10 Soal Cerita Pertidaksamaan Linear/Kuadrat Satu Variabel dan Pembahasannya
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/02/soal-cerita-pertidaksamaa-satu-variabel.html
Daftar Materi Matematika
Advertisement
Dalam beberapa perhitungan matematika dan dalam kehidupan sehari-hari, suatu masalah kadang-kadang dapat diterjemahkan dalam model matematika yang berbentuk pertidaksamaan satu variabel. Pertidaksamaan satu variabel yang diperoleh dapat berbentuk:
■ Pertidaksamaan linear
■ Pertidaksamaan kuadrat
■ Pertidaksamaan irasional
■ Pertidaksamaan nilai mutlak
Nah, pada kesempatan kali ini kita hanya akan membahas rancangan model matematika yang berbentuk pertidaksamaan linear + kuadrat satu variabel. Untuk itu silahkan kalian simak baik-baik penjelasan berikut ini. Selamat belajar dan semoga bisa paham.
Merancang Model Matematika yang Berbentuk Pertidaksamaan Linear
Jika dalam suatu masalah memuat kata-kata seperti: “kurang dari”, “tidak lebih dari”, “lebih dari”, atau “tidak kurang dari”, maka merupakan indikasi bahwa masalah tersebut berkaitan dengan model matematika yang berbentuk pertidaksamaan satu variabel. Setelah diketahui bahwa masalahnya merupakan model matematika yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel, selanjutnya masalah tersebut dipecahkan melalui langkah-langkah sebagai berikut.
1. Tentukan besaran dalam masalah yang dirancang sebagai variabel pertidaksamaannya.
2. Rumuskan pertidaksamaan yang merupakan model matematika dari masalah.
3. Tentukan penyelesaian dari model matematika.
4. Berikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh.
Untuk memahami bagaimana memecahkan masalah yang berkaitan dengan model matematika yang berbentuk pertidaksamaan linear satu variabel, simaklah ilustrasi berikut ini.
Jumlah dua buah bilangan asli kurang dari 20.
Jika bilangan pertama sama dengan 6, tentukan batas-batas bilangan yang kedua.
|
Dari kalimat “jumlah dua buah bilangan asli kurang dari 20” merupakan indikator bahwa masalah tersebut berkaitan dengan model matematika yang berbentuk pertidaksamaan satu variabel. Selanjutnya, masalah dipecahkan dengan cara sebagai berikut.
■ Menentukan besaran dalam masalah sebagai variabel x.
Bilangan pertama diketahui sama dengan 6, bilangan kedua dimisalkan sama dengan x.
■ Merumuskan model matematika dari masalah.
Berdasarkan ketentuan dalam soal, diperoleh hubungan atau ekspresi matematika sebagai berikut.
6 + x < 20
■ Menentukan penyelesaian dari model matematika.
Penyelesaian model matematika 6 + x < 20 ditentukan sebagai berikut.
6 + x < 20
⇒ x < 20 – 6
⇒ x < 14
■ Memberikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh.
x < 14
Jadi, bilangan kedua besarnya tidak boleh melebihi bilangan 14.
Sekarang agar kalian lebih memahami dan terampil dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan model matematika berbentuk pertidaksamaan linear satu variabel, silahkan kalian simak beberapa contoh soal cerita dan pembahasannya berikut ini.
Soal Cerita 1:
Jumlah dua bilangan tidak kurang dari 100 dan bilangan kedua sama dengan tiga kali bilangan pertama. Tentukan batas-batas nilai dari kedua bilangan itu.
Jawab:
Misalkan bilangan pertama x maka bilangan kedua sama dengan 3x.
Berdasarkan ketentuan yang ada dalam soal, diperoleh model matematika sebagai berikut.
x + 3x ≥ 100
⇒ 4x ≥ 100
Model matematika yang berbentuk pertidaksamaan linear satu variabel itu diselesaikan sebagai berikut.
4x ≥ 100
⇒ x ≥ 25
Bilangan pertama (x) ≥ 25
Karena bilangan kedua sama dengan tiga kali bilangan pertama maka:
Bilangan kedua (3x) ≥ 75
Jadi, batas-batas nilai bilangan pertama tidak kurang dari 25 dan batas-batas nilai bilangan kedua tidak kurang dari 75.
Soal Cerita 2:
Panjang dan lebar persegi panjang ABCD masing-masing 30 cm dan 20 cm. Bagian tepi-tepi persegi panjang itu dipotong selebar x cm sehingga diperoleh persegi panjang PQRS. Perhatikan gambar di bawah ini. Keliling persegi panjang PQRS tidak lebih dari 52 cm. Tentukan batas-batas panjang pemotongan yang dilakukan.
Jawab:
Perhatikan persegi panjang PQRS pada gambar di atas.
Panjang PQ = (30 – 2x) cm dan lebar QR = (20 – 2x) cm
Keliling persegi panjang PQRS adalah:
K = 2(PQ + QR)
⇒ K = 2[(30 – 2x) + (20 – 2x)]
⇒ K = 2(50 – 4x)
⇒ K = 100 – 8x
Berdasarkan ketentuan pada soal, keliling persegi panjang PQRS tidak lebih dari 52 cm. Dengan demikian diperoleh model matematika sebagai berikut.
K ≤ 52
⇒ 100 – 8x ≤ 52
Kemudian kita selesaikan model pertidaksamaan linier satu variabel tersebut, yaitu sebagai berikut.
100 – 8x ≤ 52
⇒ –8x ≤ 52 – 100
⇒ –8x ≤ –48
⇒ 8x ≥ 48
⇒ x ≥ 6
Selain itu, yang perlu kalian tahu bahwa ukuran suatu besaran (panjang atau lebar) tidak boleh bernilai negatif. Oleh karena itu, ada syarat tambahan bahwa panjang PQ = 30 – 2x ≥ 0 dan lebar QR = 20 – 2x ≥ 0. Lalu kita selesaikan dua pertidaksamaan linear tersebut.
30 – 2x
|
≥
|
0
|
20 – 2x
|
≥
|
0
| ||
2x
|
≤
|
30
|
2x
|
≤
|
20
| ||
x
|
≤
|
15
|
x
|
≤
|
10
|
Sampai tahap ini kita memperoleh tiga penyelesaian, yaitu sebagai berikut.
x ≥ 6
x ≤ 15
x ≤ 10
Gabungan dari tiga penyelesaian tersebut memberikan solusi 6 ≤ x ≤ 10.
Dengan demikian, batas-batas panjang pemotongan yang dapat dilakukan adalah 6 cm ≤ x cm ≤ 10 cm.
Soal Cerita 3:
Umur Lisa dan Muri masing-masing (5x – 2) dan (2x + 4). Jika umur Lisa lebih dari umur Muri, maka tentukanlah batas-batas nilai x.
Jawab:
Dari soal terdapat kata “lebih dari” yang berarti kita pergunakan tanda “>”. Dengan ketentuan yang terdapat dalam soal, maka kita peroleh model matematika berikut.
Umur Lisa > umur Muri
⇒ 5x – 2 > 2x + 4
Kemudian kita selesaian bentuk pertidaksamaan linear satu variabel di atas, yaitu sebagai berikut.
5x – 2 > 2x + 4
⇒ 5x – 2x > 4 + 2
⇒ 3x > 6
⇒ x > 2
Jadi, batas-batas nilai x adalah bilangan yang lebih dari 2.
Soal Cerita 4:
Pak Irvan memiliki sebuah mobil box pengangkut barang dengan daya angkut tidak lebih dari 500 kg. Berat pak Irvan adalah 60 kg dan dia akan mengangkut kotak barang yang setiap kotak beratnya 20 kg.
■ Tentukan banyak kotak maksimum yang dapat diangkut oleh pak Irvan dalam sekali pengangkutan!
■ Jika pak Irvan akan mengangkut 115 kota, paling sedikit berapa kali kotak itu akan terangkut semua?
Jawab:
Dari soal kita peroleh beberapa model matematika sebagai berikut:
(a) Misalnya x menyatakan banyak kota yang diangkut oleh mobil untuk sekali jalan.
(b) Setiap kotak beratnya 20 kg, sehingga x kotak beratnya 20x kg.
(c) Total berat sekali jalan adalah berat kotak ditambah berat pak Irvan yaitu 20x + 60.
(d) Daya angkut mobil tidak lebih dari, sehingga kita pergunakan tanda “≤”.
(e) Daya angkut tidak lebih dari 500 kg sehingga dari ketentuan (c) kita peroleh model pertidaksamaan berikut.
20x + 60 ≤ 500
■ Menentukan banyak kotak maksimum yang dapat diangkut dalam sekali jalan.
Menentukan banyak kotak berarti sama saja dengan menentukan nilai x, yaitu dengan menyelesaikan pertidaksamaan berikut.
20x + 60 ≤ 500
⇒ 20x ≤ 500 – 60
⇒ 20x ≤ 440
⇒ x ≤ 22
Dari penyelesaian tersebut, kita peroleh nilai maksimum dari x adalah 22. Dengan demikian, dalam setiap kali jalan mobil box mampu mengangkut paling banyak 22 kotak.
■ Menentukan banyaknya keberangkatan untuk mengangkut 115 kotak
Agar proses pengangkutan dilakukan sedikit mungkin (minimum), maka setiap kali jalan harus bisa membawa kotak paling banyak 22 kotak. Maka kita peroleh beberapa ketentuan sebagai berikut:
● Misalkan y menyatakan banyaknya keberangkatan (perjalanan).
● Setiap kali jalan mengangkut 22 kotak, sehingga untuk y perjalanan akan terangkut 22y kotak.
● Akan diangkut 115 kotak, artinya untuk semua perjalanan minimal 115 kotak harus terangkut semua, sehingga kita peroleh model matematika sebagai berikut.
22y ≥ 115
Kemudian, kita selesaikan pertidaksamaan linear di atas, yaitu sebagai berikut.
22y ≥ 115
⇒ y ≥ 115/22
⇒ y ≥ 5,227
Dari penyelesaian y ≥ 5,227 dan y bilangan bulat positif karena menyatakan jumlah perjalanan, maka nilai minimum (terkecil) dari y adalah 6 (bilangan bulat). Dengan demikian, paling sedikit 6 kali perjalanan untuk mengangkut 115 kotak.
Soal Cerita 5:
Jumlah dua bilangan tidak kurang dari 400. Jika bilangan pertama sama dengan empat kali bilangan kedua, maka tentukanlah batas-batas nilai dari kedua bilangan tersebut.
Jawab:
Langkah pertama, kita identifkasi besaran yang belum diketahui. Besaran tersebut adalah bilangan pertama dan bilangan kedua. Selanjutnya kita misalkan bilangan pertama dan bilangan kedua sebagai variabel.
Misalkan :
Bilangan pertama = x
Bilangan kedua = y
Dari soal diketahui kalau bilangan pertama sama dengan empat kali bilangan kedua, degan demikian berlaku hubungan:
x = 4y
Selanjutnya diketahui bahwa jumlah kedua bilangan tersebut tidak kurang dari 400. Kata “Tidak kurang” dalam soal merupakan indikasi hubungan pertidaksamaan lebih besar sama dengan (≥). Itu artinya, model pertidaksamaannya adalah pertidaksamaan lebih dari sama dengan.
Berdasarkan kondisi yang diketahui dalam soal, maka bentuk pertidaksamaan yang sesuai dengan soal adalah sebagai berikut:
⇒ x + y ≥ 400
Karena x = 4y, maka pertidaksamaannya menjadi:
⇒ 4y + y ≥ 400
⇒ 5y ≥ 400
Selanjutnya, kita selesaikan pertidaksamaan linear tersebut dengan manipulasi aljabar yaitu dengan membagi kedua ruas dengan 5 sehingga diperoleh:
⇒ 5y ≥ 400
⇒ y ≥ 80
Karena kedua ruas sama-sama dibagi 5 (bilangan positif), maka tanda pertidaksamaannya tetap. Nilai y di atas merupakan batas nilai untuk bilangan kedua. Selanjutnya kita tentukan batas nilai untuk bilangan pertama:
⇒ x + y ≥ 400
⇒ x + 80 ≥ 400
⇒ x + 80 – 80 ≥ 400 – 80
⇒ x ≥ 320
Jadi, batas nilai untuk bilangan pertama tidak kurang dari 80 dan batas nilai untuk bilangan kedua tidak kurang dari 320.
Soal Cerita 6:
Jumlah dua bilangan tidak lebih dari 120. Jika bilangan kedua adalah 10 lebihnya dari bilangan pertama, maka tentukan batas nilai untuk bilangan pertama.
Jawab:
Sama seperti soal pertama, ada dua besaran yang tidak diketahui yaitu bilangan pertama dan bilangan kedua. Selanjutnya kita jadikan besaran tersebut sebagai variabel.
Misalkan:
Bilangan pertama = x
Bilangan kedua = y
Dari soal diketahui bahwa bilangan kedua “10 lebihnya dari bilangan pertama”, maka berlaku hubungan sebagai berikut:
y = x + 10
Pada soal juga diketahui bahwa jumlah kedua bilangan “tidak lebih” dari 120. Kata “tidak lebih” merupakan indikasi pertidaksamaan kurang dari sama dangan (≤). Jadi, bentuk pertidaksamaan yang sesuai dengan soal adalah pertidaksamaan kurang dari sama dengan. Selanjutnya kita susun pertidaksamaannya:
⇒ x + y ≤ 120
Karena y = x + 10, maka pertidaksamaannya menjadi:
⇒ x + x + 10 ≤ 120
⇒ 2x + 10 ≤ 120
⇒ 2x + 10 – 10 ≤ 120 – 10
⇒ 2x ≤ 110
⇒ x ≤ 55
Jadi, batas nilai untuk bilangan pertama tidak lebih dari 55.
Soal Cerita 7:
Suatu model kerangka balok terbuat dari kawat dengan ukuran panjang (x + 5) cm, lebar (x – 2) cm, dan tinggi x cm.
■ Tentukan model matematikan dari persamaan panjang kawat yang diperlukan dalam x.
■ Jika panjang kawat yang digunakan seluruhnya tidak lebih dari 132 cm, tentukan ukuran maksimum balok tersebut.
Jawab:
Agar lebih mudah memahami soal, perhatikan ilustrasi balok berikut ini.
■ Menentukan model matematika
Misalkan K menyatakan total panjang kawat yang dibutuhkan untuk membuat kerangka balok, maka total panjang kawat yang dibutuhkan adalah jumlah dari semua rusuknya, sehingga panjang K adalah sebagai berikut.
K = 4p (panjang) + 4l (lebar) + 4t (tinggi)
K = 4(x + 5) + 4(x – 2) + 4x
K = 4x + 20 + 4x – 8 + 4x
K = 12x + 12
Jadi, kita peroleh model matematika untuk panjang kawat total yaitu K = 12x + 12.
■ Menentukan ukuran maksimum balok
Panjang kawat tidak boleh lebih dari 132 cm maka model pertidaksamaannya dapat ditulis sebagai berikut.
K ≤ 132
12x + 12 ≤ 132
Selanjutnya kita selesaikan pertidaksamaan linear satu variabel tersebut, yaitu sebagai berikut.
12x + 12 ≤ 132
⇒ 12x ≤ 132 – 12
⇒ 12x ≤ 120
⇒ x ≤ 10
Dari penyelesaian x ≤ 10, maka nilai maksimum dari x adalah 10. Dengan demikian, ukuran balok yaitu panjang, lebar dan tingginya adalah sebagai berikut.
Panjang = x + 5 ⇔ 10 + 5 = 15 cm
Lebar = x – 2 ⇔ 10 – 2 = 8 cm
Tinggi = x ⇔ 10 cm
Jadi, ukuran maksimum balok adalah (15 × 8 × 10) cm.
Soal Cerita 8:
Jumlah dua bilangan kurang dari 80. Bilangan kedua sama dengan tiga kali bilangan pertama. Tentukan batas-batas kedua bilangan itu.
Jawab:
Misalkan bilangan pertama x, maka bilangan kedua sama dengan 3x. Jumlah kedua bilangan itu kurang dari 80. Oleh karena itu, model matematikanya adalah sebagai berikut.
x + 3x < 80 ⇔ 4x < 80
Penyelesaian model matematika ini adalah 4x < 80 ⇔ x < 20.
Oleh karena itu, batas bilangan pertama tidak lebih dari 20, sedangkan bilangan kedua tidak lebih dari 60.
Soal Cerita 9 (Pertidaksamaan Kuadrat):
Permukaan sebuah meja berbentuk persegi panjang dengan panjang 16x cm dan lebar 10x cm. Jika luasnya tidak kurang dari 40 dm2, tentukan ukuran minimum permukaan meja tersebut.
Jawab:
Diketahui panjang permukaan meja (p) = 16x, lebar (l) = 10 x, dan luas = L. Model matematika dari luas persegi panjang adalah sebagai berikut.
L = p × l
L = 16x × 10x
L = 160x2
Dari soal ditentukan bahwa luas tidak kurang dari 40 dm2 = 4.000 cm2 sehinga pertidaksamaannya dapat ditulis sebagai berikut.
L = 160x2 ≥ 4.000
160x2 ≥ 4.000
Selanjutnya kita selesaikan pertidaksamaan tersebut, yaitu sebagai berikut.
160x2 ≥ 4.000
⇒ x2 ≥ 25
⇒ x ≥ ±5
Karena ukuran besaran tidak boleh negatif, maka nilai minimum x = 5 cm, sehingga diperoleh:
p = 16x cm = 16(5) cm = 80 cm
l = 10x cm = 10(5) cm = 50 cm
Jadi, ukuran minimum permukaan meja tersebut adalah (80 × 50) cm.
Soal Cerita 10 (Pertidaksamaan Kuadrat):
Sebuah sepeda melaju di jalan raya dengan persamaan lintasan s(t) = t2 – 10t + 39. Jika x dalam meter dan t dalam detik, tentukan interval waktu agar sepeda itu telah menempuh jarak sekurang-kurangnya 15 meter.
Jawab:
Sepeda itu dapat menempuh jarak sekurang-kurangnya 15 meter, artinya s(t) ≥ 15. Jadi, model matematikanya adalah t2 – 10t + 39 ≥ 15. Model ini dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut.
t2 – 10t + 39 ≥ 15
⇒ t2 – 10t + 39 – 15 ≥ 0
⇒ t2 – 10t + 24 ≥ 0
⇒ (t – 6)(t – 4) ≥ 0
⇒ t ≤ 4 atau t ≥ 6
Dengan demikian, interval waktu agar sepeda itu telah menempuh jarak sekurang-kurangnya 15 meter adalah t ≤ 4 detik atau t ≥ 6 detik.
