Hubungan Ingkaran & Komplemen Himpunan, Contoh Soal dan Pembahasan

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Dalam pelajaran Bahasa Indonesia, tentu kalian telah memahami definisi dari pernyataan. Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tetapi tidak dapat sekaligus benar dan salah. Misalkan terdapat dua contoh kalimat berikut ini.

a) Nasi soto enak.

b) Bilangan genap habis dibagi 2.

Dari dua contoh kalimat tersebut, menurut kalian manakah yang termasuk pernyataan? Tentu kalimat yang merupakan pernyataan adalah kalimat “Bilangan genap habis dibagi 2”. Hal ini dikarenakan kalimat ini hanya memiliki satu nilai kebenaran, yaitu benar (B). Sedangkan kalimat “Nasi soto enak” ini bisa saja benar atau bisa saja salah, tergantung selera orang. Jadi kalimat “Nasi soto enak” bukan merupakan pernyataan.

Sekarang coba kalian perhatikan kalimat “Bilangan genap habis dibagi 2”.  Apabila kita ubah kalimat tersebut menjadi “Bilangan genap tidak habis dibagi 2” maka nilai kebenarannya adalah salah (S). Dalam logika matematika, kalimat terakhir ini disebut dengan ingkaran atau negasi dari pernyataan semula.

Jadi, negasi suatu pernyataan adalah pernyataan yang bernilai benar (B), jika pernyataan semula bernilai salah (S) dan pernyataan yang bernilai salah (S), jika pernyataan semula bernilai benar (B). Misalkan p adalah pernyataan yang diketahui, maka ingkaran atau negasi dari p dapat ditulis dengan memakai lambang:

~p

dibaca: tidak benar p atau bukan p.

Maksud dari ingkaran suatu pernyataan adalah menyangkal nilai kebenaran kalimat semula dengan menambahkan kata “tidak”, “bukan”, atau “tidak benar bahwa” pada kalimat semula.

Contoh:

■ Sabtu adalah hari setelah setelah Jumat (benar)

Negasinya: Tidak benar bahwa sabtu adalah hari setelah Jumat (salah)

■ Bandung terlatak di Sulawesi (salah)

Negasinya: Bandung tidak terletak di Sulawesi (benar)

Hubungan Antara Ingkaran Pernyataan dengan Komplemen Himpunan

Jika P merupakan penyelesaian kalimat terbuka p(x) dalam semseta S, p merupakan pernyataan yang terbentuk dengan mengganti x ∈ S, maka himpunan komplemen dari P (ditulis P’) merupakan penyelesaian terbuka ~p(x) dalam semesta S yang sama.

Ketentuan tersebut dapat dituliskan dengan memakai lambang himpunan sebagai berikut.

P = {x | p(x)}, p benar jika x ∈ P

P’ = {x | ~p(x)}, ~p benar jika x ∈ P’

Perhatikan diagram Venn pada gambar berikut ini.

Contoh Soal:

Diketahui kalimat terbuka p(x): x2 – 6x + 15 < 10. Peubah x pada kalimat terbuka p(x) berada dalam semesta pembicaraan S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Pernyataan p terbentuk dari p(x) dengan cara mengganti x ∈ S dan pernyataan ~p terbentuk dari ~p(x) dengan cara mengganti x ∈ S.

a) Carilah nilai-nilai x ∈ S sehingga p bernilai benar.

b) Carilah nilai-nilai x ∈ S sehingga ~p bernilai benar.

c) Jika P adalah himpunan penyelesaian kalimat terbuka p(x) dan P’ adalah himpunan penyelesaian kalimat terbuka ~p(x) dalam semesta pembicaraan S, gambarlah P, P’, dan S dalam sebuah diagram Venn.

d) Dari jawaban soal c), jelaskan hubungan P dengan P’.

Penyelesaian:

a) Menentukan nilai-nilai x agar p bernilai benar

p terbentuk dari p(x): x2 – 6x + 15 < 10

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, subtitusikan masing-masing anggota S ke dalam p(x) yaitu sebagai berikut.

● p(0): (0)2 – 6(0) + 15 < 10

p(0): 15 < 10 (salah)

● p(1): (1)2 – 6(1) + 15 < 10

p(1): 10 < 10 (salah)

● p(2): (2)2 – 6(2) + 15 < 10

p(1): 7 < 10 (benar)

● p(3): (3)2 – 6(3) + 15 < 10

p(3): 6 < 10 (benar)

● p(4): (4)2 – 6(4) + 15 < 10

p(4): 7 < 10 (benar)

● p(5): (5)2 – 6(5) + 15 < 10

p(5): 10 < 10 (salah)

● p(6): (6)2 – 6(6) + 15 < 10

p(6): 15 < 10 (salah)

Jadi p bernilai benar apabila x = {2, 3, 4}.

b) Menentukan nilai-nilai x agar ~p bernilai benar

~p akan bernilai benar apabila p bernilai salah. Jadi agar ~p bernilai benar maka x = {0, 1, 5, 6}.

c) Gambar diagram Venn untuk himpunan P, P’ dan S adalah sebagai berikut.

d) Hubungan antara P dan P’ adalah sebagai berikut:

Himpunan P yang merupakan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) dan himpunan P’ yang merupakan penyelesaian dari kalimat terbuka ~p(x) berada dalam semesta yang sama yaitu S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.