2 – 2(x1x2)2

⇔ x14 + x24 = [(–b/a)2 – 2(c/a)]2 – 2(c/a)2

#8 Bentuk x14 − x24

Bentuk 8 dapat kita ubah dengan cara yang sama seperti mengubah bentuk 3, sebagai berikut.

⇔ x14 − x24 = (x12 + x22)(x12 − x22)

⇔ x14 − x24 = (x12 + x22)(x12 − x22)

Subtitusikan nilai x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 dan nilai x12 − x22 = (x1 + x2)(x1 – x2) ke persamaan di atas.

⇔ x14 − x24 = [(x1 + x2)2 − 2x1x2][(x1 + x2)(x1 – x2)]

⇔ x14 − x24 = [(–b/a)2 – 2(c/a)][(–b/a)(±√D/a)]

Contoh Soal