Implikasi: Pengertian, Tabel Kebenaran, Contoh Soal dan Pembahasan

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Implikasi atau pernyataan bersyarat/kondisional adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan p dan q dalam bentuk jika p maka q. Bagian “jika p” dinamakan alasan atau sebab dan bagian “maka q” dinamakan kesimpulan. Implikasi “jika p maka q” dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut.

p ⇒ q

(dibaca: jika p maka q)

Dalam berbagai penerapan, implikasi p ⇒ q dapat dibaca:

(i) p hanya jika q

(ii) q jika p

(iii) p syarat cukup bagi q

(iv) q syarat perlu bagi p

Nilai kebenaran implikasi p ⇒ q dapat ditentukan dengan menggunakan definisi berikut.

p ⇒ q dinyatakan salah, jika p benar dan q salah. Dalam kemungkinan yang lainnya p ⇒ q dinyatakan benar.

Berdasarkan definisi tersebut, tabel kebenaran implikasi p ⇒ q dapat ditunjukkan seperti pada tabel berikut ini.

Tabel Nilai Kebenaran Implikasi p ⇒ q

p	q	p ⇒ q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Sekarang, agar kalian lebih paham mengenai konsep implikasi dalam logika matematika, silahkan kalian simak beberapa contoh soal dan pembahasannya berikut ini.

Contoh Soal 1:

Tentukan nilai kebenaran setiap implikasi berikut ini.

a) Jika 3 + 2 = 5, maka 5 adalah bilangan prima.

b) Jika 9 adalah bilangan genap, maka Surabaya adalah ibukota Jawa Timur.

c) Jika Semarang ibukota Jawa Tengah, maka Medan ibukota Sumatra Barat.

d) Jika log 3 + log 5 = log 8, maka 103 + 105 = 108.

Jawab:

a) Misalkan p: 3 + 2 = 5 dan q: 5 adalah bilangan prima, maka:

● p: 3 + 2 = 5 bernilai benar (B)

● q: 5 adalah bilangan prima bernilai benar (B)

Karena p dan q bernilai benar, maka p ⇒ q benar.

b) Misalkan p: 9 adalah bilangan genap dan q: Surabaya adalah ibukota Jawa Timur, maka:

● p: 9 adalah bilangan genap bernilai salah (S)

● q: Surabaya adalah ibukota Jawa Timur bernilai benar (B)

Karena p bernilai salah sementara q bernilai benar, maka p ⇒ q benar.

c) Misalkan p: Semarang ibukota Jawa Tengah dan q: Medan ibukota Sumatra Barat, maka:

● p: Semarang ibukota Jawa Tengah bernilai benar (B)

● q: Medan ibukota Sumatra Barat bernilai salah (S)

Karena p bernilai benar sedangkan q bernilai salah, maka p ⇒ q salah.

d) Misalkan p: log 3 + log 5 = log 8 dan q: 103 + 105 = 108, maka:

p: log 3 + log 5 = log 8 bernilai salah (S)

q: 103 + 105 = 108 bernilai salah (S)

Karena p dan q bernilai salah, maka p ⇒ q benar.

Sekarang mari kita uraikan kembali penyelesaian dari contoh soal di atas.

Implikasi p ⇒ q dibaca jika p maka q dengan tiap bagian mengandung pengertian sebagai berikut.

■ Jika p: menyatakan alasan

■ Maka q: menyatakan kesimpulan

Dari penyelesaian contoh soal 1, kita peroleh data sebagai berikut.

a) alasan benar, kesimpulan benar, maka implikasi bernilai benar.

b) alasan salah, kesimpulan benar, maka implikasi bernilai benar.

c) alasan benar, kesimpulan salah, maka implikasi bernilai salah.

d) alasan salah, kesimpulan salah, maka implikasi bernilai benar.

Dari contoh-contoh tersebut, maka tabel nilai kebenaran implikasi dapat juga kita nyatakan dalam bentuk berikut ini.

Tabel Nilai Kebenaran Implikasi p ⇒ q

p (alasan)	q (kesimpulan)	p ⇒ q (implikasi)
Benar	Benar	Benar
Benar	Salah	Salah
Salah	Benar	Benar
Salah	Salah	Benar

Seperti halnya dalam disjungsi dan konjungsi, dalam implikasi juga dijumpai kalimat yang berbentuk “p(x) ⇒ q” atau “p ⇒ q(x)”, dengan p(x) dan q(x) merupakan kalimat-kalimat terbuka, p dan q merupakan pernyataan-pernyataan.

Kalimat-kalimat “p(x) ⇒ q” atau “p ⇒ q(x)”, dapat diubah menjadi implikasi yang benar/salah dengan cara menentukan nilai-nilai x pada kalimat terbuka p(x) atau q(x). Untuk lebih jelasnya, simaklah contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 2:

Carilah nilai x agar kalimat berikut menjadi implikasi yang benar.

Jika x – 3 = 4 maka 4 adalah bilangan prima.

Jawab:

Kalimat “Jika x – 3 = 4 maka 4 adalah bilangan prima” dapat dituliskan dalam bentuk “p(x) ⇒ q” dengan p(x): x – 3 = 4 merupakan suatu kalimat terbuka dan q: 4 adalah bilangan prima merupakan suatu pernyataan.

Agar kalimat “Jika x – 3 = 4 maka 4 adalah bilangan prima” menjadi implikasi yang bernilai benar, maka kalimat terbuka p(x): x – 3 = 4 harus diubah menjadi pernyataan yang salah, sebab pernyataan q sudah jelas bernilai salah (perhatikan tabel nilai kebenaran implikasi).

Nilai x yang menyebabkan kalimat terbuka p(x): x – 3 = 4 menjadi pernyataan yang salah ditentukan sebagai berikut.

x – 3 = 4

x = 4 + 3

x = 7

Apabila nilai x = 7 maka kalimat terbuka p(x): x – 3 = 4 bernilai benar. Karena kita membutuhkan kalimat terbuka p(x): x – 3 = 4 bernilai salah, maka nilai x yang memenuhi adalah x ≠ 7.

Jadi, kalimat “Jika x – 3 = 4 maka 4 adalah bilangan prima” menjadi implikasi yang bernilai benar untuk x ≠ 7.

Contoh Soal 3:

Tentukan nilai kebenaran setiap implikasi berikut.

a) Jika 22 × 23 = 25 maka 2log 32 = 5.

b) Jika 3 faktor dari 6 maka 6 habis dibagi 2.

c) Jika log 10 = 1 maka log 20 = 2

d) Jika 5 adalah bilangan genap maka 5 + 1 adalah bilangan ganjil.

e) Jika x2 < 0 maka x2 + 1 > 0.

Jawab:

a) Misalkan p: 22 × 23 = 25 dan q: 2log 32 = 5, maka:

● p: 22 × 23 = 25 bernilai benar (B)

● q: 2log 32 = 5 bernilai benar (B)

Karena p dan q bernilai benar, maka p ⇒ q benar.

b) Misalkan p: 3 faktor dari 6 dan q: 6 habis dibagi 2, maka:

● p: 3 faktor dari 6 bernilai benar (B)

● q: 6 habis dibagi 2 bernilai benar (B)

Karena p dan q bernilai benar, maka p ⇒ q benar.

c) Misalkan p: log 10 = 1 dan q: log 20 = 2, maka

● p: log 10 = 1 bernilai benar (B)

● q: log 20 = 2 bernilai salah (S)

Karena p bernilai benar sementara q bernilai salah, maka p ⇒ q salah.

d) Misalkan p: 5 adalah bilangan genap dan q: 5 + 1 adalah bilangan ganjil, maka:

● p: 5 adalah bilangan genap bernilai salah (S)

● q: 5 + 1 adalah bilangan ganjil bernilai salah (S)

Karena p dan q bernilai salah, maka p ⇒ q benar.

e) Misalkan p: x2 < 0 dan q: x2 + 1 > 0, maka:

● p: x2 < 0 bernilai salah (S)

● q: x2 + 1 > 0 bernilai benar (B)

Karena p bernilai salah sementara q bernilai benar, maka p ⇒ q benar.

Contoh Soal 4:

Misalkan p adalah pernyataan yang bernilai benar dan q adalah pernyataan yang bernilai salah, tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan berikut ini.

a) p ⇒ q

b) p ⇒ ~q

c) ~p ⇒ q

d) ~p ⇒ ~q

e) ~(p ⇒ ~q)

f) ~(~p ⇒ q)

Jawab:

Untuk mempermudah menentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di atas, maka kita buat dalam bentuk tabel berikut ini.

p	q	~p	~q	p ⇒ q	p ⇒ ~q	~p ⇒ q	~p ⇒ ~q	~(p ⇒ ~q)	~(~p ⇒ q)
B	S	S	B	S	B	B	B	S	S

Contoh Soal 5:

Carilah nilai-nilai x agar setiap kalimat berikut ini menjadi implikasi yang bernilai benar.

a) Jika 1 – 3x = 4 maka 2 adalah bilangan komposit.

b) Jika x2 ≠ 4 maka √4 = ±2.

Jawab:

a) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): 1 – 3x = 4 dan sebuah pernyataan q: 2 adalah bilangan komposit. Nilai kebenaran pernyataan q adalah sebagai berikut.

q: 2 adalah bilangan komposit bernilai salah. Hal ini dikarenakan 2 bukan termasuk bilangan komposit. Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih dari 1 yang bukan bilangan prima. Contoh bilangan komposit adalah 4, 6, 8, 9, dan seterusnya.

Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang benar, maka kalimat terbuka p(x) harus bernilai salah. Sehingga nilai x yang memenuhi adalah sebagai berikut.

1 – 3x = 4

-3x = 4 – 1

-3x = 3

x = 3/(-3)

x = -1

karena p(x) harus bernilai salah, maka x harus bernilai selain bilangan -1. Jadi, agar kalimat “Jika 1 – 3x = 4 maka 2 adalah bilangan komposit” menjadi implikasi yang benar, maka nilai x ≠ -1.

b) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): x2 ≠ 4 dan sebuah pernyataan q: √4 = ±2. Nilai kebenaran pernyataan q adalah benar (B). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang benar maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar atau salah. Sehingga nilai x yang memenuhi adalah sebagai berikut.

x2 ≠ 4

x ≠ √4

x ≠ ±2

■ Agar p(x): x2 ≠ 4 bernilai benar, maka nilai x ≠ ±2.

■ Agar p(x): x2 ≠ 4 bernilai salah, maka nilai x = ±2.

Apabila x ≠ ±2 dan x = ±2 digabungkan maka himpunan penyelesaiannya akan menjadi x ∈ R.

Jadi, agar kalimat “Jika x2 ≠ 4 maka √4 = ±2” menjadi implikasi yang benar, maka nilai x yang memenuhi adalah x ∈ R.

Contoh Soal 6:

Carilah nilai-nilai x agar setiap kalimat berikut menjadi implikasi yang salah.

a) Jika 5 – 2x = 1, maka √9 adalah bilangan irasional.

b) Jika 4x – 5 = 2x + 1, maka log 5 + log 6 = log 11.

Jawab:

a) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): 5 – 2x = 1 dan sebuah pernyataan q: √9 adalah bilangan irasional. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan sebagai berikut.

√9 = ±3 (bilangan rasional)

Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang salah, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar. Sehingga nilai x yang memenuhi adalah sebagai berikut.

5 – 2x = 1

2x = 5 – 1

2x = 4

x = 4/2

x = 2

Jadi, agar kalimat “Jika 5 – 2x = 1, maka √9 adalah bilangan irasional” menjadi implikasi yang salah, maka nilai x yang memenuhi adalah x = 2.

b) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): 4x – 5 = 2x + 1 dan sebuah pernyataan q: log 5 + log 6 = log 11. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan sebagai berikut.

log 5 + log 6 = log (5 × 6)

log 5 + log 6 = log 30

Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang salah, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar. Sehingga nilai x yang memenuhi adalah sebagai berikut.

4x – 5 = 2x + 1

4x – 2x = 1 + 5

2x = 6

x = 6/2

x = 3

Jadi, agar kalimat “Jika 4x – 5 = 2x + 1, maka log 5 + log 6 = log 11” menjadi implikasi yang salah, maka nilai x yang memenuhi adalah x = 3.