Konjungsi: Pengertian, Tabel Kebenaran, Contoh Soal dan Pembahasan
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/03/konjungsi.html
Daftar Materi Matematika
Advertisement
Konjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung dan. Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q ditulis dengan lambang sebagai berikut.
p ∧ q
|
(dibaca: p dan q)
Nilai kebenaran konjungsi p ∧ q dapat ditentukan dengan menggunakan definisi berikut.
(i) p ∧ q benar, jika p benar dan q benar
(ii) p ∧ q salah, jika salah satu p atau q salah
(iii) p ∧ q salah, jika p salah dan q salah
Berdasarkan tiga definisi di atas, tabel kebenaran konjungsi p ∧ q dapat ditunjukkan seperti pada tabel berikut ini.
Tabel Nilai Kebenaran Disjungsi p ∧ q
p
|
q
|
p ∧ q
| |
(1)
|
B
|
B
|
B
|
(2)
|
B
|
S
|
S
|
(3)
|
S
|
B
|
S
|
(4)
|
S
|
S
|
S
|
(1)
|
(2)
|
(3)
|
Catatan:
Nilai kebenaran pernyataan p dan q pada kolom (1) dan (2) disusun sedemikian rupa dengan tujuan untuk mendapatkan pasangan yang tidak sama pada setiap barisnya.
|
Sekarang, agar kalian lebih paham mengenai konsep konjungsi dalam logika matematika, silahkan kalian simak beberapa contoh soal dan pembahasannya berikut ini.
Contoh Soal 1:
Tentukan nilai kebenaran dari setiap konjungsi berikut ini.
a) 4 + 2 = 6 dan ibukota Jawa Timur adalah Surabaya.
b) -4 adalah bilangan bulat dan 4 adalah bilangan prima.
Jawab:
a) Misalkan p: 4 + 2 = 6 dan q: ibukota Jawa Timur adalah Surabaya, maka:
● p: 4 + 2 = 6 bernilai benar (B)
● q: ibukota Jawa Timur adalah Surabaya bernilai benar (B)
karena p dan q bernilai benar, maka p ∧ q benar.
b) Misalkan p: -4 adalah bilangan bulat dan q: 4 adalah bilangan prima, maka:
● p: -4 adalah bilangan bulat bernilai benar (B)
● q: 4 adalah bilangan prima bernilai salah (S)
Karena p bernilai benar sedangkan q bernilai salah, maka p ∧ q salah.
Konjungsi pada Contoh Soal 1a), jelas bahwa pernyataan “4 + 2 = 6” dengan pernyataan “ibukota Jawa Timur adalah Surabaya” tidak memilki hubungan arti. Dengan demikian, konjungsi itu tidak mempunyai arti. Dalam logika matematika yang dipentingkan bukan arti dari sebuah pernyataan, tetapi nilai kebenarannya.
Dalam bahasa sehari-hari, kata perangkai “dan” dapat diganti dengan kata perangkai “tetapi” atau “walaupun” atau “meskipun”.
Dalam beberapa hal, seringkali dijumpai kalimat yang berbentuk “p(x) ∧ q” dengan p(x) merupakan suatu kalimat terbuka dan q merupakan suatu pernyataan. Kalimat “p(x) ∧ q” dapat diubah menjadi konjungsi yang benar/salah dengan cara menentukan nilai-nilai x pada kalimat terbuka p(x). Agar lebih jelas, perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal 2:
Carilah nilai-nilai x agar kalimat berikut menjadi konjungsi yang benar.
1 – x = 2x – 5 dan 10 adalah bilangan komposit.
Jawab:
Kalimat “1 – x = 2x – 5 dan 10 adalah bilangan komposit” terdiri atas kalimat terbuka p(x): 1 – x = 2x – 5 dan pernyataan q: 10 adalah bilangan komposit. Pernyataan q bernilai benar. Agar kalimat tersebut menjadi disjungsi yang benar, maka kalimat terbuka p(x): 1 – x = 2x – 5 harus diubah menjadi pernyataan yang benar (perhatikan tabel nilai kebenaran konjungsi pada baris pertama).
Nilai x yang menyebabkan kalimat terbuka p(x): 1 – x = 2x – 5 menjadi pernyataan yang benar adalah penyelesaian dari kalimat itu, yaitu sebagai berikut.
⇒ 1 – x = 2x – 5
⇒ 2x + x = 1 + 5
⇒ 3x = 6
⇒ x = 2
Jadi, kalimat “1 – x = 2x – 5 dan 10 adalah bilangan komposit” menjadi konjungsi yang benar untuk nilai x = 2.
Contoh Soal 3:
Tentukan nilai kebenaran setiap konjungsi berikut ini.
a) 2log 8 = 3 dan 23 = 8
b) setiap bentuk akar adalah bilangan irasional dan √4 = ± 2
c) setiap bilangan yang ditulis dengan tanda akar ialah bilangan irasional dan √9 = 3
d) x2 – 1 = 0 mempunyai akar real dan x2 + 1 = 0 tidak mempunyai akar real.
Jawab:
a) Misalkan p: 2log 8 = 3 dan q: 23 = 8, maka
● p: 2log 8 = 3 bernilai benar (B)
● q: 23 = 8 bernilai benar (B)
Karena p dan q bernilai benar, maka p ∧ q benar.
b) Misalkan p: setiap bentuk akar adalah bilangan irasional dan q: √4 = ± 2, maka:
● p: setiap bentuk akar adalah bilangan irasional bernilai benar (B)
● q: √4 = ± 2 bernilai benar (B)
karena p dan q bernilai benar, maka p ∧ q benar.
c) Misalkan p: setiap bilangan yang ditulis dengan tanda akar ialah bilangan irasional dan q: √9 = 3, maka:
● p: setiap bilangan yang ditulis dengan tanda akar ialah bilangan irasional bernilai salah (S)
● q: √9 = 3 bernilai benar (B)
karena p bernilai salah dan q bernilai benar, maka p ∧ q salah.
d) Misalkan p: x2 – 1 = 0 mempunyai akar real dan q: x2 + 1 = 0 tidak mempunyai akar real, maka:
● p: x2 – 1 = 0 mempunyai akar real bernilai benar (B)
● q: x2 + 1 = 0 tidak mempunyai akar real bernilai benar (B)
karena p dan q bernilai benar, maka p ∧ q benar.
Contoh Soal 4:
Misalkan p adalah pernyataan yang bernilai salah dan q adalah pernyataan yang bernilai benar, tentukan nilai kebenaran dari tiap pernyataan berikut.
a) ~p
b) ~q
c) p ∧ q
d) ~p ∧ q
e) p ∧ ~q
f) ~p ∧ ~q
Jawab:
Untuk mempermudah menentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di atas, maka kita buat dalam bentuk tabel berikut ini.
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p ∧ q
|
~p ∧ q
|
p ∧ ~q
|
~p ∧ ~q
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
Contoh Soal 5:
Diketahui pernyataan-pernyataan berikut.
p: √5 + √20 = 3√5 dan q: √5 adalah bilangan rasional
Tulislah pernyataan dari setiap rumus simbolis berikut ini.
a) ~p
b) p ∧ ~q
c) ~p ∧ q
d) q ∧ ~p
e) ~q ∧ p
f) ~q ∧ ~p
Jawab:
a) pernyataan dari ~p adalah sebagai berikut.
~p: tidak benar bahwa √5 + √20 = 3√5.
b) pernyataan dari p ∧ ~q adalah sebagai berikut.
√5 + √20 = 3√5 dan √5 bukan bilangan rasional.
c) pernyataan dari ~p ∧ q adalah sebagai berikut.
Tidak benar bahwa √5 + √20 = 3√5 dan √5 adalah bilangan rasional.
d) pernyataan dari q ∧ ~p adalah sebagai berikut.
√5 adalah bilangan rasional dan tidak benar bahwa √5 + √20 = 3√5.
e) pernyataan ~q ∧ p adalah sebagai berikut.
√5 bukan bilangan rasional dan √5 + √20 = 3√5.
