Disjungsi: Pengertian, Jenis, Tabel Kebenaran, Contoh Soal dan Pembahasan

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Disjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung atau. Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q ditulis dengan lambang sebagai berikut.

p ∨ q

(dibaca: p atau q)

Ada dua macam jenis disjungsi, yaitu disjungsi eksklusif dan disjungsi inklusif. Untuk membedakan kedua jenis disjungsi itu, simaklah contoh pernyataan disjungsi berikut ini.

(i) Akar dari bilangan rasional positif adalah rasional atau irasional.

(ii) Sebuah bilangan asli adalah bilangan cacah atau bilangan bulat.

Disjungsi (i), yang dimaksudkan adalah salah satu saja, rasional atau irasional, tetapi tidak keduanya sekaligus. Sebab, jika akar dari bilangan rasional positif adalah rasional, pasti bukan irasional. Dan jika akar dari bilangan rasional positif adalah irasional, pasti bukan rasional.

Dalam hal demikian, kata hubung “atau” dikatakan bersifat memisah atau menyisih atau eksklusif. Oleh karena itu, disjungsi yang berciri seperti itu dinamakan disjungsi eksklusif  dan ditulis dengan lambang p ∨ q (dibaca: p atau q, tetapi tidak p dan q).

Disjungsi (ii), yang dimaksudkan dapat dua-duanya, bilangan cacah atau bilangan bulat, atau bilangan cacah dan bilangan bulat. Dalam hal demikian, kata hubung “atau” dikatakan bersifat mencakup atau inklusif.Oleh karena itu, disjungsi yang berciri seperti itu dinamakan disjungsi inklusif dan ditulis dengan lambang p ∨ q (dibaca: p atau q, atau p dan q).

Untuk selanjutnya, disjungsi yang akan dibahas dalam artikel ini adalah disjungsi inklusif. Nilai kebenaran disjungsi p ∨ q dapat ditentukan melalui definisi berikut.

p ∨ q benar, jika salah satu di antara p dan q benar atau p dan q dua-duanya benar. p ∨ q salah, jika p dan q dua-duanya salah.

Berdasarkan definisi di atas, tabel kebenaran disjungsi p ∨ q dapat ditunjukkan seperti pada tabel di bawah ini.

Tabel Nilai Kebenaran Disjungsi p ∨ q

	p	q	p ∨ q
(1)	B	B	B
(2)	B	S	B
(3)	S	B	B
(4)	S	S	S
	(1)	(2)	(3)

Catatan: Pada baris (1) dibaca: jika p benar atau q benar, maka p ∨ q benar. Pada baris (2) dibaca: jika p benar atau q salah, maka p ∨ q benar. Pada baris (3) dibaca: jika p salah atau q benar, maka p ∨ q benar. Pada baris (4) dibaca: jika p salah atau q salah, maka p ∨ q salah.

Sekarang, agar kalian lebih paham mengenai konsep disjungsi dalam logika matematika, silahkan kalian simak beberapa contoh soal dan pembahasannya berikut ini.

1. Tentukan nilai kebenaran dari setiap disjungsi berikut ini.

a) 3 × 5 = 15 atau 15 adalah bilangan ganjil.

b) 3 × 5 = 15 atau 15 adalah bilangan genap.

c) 3 × 5 = 8 atau 8 adalah bilangan genap.

d) 3 × 5 = 8 atau 8 adalah bilangan ganjil.

Jawab:

a) Misalkan p: 3 × 5 = 15  dan q: 15 adalah bilangan ganjil maka:

● p: 3 × 5 = 15 bernilai benar (B)

● q: 15 adalah bilangan ganjil bernilai benar (B)

karena p dan q bernilai benar, maka p ∨ q benar.

b) Misalkan p: 3 × 5 = 15  dan q: 15 adalah bilangan genap maka:

● p: 3 × 5 = 15 bernilai benar (B)

● q: 15 adalah bilangan genap bernilai salah (S)

karena p bernilai benar dan q bernilai salah, maka p ∨ q benar.

c) Misalkan p: 3 × 5 = 8  dan q: 8 adalah bilangan genap maka:

● p: 3 × 5 = 8 bernilai salah (S)

● q: 8 adalah bilangan genap bernilai benar (B)

karena p bernilai salah dan q bernilai benar, maka p ∨ q benar.

d) Misalkan p: 3 × 5 = 8  dan q: 8 adalah bilangan ganjil maka:

● p: 3 × 5 = 8 bernilai salah (S)

● q: 8 adalah bilangan ganjik bernilai salah (S)

karena p dan q bernilai salah, maka p ∨ q salah.

2. Carilah nilai-nilai x agar kalimat berikut menjadi disjungsi yang benar.

5 – 2x = x – 1 atau 9 adalah bilangan prima.

Jawab:

“5 – 2x = x – 1 atau 9 adalah bilangan prima” terdiri atas kalimat terbuka p(x): 5 – 2x = x – 1 dan pernyataan q: 9 adalah bilangan prima. Agar kalimat itu menjadi disjungsi yang benar, maka kalimat terbuka p(x): 5 – 2x = x – 1 harus bernilai benar sebab pernyataan q sudah jelas bernilai salah (perhatikan tabel nilai kebenaran disjungsi di atas). Nilai x yang menjadikan kalimat terbuka p(x): 5 – 2x = x – 1 menjadi pernyataan yang benar adalah penyelesaian dari kalimat terbuka itu, yaitu:

⇒ 5 – 2x = x – 1

⇒ x + 2x = 5 + 1

⇒ 3x = 6

⇒ x = 2

Jadi, kalimat “5 – 2x = x – 1 atau 9 adalah bilangan prima” menjadi disjungsi yang benar untuk nilai x = 2.

3. Tentukan nilai kebenaran dari tiap disjungsi berikut ini.

a) 3 adalah bilangan prima atau 3 adalah bilangan ganjil.

b) 3 + 4 ≤ 12 atau 3 + 4 adalah sebuah bilangan genap.

c) x2 ≥ 0 atau x2 + 1 > 0.

d) |x| ≥ 0 atau √x2 = |x|

Jawab:

a) Misalkan p: 3 adalah bilangan prima dan q: 3 adalah bilangan ganjil, maka:

● p: 3 adalah bilangan prima bernilai benar (B).

● q: 3 adalah bilangan ganjil bernilai benar (B).

karena p dan q bernilai benar, maka p ∨ q benar.

b) Misalkan p: 3 + 4 ≤ 12 dan q: 3 + 4 adalah sebuah bilangan genap, maka:

● p: 3 + 4 ≤ 12 bernilai benar (B).

● q: 3 + 4 adalah sebuah bilangan genap bernilai salah (S).

karena p bernilai benar dan q bernilai salah, maka p ∨ q benar.

c) Misalkan p: x2 ≥ 0 dan q: x2 + 1 > 0, maka:

● p: x2 ≥ 0 bernilai benar (B).

● q: x2 + 1 > 0 bernilai benar (B).

Karena p dan q bernilai benar, maka p ∨ q benar.

d) Misalkan p: |x| ≥ 0 dan q: √x2 = |x|, maka:

● p: |x| ≥ 0 bernilai benar (B).

● q: √x2 = |x| bernilai salah (S), mengapa? Perhatikan penjelasan berikut.

⇒ √x2 = |x|

⇒ x ≠ |x|

karena p bernilai benar dan s bernilai salah, maka p ∨ q benar.

4. Misalkan p adalah pernyataan yang benar dan q adalah pernyataan yang salah. Tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan berikut.

a) ~p

b) ~q

c) p ∨ q

d) p ∨ ~q

e) ~p ∨ q

f) ~p ∨ ~q

Jawab:

Untuk mempermudah menentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di atas, maka kita buat dalam bentuk tabel berikut ini.

p	q	~p	~q	p ∨ q	p ∨ ~q	~p ∨ q	~p ∨ ~q
B	S	S	B	B	B	S	B

5. Diketahui pernyataan-pernyataan:

p: 3 adalah bilangan prima dan

q: 3 adalah bilangan ganjil

Carilah rumus-rumus simbolis untuk setiap disjungsi berikut.

a) 3 bukan bilangan prima atau 3 adalah bilangan ganjil.

b) 3 adalah bilangan prima atau 3 bukan bilangan ganjil.

c) 3 bukan bilangan prima atau 3 bukan bilangan ganjil.

d) 3 adalah bilangan prima atau 3 adalah bilangan prima.

e) 3 bukan bilangan ganjil atau 3 adalah bilangan prima.

f) 3 bukan bilangan ganjil atau 3 bukan bilangan prima.

Jawab:

Terdapat dua pernyataan yaitu:

p: 3 adalah bilangan prima dan

q: 3 adalah bilangan ganjil

Ingkaran atau negasi dua pernyataan tersebut adalah:

~p: 3 bukan bilangan prima dan

~q: 3 bukan bilangan ganjil

Maka rumus simbolis dari disjungsi berikut ini adalah:

a) 3 bukan bilangan prima atau 3 adalah bilangan ganjil.

~p ∨ q

b) 3 adalah bilangan prima atau 3 bukan bilangan ganjil.

p ∨ ~q

c) 3 bukan bilangan prima atau 3 bukan bilangan ganjil.

~p ∨ ~q

d) 3 adalah bilangan prima atau 3 adalah bilangan prima.

p ∨ p

e) 3 bukan bilangan ganjil atau 3 adalah bilangan prima.

~q ∨ p

f) 3 bukan bilangan ganjil atau 3 bukan bilangan prima.

~q ∨ ~p