Cara Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan Polinomial, Contoh Soal dan Pembahasan

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Bentuk polinomial adalah bentuk suku banyak. Dalam bentuk khusus, polinomial berderajat dua biasa disebut bentuk kuadrat. Bentuk umum polinomial adalah sebagai berikut.

anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + … + a1x + a0

Pertidaksamaan yang akan kita bahas kali ini lebih ditekankan pada pertidaksamaan polinomial yang dapat difaktorkan. Bagaimana cara menyelesaikannya? Ikuti langkah-langkah berikut ini.

1. Faktorkan suku banyak itu.

2. Tentukan pembuat nol suku banyak.

3. Gambar garis bilangan yang memuat pembuat nol.

4. Tentukan interval di mana bernilai positif dan di mana bernilai negatif. Tanda daerah terdekat (setelah melewati pembuat nol) berubah tanda jika pangkat ganjil, sedangkan jika pangkatnya genap, tanda tidak berubah.

Misalkan:

(x – a)3(x – b)(x – c) ≥ 0

(x – a)2(x – b)(x – c) ≥ 0

5. Tentukan daerah yang memenuhi persoalan tersebut.

Sekarang agar kalian lebih paham mengenai bagaimana caranya menentukan himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan polinomial, silahkan kalian simak beberapa contoh soal dan pembahasannya berikut ini.

Contoh Soal 1:

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan x2(x – 2)(x + 3) < 0.

Jawab:

x2(x – 2)(x + 3) < 0

pembuat nolnya adalah sebagai berikut.

● x2 = 0 ⇔ x = 0

● x – 2 = 0 ⇔ x = 2

● x + 3 = 0 ⇔ x = −3

Gambar garis bilangan yang memuat tiga pembuat nol tersebut adalah sebagai berikut.

Kemudian kita tentukan tanda interval, dengan memasukkan salah satu nilai x.

Misalkan untuk x = 1 maka:

⇒ x2(x – 2)(x + 3)

⇒ (1)2(1 – 2)(1 + 3)

⇒ (1)(−1)(4)

⇒ −4

Karena −4 < 0, maka tanda interval yang memuat nilai x = 1 bernilai negatif. Kita ketahui bahwa variabel x berpangkat 2 (genap), itu artinya sebalah kanan dan kiri nilai pembuat nol untuk x2 (dalam hal ini 0) harus bertanda sama, yaitu negatif.

Dengan demikian dua tanda interval yang tersisa yaitu di sebelah kiri -3 dan sebelah kanan 2 harus bertanda positif. Tanda-tanda interval pada garis bilangan di atas adalah sebagai berikut.

Karena yang diminta dalam soal adalah himpunan bilangan yang lebih kecil atau sama dengan nol (< 0), maka penyelesaiannya adalah daerah negatif. Berikut ini gambar garis bilangan penyelesaian pertidaksamaan yang diminta.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = {x| −3 < x  < 0 atau 0 < x < 2, x ∈ R}.

Contoh Soal 2:

Nilai-nilai a yang memenuhi a3 < a2 adalah…

Jawab:

⇒ a3 < a2

⇒ a3 – a2 < a2 – a2

⇒ a2(a – 1) < 0

⇒ (a – 0)2(a – 1) < 0

Jadi, pembuat titik nolnya adalah 0 dan 1.

Untuk daerah paling kanan yaitu di interval a > 1, kita tentukan tandanya dengan memisalkan a = 2 sehingga kita peroleh:

⇒ a2(a – 1)

⇒ (2)2(2 – 1)

⇒ (4)(1)

⇒ 4

Karena 4 > 0, maka tanda pada interval a > 1 adalah positif. selanjutnya ke kiri tanda mengikuti tanda sebelah kanan. Pangat a genap sehingga dua tanda untuk interval a < 0 dan 0 < a < 1 harus bertanda sama yaitu positif.

Yang diminta dalam soal adalah himpunan bilangan yang lebi kecil dari nol (< 0), maka himpunan penyelesaiannya adalah interval atau selang yang bertanda negatif. Garis bilangan penyelesaiannya ditunjukkan pada garis bilangan berikut ini.

Dari gambar garis bilangan di atas, himpunan penyelesaian pertidaksamaannya adalah HP = {a| a < 0 atau 0 < a < 1, a ∈ R}.

Bagaimanakah jika pertidaksamaan dalam bentuk pecahan? perhatikan contoh soal yang ketiga berikut ini.

Contoh Soal 3:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini.

(x – 1)(x + 2)(x – 3)	≥ 0
x2(x – 4)(x – 1)

Jawab:

Pembuat nol untuk pembilang maupun penyebutnya adalah sebagai berikut.

■ Pembuat nol pembilang:

● x – 1 = 0 ⇔ x = 1

● x + 2 = 0 ⇔ x = −2

● x − 3 = 0 ⇔ x = 3

■Pembuat nol penyebut:

● x2 = 0 ⇔ x = 0

● x − 4 = 0 ⇔ x = 4

● x − 1 = 0 ⇔ x = 1

Jika disajikan dalam garis bilangan, pembuat-pembuat nol di atas akan tampak sebagai berikut.

Pertama kita tentukan tanda interval paling kanan, yaitu pada selang x > 4. Kita ambil nilai x = 5 untuk menguji tanda interval yaitu sebagai berikut.

(5 – 1)(5 + 2)(5 – 3)	=	(4)(7)(2)	=	56	> 0
52(5 – 4)(5 – 1)		25(1)(4)		100

Karena hasilnya lebih besar dari nol, maka interval x > 4 bertanda positif.

Selanjutnya kita tentukan pembuat nol di sebelah kanan dan kiri dari variabel berpangkat (x2) yaitu 0. Kita misalkan nilai x = −1 untuk menguji tanda interval yaitu sebagai berikut.

(−1  – 1)( −1  + 2)( −1  – 3)	=	(−2)(1)(−4)	=	8	> 0
(−1)2(−1  – 4)( −1  – 1)		(1)(−5)(−2)		10

Karena hasilnya lebih besar dari 0, maka tanda interval untuk selang −2 < x < 0 adalah positif. Begitupun untuk selang 0 < x < 1 juga bertanda positif. Hal ini dikarenakan pangkat x adalah 2 (genap).

Dengan demikain, semua tanda interval bisa dengan mudah kita tentukan dengan menggunakan langkah penyelesaian nomor 4 di atas. Jika digambarkan dalam garis bilangan, maka tanda semua interval adalah sebagai berikut.

Dalam pertidaksamaan bentuk pecahan, penyebut tidak boleh bernilai 0, dengan demikian berlaku syarat sebagai berikut.

x ≠ 0

x ≠ 4

x ≠ 1

Sesuai dengan yang diminta dalam soal, maka himpunan penyelesaiannya digambarkan dalam garis bilangan berikut ini.

Dari gambar garis bilangan di atas, maka himpunan penyelesaian adalah −2 ≤ x < 3 atau x > 4; x ≠ 0, x ≠ 1 atau bisa juga ditulis HP = {x| 2 ≤ x < 0 atau 0 < x < 1 atau 1 < x ≤ 3 atau x > 4, x ∈ R}.