Hubungan Biimplikasi dan 2 Himpunan yang Sama, Contoh Soal dan Pembahasan

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Kalian telah mengenal kalimat majemuk implikasi. Dari tabel nilai kebenaran implikasi itu, coba kalian perhatikan tabel nilai kebenaran berikut ini.

p	q	p ⇒ q	q ⇒ p	(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
B	B	B	B	B
B	S	S	B	S
S	B	B	S	S
S	S	B	B	B

Dari tabel di atas, nilai kebenaran dari (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) adalah nilai kebenaran biimplikasi. Biimpilkasi adalah dua kalimat pernyataan yang menggunakan kata hubung “jika dan hanya jika” dan dilambangkan dengan “⇔”. Oleh karena itu, (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ≡ p ⇔ q. Tanda “≡” adalah tanda ekuivalen.

Jadi, dapat kita simpulkan bahwa nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk biimplikasi ditunjukkan seperti pada tabel berikut ini.

Tabel Nilai Kebenaran Biimplikasi

p	q	p ⇔ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Contoh Soal 1:

Tentukan nilai kebenaran dari biimplikasi dua pernyataan berikut.

p: 3 × 2 = 6 (benar)

q: 6 memiliki faktor {1, 2, 3, 4, 6} (salah)

Jawab:

p ⇔ q: 3 × 2 = 6 jika dan hanya jika 6 memiliki faktor {1, 2, 3, 4, 6}. (salah)

Contoh Soal 2:

Tentukan nilai kebenaran dari biimplikasi dua pernyataan berikut.

p: Persegi memiliki 5 simetri lipat. (salah)

q: Persegi memiliki 2 simetri putar. (salah)

Jawab:

p ⇔ q: Persegi memiliki 5 simetri lipat jika dan hanya jika memiliki 2 simetri putar. (benar)

Contoh Soal 3:

Tentukan nilai kebenaran setiap biimplikasi berikut ini.

a) log 25 – log 4 = 21 jika dan hanya jika log 25 + log 4 = 2.

b) a = b jika dan hanya jika a + c = b + c, untuk a, b, c ∈ R.

Jawab:

a) Misalkan p: log 25 – log 4 = log 21 dan q: log 25 + log 4 = 2. Kita tentukan nilai kebenaran pernyataan p dan q sebagai berikut.

Nilai kebenaran p:

log 25 – log 4 = log (25/4)

log 25 – log 4 = log 6,25

jadi nilai kebenaran pernyataan p adalah salah (S).

Nilai kebenaran p:

log 25 + log 4 = log (25 × 4)

log 25 + log 4 = log 100

log 25 + log 4 = log 102

log 25 + log 4 = 2

jadi nilai kebenaran pernyataan q adalah benar (B).

karena p bernilai salah sedangkan q bernilai benar, maka p ⇔ q salah.

b) Misalkan p: a = b dan q: a + c = b + c. Dengan menggunakan persamaan pada pernyataan p, kita uji nilai kebenaran pernyataan q, yaitu sebagai berikut.

a + c = b + c

b + c = b + c

Jadi, pernyataan q benar, sedangkan pernyataan p sudah pasti benar (saling mempengaruhi) dengan demikian, p ⇔ q benar.

Contoh Soal 4:

Carilah nilai x agar kalimat berikut ini menjadi biimplikasi yang bernilai benar.

√9 adalah bilangan irasional jika dan hanya jika x > 2

Jawab:

Terdapat pernyataan p: √9 adalah bilangan irasional dan kalimat terbuka q(x): x > 2. Nilai kebenaran pernyataan p adalah sebagai berikut.

√9 = ±3 (bilangan rasional)

Dengan demikian, pernyataan p bernilai salah. Agar p ⇔ q benar, maka kalimat terbuka q(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai salah, sehingga nilai x yang memenuhi adalah x ≤ 2, x ∈R.

Contoh Soal 5:

Carilah nilai x agar kalimat berikut menjadi biimplikasi yang bernilai salah.

Log 9 = 2 log 3 jika dan hanya jika x ≥ 5.

Jawab:

Terdapat sebuah pernyataan p: log 9 = 2 log 3 dan kalimat terbuka q(x): x ≥ 5. Nilai kebenaran pernyataan p adalah sebagai berikut.

Log 9 = log 32

Log 9 = 2 log 3

Jadi, pernyataan p bernilai benar (B). Agar p ⇔ q salah, maka kalimat terbuka q(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai salah sehingga nilai x yang memenuhi adalah x < 5, x ∈ R.

Hubungan antara Implikasi dengan Himpunan Bagian

Jika P dan Q masing-masing merupakan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) dan q(x) pada semesta pembiacaraan S, maka p(x)⇔ q(x) menjadi biimplikasi p ⇔ q yang bernilai benar apabila P = Q.

Atau dalam bentuk lambang himpunan dapat dituliskan sebagai berikut.

P = {x | p(x)}, p benar jika x ∈ P

Q = {x | q(x)}, Q benar jika x ∈ Q

Biimplikasi p ⇔ q benar, jika P = Q

Hubungan tersebut dapat digambarkan dengan diagram Venn seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut ini.

Contoh Soal 6:

Di antara pernyataan biimplikasi berikut ini, manakah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran benar (B)?

a) x = 16 jika dan hanya jika 2log x = 4

b) x – 6 > 0 jika dan hanya jika x2 – 7x + 6 > 0.

c) Dua buah garis sejajar jika dan hanya jika garis itu sebidang.

Jawab:

Suatu pernyataan biimplikasi yang terdiri dari dua kalimat terbuka p(x) dan q(x) akan bernilai benar apabila himpunan penyelesaian dari kedua kalimat terbuka tersebut sama.

a) p(x): x = 16 dan q(x): 2log x = 4. Himpunan penyelesaian kedua kalimat terbuka ini adalah sebagai berikut.

Misalkan himpunan penyelesaian p(x) = P dan q(x): Q maka:

□ x = 16, P = 16

□ 2log x = 4

2log 24 = 4, Q = 24 = 16

Karena P = Q, maka kalimat “x = 16 jika dan hanya jika 2log x = 4” adalah biimplikasi yang benar.

b) p(x): x – 6 > 0 dan q(x): x2 – 7x + 6 > 0. Himpunan penyelesaian kedua kalimat terbuka ini adalah sebagai berikut.

Misalkan himpunan penyelesaian p(x) = P dan q(x): Q maka:

□ x – 6 > 0

x > 6, P = {x | x > 6, x ∈ R}.

□ x2 – 7x + 6 > 0

(x – 6)(x – 1) > 0, Q = {x | x < 1 atau x > 6, x ∈ R}

Karena P = Q, maka kalimat “p(x): x – 6 > 0 dan q(x): x2 – 7x + 6 > 0” adalah biimplikasi yang benar.

c) Dua garis sejajar sudah pasti sebidang. Tapi dua garis sebidang, belum tentu sejajar (bisa saja berhimpit). Jadi, kalimat “Dua buah garis sejajar jika dan hanya jika garis itu sebidang” adalah biimplikasi yang benar.