Biimplikasi: Pengertian, Tabel Kebenaran, Contoh Soal dan Pembahasan
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/04/biimplikasi.html
Daftar Materi Matematika
Advertisement
Pernyataan p dan pernyataan q dapat dirangkai dengan menggunakan kata hubung “jika dan hanya jika” sehingga diperoleh pernyataan baru yang berbentuk “p jika dan hanya jika q”. Pernyataan yang dirangkai dengan cara seperti itu disebut biimplikasi atau implikasi dwiarah. Biimplikasi “p jika dan hanya jika q” dapat ditulis dengan lambang berikut.
p ⇔ q
|
(dibaca: p jika dan hanya jika q)
Dalam beberapa penerapan, p ⇔ q dapat juga dibaca sebagai berikut.
(i) Jika p maka q dan jika q maka p.
(ii) p syarat perlu dan cukup bagi q.
(iii) q syarat perlu dan cukup bagi p
Nilai kebenaran biimplikasi p ⇔ q dapat ditentukan dengan menggunakan definisi sebagai berikut.
p ⇔ q dinyatakan benar, jika τ(p) = τ(q) (dibaca: p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama).
p ⇔ q dinyatakan salah, jika τ(p) ≠ τ(q) (dibaca: p dan q mempunyai nilai kebenaran yang tidak sama).
|
Berdasarkan definisi tersebut, tabel kebenaran biimplikasi p ⇔ q dapat ditunjukkan seperti pada tabel berikut ini.
Tabel Nilai Kebenaran Biimplikasi p ⇔ q
p
|
q
|
p ⇔ q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
Sekarang, agar kalian lebih paham mengenai konsep biimplikasi dalam logika matematika, silahkan kalian simak beberapa contoh soal dan pembahasannya berikut ini.
Contoh Soal 1:
Tentukan nilai kebenaran setiap biimplikasi berikut ini.
a) (16)1/2 = 4 jika dan hanya jika 16log 4 = ½
b) x2 – 4x + 3 = 0 mempunyai akar real jika dan hanya jika x2 – 4x = 0 tidak mempunyai akar real.
Jawab:
a) Misalkan p: (16)1/2 = 4 dan q: 16log 4 = ½, maka:
● p: (16)1/2 = 4 bernilai benar (B)
● q: 16log 4 = ½ bernilai benar (B)
Karena p dan q bernilai benar, maka p ⇔ q benar.
b) Misalkan p: x2 – 4x + 3 = 0 mempunyai akar real dan q: x2 – 4x = 0 tidak mempunyai akar real, maka:
● p: x2 – 4x + 3 = 0 mempunyai akar real bernilai benar (B)
● q: x2 – 4x = 0 tidak mempunyai akar real bernilai salah (S)
Karena p bernilai benar sedangkan q bernilai salah, maka p ⇔ q salah.
Seperti halnya dalam disjungsi, konjungsi, dan implikasi, dalam biimplikasi juga sering dijumpai kalimat yang berbentuk “p(x) ⇔ q” atau “p ⇔q(x)”, dengan p(x) dan q(x) merupakan kalimat-kalimat terbuka, p dan q merupakan pernyataan-pernyataan.
Kalimat terbuka “p(x) ⇔ q” atau “p ⇔ q(x)” dapat diubah menjadi biimplikasi yang bernilai benar/salah dengan cara menentukan nilai-nilai x pada kalimat terbuka p(x) atau q(x). Untuk lebih jelasnya, simaklah contoh soal berikut.
Contoh Soal 2:
Carilah nilai-nilai x agar kalimat berikut menjadi biimplikasi yang bernilai benar.
3x – 4 = 2x + 2 jika dan hanya jika 6 adalah bilangan genap.
Jawab:
Kalimat “3x – 4 = 2x + 2 jika dan hanya jika 6 adalah bilangan genap” dapat dituliskan dalam bentuk “p(x) ⇔ q” dengan p(x): 3x – 4 = 2x + 2 merupakan suatu kalimat terbuka dan q: 6 adalah bilangan genap merupakan suatu pernyataan.
Agar kalimat “3x – 4 = 2x + 2 jika dan hanya jika 6 adalah bilangan genap” menjadi implikasi yang bernilai benar, maka kalimat terbuka p(x): 3x –4 = 2x + 2 haruslah diubah menjadi pernyataan yang benar, sebab pernyataan q sudah jelas bernilai benar (perhatikan tabel nilai kebenaran biimplikasi di atas).
Nilai x yang menyebabkan kalimat terbuka p(x): 3x – 4 = 2x + 2 menjadi pernyataan yang benar adalah himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka itu, yaitu untuk x = 6. Jadi, kalimat “3x – 4 = 2x + 2 jika dan hanya jika 6 adalah bilangan genap” menjadi biimplikasi yang bernilai benar untuk x = 6.
Contoh Soal 3:
Tentukan nilai kebenaran setiap biimpliasi berikut ini.
a) 0 termasuk bilangan cacah jika dan hanya jika 0 adalah bilangan asli.
b) 2m–n = 2m – 2n jika dan hanya jika 25–2 = 23.
Jawab:
a) Misalkan p: 0 termasuk bilangan cacah dan q: 0 adalah bilangan asli, maka:
● p: 0 termasuk bilangan cacah bernilai benar (B)
● q: 0 adalah bilangan asli bernilai salah (S)
Karena p bernilai benar sedangkan q bernilai salah, maka p ⇔ q salah.
b) Misalkan p: 2m–n = 2m – 2n dan q: 25–2 = 23, maka:
● p: 2m–n = 2m – 2n bernilai salah (S)
● q: q: 25–2 = 23 bernilai benar (B)
Karena p bernilai salah dan q bernilai benar, maka p ⇔ q salah.
Contoh Soal 4:
Diketahui p adalah pernyataan yang bernilai salah dan q adalah pernyataan yang bernilai benar, tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan berikut.
a) p ⇔ q
b) p ⇔ ~q
c) ~p ⇔ q
d) ~p ⇔ ~q
e) ~(p ⇔ ~q)
f) ~(~p ⇔ q)
Jawab:
Untuk mempermudah menentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di atas, maka kita buat dalam bentuk tabel berikut ini.
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p ⇔ q
|
p ⇔ ~q
|
~p ⇔ q
|
~p ⇔ ~q
|
~(p ⇔ ~q)
|
~(~p ⇔ q)
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
Contoh Soal 5:
Carilah nilai x agar setiap kalimat berikut ini menjadi biimplikasi yang bernilai benar.
a) 2x + 1 = 3 jika dan hanya jika 3 adalah bilangan komposit.
b) x2 – 1 ≤ jika dan hanya jika 2log 4 + 2log 2 = 3.
Jawab:
a) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): 2x + 1 = 3 dan sebuah pernyataan q: 3 adalah bilangan komposit. Nilai kebenaran pernyataan q adalah sebagai berikut.
q: 3 adalah bilangan komposit bernilai salah. Hal ini dikarenakan 3 adalah bilangan prima sehingga tidak termasuk bilangan komposit. Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih dari 1 yang bukan bilangan prima. Contoh bilangan komposit adalah 4, 6, 8, 9, dan seterusnya.
Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇔ q menjadi biimplikasi yang benar, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai salah. Sehingga nilai x yang memenuhi adalah sebagai berikut.
2x + 1 = 3
2x = 3 – 1
2x = 2
x = 1
Karena p(x) harus bernilai salah, maka x harus bernilai selain 1. Jadi, agar kalimat “2x + 1 = 3 jika dan hanya jika 3 adalah bilangan komposit” menjadi biimplikasi yang benar, maka x ∈ R, x ≠1.
b) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): x2 – 1 ≤ 0 dan sebuah pernyataan q: 2log 4 + 2log 2 = 3. Nilai kebenaran pernyataan q adalah sebagai berikut.
2log 4 + 2log 2 = 2log 22 + 2log 21
= 2 + 1
= 3
Dengan demikian, pernyataan q bernilai benar (B). Agar p ⇔ q menjadi biimplikasi yang benar, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar. Sehingga nilai x yang memenuhi adalah sebaga berikut.
x2 – 1 ≤ 0 maka HP = {x| -1 ≤ x ≤ 1, x ∈ R}
Jadi, agar kalimat “x2 – 1 ≤ jika dan hanya jika 2log 4 + 2log 2 = 3” menjadi biimplikasi yang benar, maka rentang nilai x yang memenuhi adalah -1≤ x ≤ 1, x ∈ R.
Contoh Soal 6:
Carilah nilai x agar kalimat berikut ini menjadi biimplikasi yang bernilai salah.
4x – 2 = 10 jika dan hanya jika log 4 + log 1 = log 5
Jawab:
Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): 4x – 2 = 10 dan sebuah pernyataan q: log 4 + log 1 = log 5. Nilai kebenaran pernyataan q adalah sebagai berikut.
log 4 + log 1 = log (4 × 1)
= log 4
Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇔ q menjadi biimplikasi yang salah, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar. Sehingga nilai x yang memenuhi adalah sebaga berikut.
4x – 2 = 10
4x = 10 + 2
4x = 12
x = 3
Jadi, agar kalimat “4x – 2 = 10 jika dan hanya jika log 4 + log 1 = log 5” menjadi implikasi yang bernilai salah, maka nilai x = 3.
