Hubungan Implikasi dan Himpunan Bagian, Contoh Soal dan Pembahasan
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/03/hubungan-implikasi-dan-himpunan-bagian.html
Daftar Materi Matematika
Advertisement
Implikasi merupakan kalimat majemuk dengan tanda hubung “jika … maka …” dan ditulis “⇒”. Untuk menentukan nilai tabel kebenarannya, perhatikan gambaran berikut. Misalkan jika Lia lulus ujian maka ia akan memberikan uang kepada adiknya.
Misalnya:
p: Lia lulus ujian.
q: Lia memberikan uang kepada adiknya.
sekarang kita tentukan negasi dari p dan q sebagai berikut.
~p: Lia tidak lulus ujian.
~q: Lia tidak memberikan uang kepada adiknya.
Dari pernyataan di atas, kita dapat membuat hubungan implikasi sebagai berikut.
1. Jika Lia lulus ujian maka ia akan memberikan uang kepada adiknya.
(kalimat ini bernilai benar karena Lia menepati janji)
2. Jika Lia lulus ujian maka ia tidak memberikan uang kepada adiknya.
(kalimat ini salah karena Lia tidak menepati janji)
3. Jika Lia tidak lulus ujian maka ia memberikan uang kepada adiknya.
(kalimat ini bernilai benar karena meskipun janjinya gugur dia tetap memberikan uang kepada adiknya)
4. Jika Lia tidak lulus ujian maka ia tidak memberikan uang kepada adiknya.
(kalimat ini bernilai benar karena Lia bebas dari janjinya)
Dari gambaran di atas, kita dapat menyusun nilai tabel kebenaran implikasi sebagai berikut.
Tabel Nilai Kebenaran Implikasi
p
|
q
|
p ⇒ q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
Contoh Soal 1:
Tentukan nilai kebenaran dari implikasi dua pernyataan berikut.
p: Pak Rudi adalah manusia. (benar)
q: Pak Rudi kelak akan mati. (benar)
Jawab:
p ⇒ q: Jika Pak Rudi adalah manusia, maka kelak akan mati. (benar)
Contoh Soal 2:
Tentukan nilai kebenaran dari implikasi dua pernyataan berikut.
p: 2 + 5 = 7 (benar)
q: 7 bukan bilangan prima (salah)
Jawab:
p ⇒ q: Jika 2 + 5 = 7, maka 7 bukan bilangan prima (salah).
Contoh Soal 3:
Carilah nilai-nilai x agar setiap kalimat berikut ini menjadi implikasi yang bernilai benar.
a) Jika x < 2 maka 2log 4 = 1/2
b) Jika 31/2 = √3 maka 1 – 2x = x – 8
Penyelesaian:
a) terdapat sebuah kalimat terbuka yaitu p(x): x < 2 dan pernyataan q: 2log 4 = 1/2. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan sebagai berikut.
2log 4 = 2log 22 = 2
Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang benar maka kalimat terbuka p(x) harus bernilai salah. Nilai x yang memenuhi adalah sebagai berikut.
x < 2, maka x harus lebih besar dari atau sama dengan 2 untuk x ∈ R.
Jadi, agar kalimat “Jika x < 2 maka 2log 4 = 1/2” menjadi implikasi yang benar, maka nilai x ≥ 2, untuk x ∈ R.
b) Terdapat sebuah pernyataan p: 31/2 = √3 dan kalimat terbuka q(x): 1 – 2x = x – 8. Nilai kebenaran pernyataan p kita tentukan sebagai berikut.
31/2 = 2√31 atau hanya ditulis sebagai √3
Dengan demikian, pernyataan p bernilai benar (B). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang benar maka kalimat terbuka q(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar, sehingga nilai x yang memnuhi adalah sebagai berikut.
1 – 2x = x – 8
x + 2x = 1 + 8
3x = 9
x = 9/3
x = 3
Jadi, agar kalimat “Jika 31/2 = √3 maka 1 – 2x = x – 8” menjadi implikasi yang benar, maka nilai x yang memenuhi adalah 3.
Contoh Soal 4:
Carilah nilai-nilai x agar setiap kalimat berikut ini menjadi implikasi yang bernilai salah.
a) Jika x2 – 1 = 0 maka sin2 45o = 1.
b) Jika √2 + √8 = 3√2 maka x – 2 ≠ 1.
Penyelesaian:
a) Terdapat sebuah kalimat terbuka p(x): x2 – 1 = 0 dan pernyataan q: sin2 45o = 1. Nilai kebenaran pernyataan q kita tentukan sebagai berikut.
sin2 45o = (sin 45)2
sin2 45o = (1/2√2)2
sin2 45o = 1/4(2)
sin2 45o = 2/4
sin2 45o = 1/2
Dengan demikian, pernyataan q bernilai salah (S). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang bernilai salah, maka kalimat terbuka p(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai benar, sehingga nilai x yang memenuhi adalah sebagai berikut.
x2 – 1 = 0
(x – 1)(x + 1) = 0
x = 1 atau x = -1
Jadi, agar kalimat “Jika x2 – 1 = 0 maka sin2 45o = 1” menjadi implikasi yang salah, maka nilai x adalah 1 atau -1.
b) Terdapat sebuah pernyataan p: √2 + √8 = 3√2 dan kalimat terbuka q(x): x – 2 ≠ 1. Nilai kebenaran pernyataan p adalah sebagai berikut.
√2 + √8 = √2 + √(4 × 2)
√2 + √8 = √2 + √4 × √2
√2 + √8 = √2 + 2 × √2
√2 + √8 = √2 + 2√2
√2 + √8 = 3√2
Dengan demikian, pernyataan p bernilai benar (B). Agar p ⇒ q menjadi implikasi yang bernilai salah, maka kalimat terbuka q(x) harus menjadi pernyataan yang bernilai salah, sehingga nilai x yang memenuhi adalah sebagai berikut.
x – 2 = 1
x = 1 + 2
x = 3
jika nilai x = 3, maka kalimat terbuka x – 2 ≠ 1 akan menjadi pernyataan yang bernilai salah (S).
Jadi, agar kalimat “Jika √2 + √8 = 3√2 maka x – 2 ≠ 1” menjadi implikasi yang bernilai salah, maka nilai x adalah 3.
Hubungan antara Implikasi dengan Himpunan Bagian
Jika P dan Q masing-masing merupakan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka p(x) dan q(x) pada himpunan semesta S, maka p ⇒ q benar jika P ⊂ Q.
|
Atau dalam bentuk lambang himpunan dapat dituliskan sebagai berikut.
P = {x | p(x)}, p benar jika x ∈ P
Q = {x | q(x)}, Q benar jika x ∈ Q
Implikasi p ⇒ q benar, jika P ⊂ Q
Hubungan tersebut dapat digambarkan dengan diagram Venn seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut ini.
Contoh Soal 5:
Dalam semesta pembicaraan S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, tentukan nilai kebenaran setiap implikasi berikut ini.
a) Jika 1 ≤ x ≤ 2 maka x2 – 5x + 4 ≤ 0
b) Jika x2 – 5x + 4 ≤ 0 maka 1 ≤ x ≤ 2
Jawab:
Misalkan:
P adalah himpunan penyelesaian kalimat terbuka p(x): 1 ≤ x ≤ 2 dalam semesta pembicaraan S, maka P = {1, 2}.
Q adalah himpunan penyelesaian kalimat terbuka q(x): x2 – 5x + 4 ≤ 0 dalam semesta pembicaraan S, maka Q = {1, 2, 3, 4}.
Hubungan antara P dan Q diperlihatkan dengan diagram Venn pada gambar di bawah ini.
Dari gambar di atas, tampak bahwa P ⊂ Q tetapi Q ⊂ P. Dengan demikian:
a) p(x) ⇒ q(x) bernilai benar, atau jika 1 ≤ x ≤ 2 maka x2 – 5x + 4 ≤ 0, merupakan implikasi yang benar.
b) q(x) ⇒ p(x) bernilai salah, atau jika x2 – 5x + 4 ≤ 0 maka 1 ≤ x ≤ 2, merupakan implikasi yang salah.
