10 Rumus Cepat Menyusun Persamaan Kuadrat Baru, Contoh Soal dan Pembahasan

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Persamaan kuadrat baru atau sering disingkat PKB merupakan suatu persamaan kuadrat yang dibentuk berdasarkan akar-akar yang ada kaitannya dengan akar-akar persamaan kuadrat lama. Untuk menyusun persamaan kuadrat baru kita dapat menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Secara umum, persamaan kuadrat baru dirumuskan sebagai berikut.

x2 – (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0

Atau biasanya ditulis dalam bentuk simbol sebagai berikut.

x2 – (α + β)x + α . β = 0

Dengan α dan β merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat baru. Adapun langkah-langah menyusun persamaan kuadrat baru adalah sebagai berikut.

■ Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat lama (awal)

■ Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat lama

■ Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat baru

■ Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat baru

■ Susun persamaan kuadrat baru

Dengan menggunakan langkah-langkah di atas, kita dapat menyusun persamaan kuadrat baru (PKB) secara sistematis namun membutuhkan waktu yang lebih lama tergantung kecepatan berhitung tiap orang. Oleh karena itu, untuk mempersingkat waktu perhitungan, artikel ini menyajikan kumpulan rumus cepat dalam menyusun persamaan kuadrat baru dengan karakteristik akar tertentu. Silahkan simak dan terapkan sendiri.

#1 PKB yang akar-akarnya nx1 dan nx2

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n kali akar-akar persamaan kuadrat awal, misalnya 2x1 dan 2x2, 3x1 dan 3x2, 5x1 dan 5x2 dan sebagainya dapat disusun secara mudah dengan menggunakan rumus khusus sebagai berikut.

	a	x2	+	b	x	+	c	=	0
	n2			n

Dengan n merupakan faktor pengali akar.

#2 PKB yang akar-akarnya 1/x1 dan 1/x2

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya berkebalikan dengan akar-akar persamaan kuadrat awal yaitu 1/x1 dan 1/x2 dapat dibentuk secara singkat menggunakan rumus instan sebagai berikut.

cx2 + bx + a = 0

Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadrat awal yang berbentuk ax2 + bx + c = 0

#3 PKB yang akar-akarnya −x1 dan −x2

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya berlawanan dengan akar-akar persamaan kuadrat sebelumnya yaitu –x1 dan –x2 dapat disusun secara lebih cepat dengan menggunakan rumus khusus berikut ini.

ax2 − bx + c = 0

Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadra awal yaitu dari persamaan ax2 + bx + c.

#4 PKB yang akar-akarnya x1 + n dan x2 + n

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n lebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat awal, misalnya x1 + 2 dan x2 + 2, x1 + 3 dan x2 + 3, x1 + 5 dan x2 + 5, dan sebagainya dapat disusun secara praktis dengan menggunakan rumus cepat berikut ini.

a(x – n)2 + b(x – n) + c = 0

Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadrat lama yang berbentuk ax2 + bx + c = 0

#5 PKB yang akar-akarnya x1 − n dan x2 − n

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n kurangnya dari akar-akar persamaan kuadrat awal, misalnya x1 − 2 dan x2 − 2, x1 − 3 dan x2 − 3, x1− 5 dan x2 − 5, dan sebagainya dapat dibentuk secara lebih cepat dengan menggunakan rumus praktis berikut ini.

a(x + n)2 + b(x + n) + c = 0

Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadrat lama yang berbentuk ax2 + bx + c = 0

#6 PKB yang akar-akarnya x12 dan x22

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat awal yaitu x12 dan x22 dapat disusun secara lebih mudah dan cepat dengan menggunakan rumus praktis sebagai berikut.

a2x2 – (b2 – 2ac)x + c2 = 0

Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadrat lama yang berbentuk ax2 + bx + c = 0

#7 PKB yang akar-akarnya x1/x2 dan x2/x1

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya saling berkebalikan dari akar-akar persamaan kuadrat awal yaitu x1/x2 dan x2/x1 ternyata dapat disusun secara mudah dan praktis dengan menggunakan rumus sebagai berikut.

acx2 – (b2 – 2ac)x + ac = 0

Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadra awal yaitu dari persamaan ax2 + bx + c.

#8 PKB yang akar-akarnya x1 + x2 dan x1 . x2

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat sebelumnya yaitu x1 + x2 dan x1 . x2dapat disusun secara lebih mudah dengan menggunakan rumus sebagai berikut.

a2x2 + (ab – ac)x – bc = 0

Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadra awal yaitu dari persamaan ax2 + bx + c.

#9 PKB yang akar-akarnya x13 dan x23

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan pangkat tiga dari akar-akar persamaan kuadrat lama yaitu x13 dan x23 dapat disusun secara mudah dan lebih cepat dengan menggunakan rumus khusus sebagai berikut.

a3x2 + (b3 – 3abc)x + c3 = 0

Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadra awal yaitu dari persamaan ax2 + bx + c.

#10 PKB yang akar-akarnya x14 dan x24

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan pangkat empat dari akar-akar persamaan kuadrat lama yaitu x14 dan x24 dapat disusun secara mudah dengan menggunakan rumus praktis berikut ini.

a4x2 – (b4 – 4ab2c + 2a2c2)x + c4 = 0

Nilai a, b dan c diperoleh dari persamaan kuadra awal yaitu dari persamaan ax2 + bx + c.

Contoh Soal dan Pembahasan

Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat x2 – 3x + 5 = 0, maka tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah x1 – 3 dan x2 – 3.

Jawab

Untuk menyusun persamaan kuadrat baru seperti pada contoh soal di atas, kita akan menggunakan dua cara yaitu dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar serta dengan menggunakan rumus khusus. Mari kita bahas satu persatu.

■ Menggunakan Rumus Jumlah dan Hasil Kali akar

Persamaan kuadrat x2 – 3x + 5 = 0 memiliki nilai a = 1, b = -3 dan c = 5. Pertama kita tentukan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat lama sebagai berikut.

Jumlah Akar

⇔ x1 + x2 = -b/a

⇔ x1 + x2 = -(-3)/1

⇔ x1 + x2 = 3

Hasil kali Akar

⇔ x1 . x2 = c/a

⇔ x1 . x2 = 5/1

⇔ x1 . x2 = 5

Langkah selanjutnya, kita tentukan jumlah dan hasil kali akar untuk persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x1 – 3 dan x2 – 3 yaitu sebagai berikut.

Jumlah Akar

⇔ (x1 – 3) + (x2 – 3) = (x1 + x2) – 6

⇔ (x1 – 3) + (x2 – 3) = 3 – 6

⇔ (x1 – 3) + (x2 – 3) = -3

Hasil kali Akar

⇔ (x1 – 3) . (x2 – 3) = (x1 . x2) – 3x1 – 3x2 + 32

⇔ (x1 – 3) . (x2 – 3) = (x1 . x2) – 3(x1 + x2) + 9

⇔ (x1 – 3) . (x2 – 3) = 5 – 3(3) + 9

⇔ (x1 – 3) . (x2 – 3) = 5

Langkah terakhir kita masukkan nilai jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru ke dalam rumus umum menyusun PKB yaitu sebagai berikut.

⇔ x2 – (jumlah akar)x + hasil kali akar = 0

⇔ x2 – (-3)x + 5 = 0

⇔ x2 + 3x + 5 = 0

Jadi persamaan kuadrat barunya adalah x2 + 3x + 5 = 0

■ Menggunakan Rumus Khusus

Akar-akar persamaan kuadrat baru adalah x1 – 3 dan x2 – 3 sehingga akar-akar tersebut berbentuk x1 – n dan x2 – n. Oleh karena itu, kita gunakan rumus nomor #5 yaitu sebagai berikut.

a(x + n)2 + b(x + n) + c = 0

Dari soal kita ketahui nilai a = 1, b = -3, c = 5 dan n = 3. Dengan demikian kita peroleh

⇔ a(x + n)2 + b(x + n) + c = 0

⇔ 1(x + 3)2 + (-3)(x + 3) + 5 = 0

⇔ x2 + 6x + 9 – 3x – 9 + 5 = 0

⇔ x2 + 3x + 5 = 0

Jadi persamaan kuadrat barunya adalah x2 + 3x + 5 = 0

Demikianlah artikel tentang kumpulan rumus cepat dalam menyusun persamaan kuadrat baru yang memiliki akar dengan karakteristik khusus beserta contoh soal dan pembahasan. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Apabila terdapat kesalahan tanda, simbol, huruf maupun angka dalam perhitungan mohon dimaklumi. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.