Hubungan Disjungsi 2 Pernyataan & Gabungan 2 Himpunan, Contoh Soal dan Pembahasan
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/03/hubungan-disjungsi-dan-gabungan-himpunan.html
Daftar Materi Matematika
Advertisement
Pengertian Disjungsi
Dua kalimat deklaratif yang dihubungkan dengan kata hubung “atau” dan ditulis “∨” disebut disjungsi. Untuk menentukan tabel kebenaran dari disjungsi, caranya adalah dengan membuat kalimat yang terdiri atas dua kalimat tunggal yang mempunyai nilai kebenaran: benar-benar, benar-salah, salah-benar, dan salah-salah.
Sebagai contoh, perhatikan gambaran berikut ini.
Misalkan Lisa lulus ujian. Begitu dia lulus, dia akan mengajak adiknya jalan-jalan atau memberi uang adiknya Rp5.000,00.
Misalkan:
p: Lisa mengajak adiknya jalan-jalan
q: Lisa memberi uang Rp5.000,00 kepada adiknya
sekarang, kita tentukan negasi dari p dan q yaitu sebagai berikut.
~p: Lisa tidak mengajak adiknya jalan-jalan
~q: Lisa tidak memberi uang Rp5.000,00 kepada adiknya
Dari pernyataan di atas, kita dapat membuat hubungan disjungsi sebagai berikut.
1. Lisa mengajak adiknya jalan-jalan atau memberi uang Rp5.000,00 kepada adiknya → Benar
2. Lisa mengajak adiknya jalan-jalan atau tidak memberi uang Rp5.000,00 kepada adiknya → Benar
3. Lisa tidak mengajak adiknya jalan-jalan atau memberi uang Rp5.000,00 kepada adiknya → Benar
4. Lisa tidak mengajak adiknya jalan-jalan atau tidak memberi uang Rp5.000,00 kepada adiknya → Salah
Dari gambaran di atas, dapat kita susun tabel nilai kebenaran dari disjungsi, yaitu sebagai berikut.
Tabel Nilai Kebenaran Disjungsi
p
|
q
|
p ∨ q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
Contoh Soal 1:
Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi dua pernyataan berikut.
p: Salah satu faktor dari 12 adalah 5. (salah)
q: 14 habis dibagi dengan 2. (benar)
Jawab:
p ∨ q: Salah satu faktor dari 12 adalah 5 atau 14 habis dibagi dengan 2. (benar)
Contoh Soal 2:
Carilah nilai-nilai x agar setiap kalimat berikut menjadi disjungsi yang benar.
a) x – 3 = 5 – 3x atau 99 adalah bilangan prima.
b) x2 – 16 = 0 atau 3 + 3 < 3 + 1.
Jawab:
a) Terdapat satu kalimat terbuka dan satu pernyataan yang bernilai salah, yaitu:
kalimat terbuka:
p(x): x – 3 = 5 – 3x
pernyataan:
q: 99 adalah bilangan prima (salah)
agar p ∨ q bernilai benar, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi sebuah pernyataan yang benar. Dengan demikian nilai x yang memenuhi agar p(x) menjadi pernyataan yang bernilai benar adalah sebagai berikut.
⇒ x – 3 = 5 – 3x
⇒ x + 3x = 5 + 3
⇒ 4x = 8
⇒ x = 2
Jadi, kalimat “x – 3 = 5 – 3x atau 99 adalah bilangan prima” menjadi disjungsi yang benar untuk nilai x = 2.
b) Terdapat satu kalimat terbuka dan satu pernyataan yang bernilai salah, yaitu:
kalimat terbuka:
p(x): x2 – 16 = 0
pernyataan:
q: 3 + 3 < 3 + 1 (salah)
agar p ∨ q bernilai benar, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi sebuah pernyataan yang benar. Dengan demikian nilai x yang memenuhi agar p(x) menjadi pernyataan yang bernilai benar adalah sebagai berikut.
⇒ x2 – 16 = 0
⇒ (x – 4)(x + 4) = 0
⇒ x = 4 atau x = -4
Jadi, kalimat “x2 – 16 = 0 atau 3 + 3 < 3 + 1” menjadi disjungsi yang benar untuk nilai x = 4 atau x = -4.
Hubungan antara Disjungsi Dua Pernyataan dengan Gabungan Dua Himpunan
Jika P dan Q masing-masing merupakan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) dan q(x) pada himpunan semesta S, maka P ∪ Q adalah himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) ∨ q(x) pada himpunan semesta S yang sama.
|
Dalam bentuk lambang himpunan dapat ditulis sebagai berikut.
P = {x | p(x)}, p benar jika x ∈ P
Q = {x | q(x)}, q benar jika x ∈ Q
P ∪ Q = {x | p(x) ∨ q(x)}, p ∨ q benar jika x ∈ (P ∪ Q)
|
Hubungan tersebut dapat digambarkan dengan diagram Venn seperti ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
P ∪ Q = {x | p(x) ∨ q(x)}
Contoh Soal 3:
Diketahui p(x): 2x2 – 7x + 3 = 0 dan q(x): x2 – 2x – 3 = 0, dengan x adalah peubah pada himpunan bilangan real R. Jika p dan q adalah pernyataan yang terbentuk dari p(x) dan q(x) dengan mengganti nilai x ∈ R, carilah nilai x sehingga (p ∨ q) bernilai benar.
Jawab:
Himpunan penyelesaian p(x): 2x2 – 7x + 3 = 0 adalah P = {1/2, 3}
Himpunan penyelesaian q(x): x2 – 2x – 3 = 0 adalah Q = {-1, 3}
P ∪ Q = {-1, 1/2, 3}
(p ∨ q) bernilai benar, jika x ∈ (P ∪ Q), berarti x = -1, x = 1/2, x = 3.
