Cara Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak, Contoh Soal dan Pembahasan

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Nilai mutlak dari suatu bilangan real x (dilambangkan dengan |x|) adalah nilai tak negatif dari bilangan rea itu. Misalnya, |3| = 3, |−2| = 2, dan |−1/2| = 1/2. Nilai mutlak bilangan nol didefinisikan sebagai bilangan itu sendiri, sehingga | 0 | = 0. Secara umum, nilai mutlak didefinisikan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan real x, nilai mutlak x, ditulis |x| diartikan

|x|	=	x, untuk x ≥ 0
		−x, untuk x < 0

Misalkan |x| < 0 maka dapat ditentukan suatu bilangan positif p sehingga |x| + p = a, a ≥ 0. Oleh karena itu,

|x| + p = a

⇔ (|x| + p)2 = a2

⇔ x2 + 2p|x| + p2 = a2

Karena p positif dan |x| positif, jika dimisalkan q = 2p|x| + p2 maka q merupakan bilangan positif, sehingga diperoleh bahwa x2 + q = a2. Karena x2 + q (positif) = a2 maka dapat disimpulkan bahwa

|x|

<

a, untuk a ≥ 0 ⇔ x2 < a2

Analogi dengan cara di atas maka kita juga akan memperoleh

|x|

>

a, untuk a ≥ 0 ⇔ x2 > a2

Cobalah kalian buktikan.

Akibat dari sifat |x| < a, untuk a ≥ 0 ⇔ x2 < a2 adalah sebagai berikut.

x2 < a2

⇔ x2 – a2 < 0

⇔ (x – a)(x + a) < 0

Pembuat nol di ruas kiri pertidaksamaan itu adalah

(x – a)(x + a) < 0

⇔ x – a = 0 atau x + a = 0

⇔ x = a atau x = −a

Gambar garis bilangannya adalah sebagai berikut.

Kemudian kita uji sebuah titik, misalnya 0 (nol).

(x – a)(x + a) = 0

x = 0 → (0 – a)(0 + a)

⇔ (−a)(a)

⇔ −(a)2 < 0

Karena untuk x = 0 bernilai negatif (−a2 < 0) maka pernyataan tersebut benar sehingga tanda dari garis bilangan itu adalah sebagai berikut.

Interval yang memenuhi pertidaksamaan itu adalah –a < x < a.

Akibat dari sifat |x| > a, untuk a ≥ 0 ⇔ x2 > a2 adalah sebagai berikut.

x2 > a2

⇔ x2 – a2 > 0

⇔ (x – a)(x + a) > 0

Pembuat nol ruas kiri pertidaksamaan itu adalah x = a atau x = −a dan garis bilangannya adalah sebagai berikut.

Karena daerah yang diminta positif, maka daerah yang memenuhi adalah x < −a atau x > a seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut.

Analog dengan kedua hal di atas, tentu kalian dapat menunjukkan bahwa |x| ≤ a, a ≥ 0 ⇔ −a ≤ x ≤ a dan untuk |x| ≥ a, a ≥ 0 ⇔ x ≤ −a atau x ≥a. Jadi, dapat disimpulkan bahwa untuk a ≥ 0, berlaku

|x| < a ⇔ −a < x < a

|x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a

|x| > a ⇔ x < −a atau x > a

|x| ≥ a ⇔ x ≤ −a atau x ≥ a

Pertidaksamaan nilai mutlak adalah suatu pertidaksamaan yang variabelnya berada dalam tanda mutlak. Misalnya,

|x – 1| < 3, |x2 + 3x| > |5 – 2x|, dan |x + 1|2 – 2 ≤ |x + 1|.

Dari uraian di atas, untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan nilai mutlak, dapat kita gunakan sifat-sifat berikut.

Jika a ∈ R dan a ≥ 0 maka
1.	a.	|x| < a ⇔ −a < x < a
	b.	|x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
	c.	|x| > a ⇔ x < −a atau x > a
	d.	|x| ≥ a ⇔ x ≤ −a atau x ≥ a
2.	|x| = √x2

Agar kalian dapat memahami bagaimana caranya menentukan himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan nilai mutlak, silahkan kalian pelajari beberapa contoh soal dan pembahasannya berikut ini.

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut.

|2x – 3| ≤ 7

Jawab:

Dengan menggunakan sifat 1 (b), diperoleh:

−7 ≤ 2x – 3 ≤ 7

⇔ −7 + 3 ≤ 2x ≤ 7 + 3

⇔ −4 ≤ 2x ≤ 10

⇔ −2 ≤ x ≤ 5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x| −2 ≤ x ≤ 5, x ∈ R}.

2. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak berikut.

|2x + 1| ≥ |x – 2|

Jawab:

Dengan menggunakan sifat 2, maka kita peroleh:

√(2x + 1)2 ≥ √(x – 2)2

⇔ (2x + 1)2 ≥ (x – 2)2

⇔ 4x2 + 4x + 1 ≥ x2 – 4x + 4

⇔ 4x2 – x2 + 4x + 4x + 1 – 4 ≥ 0

⇔ 3x2 + 8x – 3 ≥ 0

⇔ (x + 3)(3x – 1) ≥ 0

⇔ x ≤ −3 atau x ≥ 1/3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x| x ≤ −3 atau x ≥ 1/3, x ∈ R}.

3. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini dengan menggunakan analisis penyelesaian pada garis bilangan.

|x – 2|2 – 4|x – 2| + 3 < 0

Jawab:

Pertidaksamaan ini dapat kita kerjakan dengan memisalkan bentuk nilai mutlak |x – 2| dalam suatu variabel baru, misalnya a.

Misalkan a = |x – 2| maka pertidaksamaan di atas menjadi:

a2 – 4a + 3 < 0

⇔ (a – 1)(a – 3) < 0

⇔ 1 < a < 3

Karena a = |x – 2| maka 1 < |x – 2| < 3. Bentuk ini dapat dipisahkan menjadi bentuk 1 < |x – 2| dan |x – 2| < 3.

■ Untuk 1 < |x – 2| atau |x – 2| > 1

Dengan menggunakan sifat 1 (c) diperoleh:

⇔ x – 2 < −1 atau x – 2 > 1

⇔ x < −1 + 2 atau x > 1 + 2

⇔ x < 1 atau x > 3 ……………….. (1)

■ Untuk |x – 2| < 3

Dengan menggunakan sifat 1 (a) diperoleh:

⇔ −3 < x – 2 < 3

⇔ −3 + 2 < x < 3 + 2

⇔ −1 < x < 5 ……………….. (2)

Jika interval (1) dan (2) kita gambarkan dalam garis bilangan, tampak seperti gambar di bawah ini.

Dari garis bilangan di atas, diperoleh himpunan penyelesaian adalah {x| −1 < x < 1 atau 3 < x < 5}.

4. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak berikut ini dan gambarkan garis bilangan penyelesaiannya.

x – 2	< 3
x + 1

Jawab:

Ingat bahwa |x| < a ⇔ −a < x < a. Dengan demikian, diperoleh:

−3 <	x – 2	< 3
	x + 1

■ Untuk	x – 2	< 3
	x + 1

⇔	x – 2	−	3(x + 1)	< 0
	x + 1		x + 1

⇔	x – 2 – 3x – 3	< 0
	x + 1

⇔	–2x – 5	< 0
	x + 1

Pertidaksamaan di atas adalah pertidaksamaan bentuk pecahan. Penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

● Nilai-nilai pembuat nol

Bagian pembilang: −2x – 5 = 0 ⇔ x = −5/2

Bagian penyebut: x + 1 = 0 ⇔ x = −1

● Misalkan kita gunakan nilai uji x = 0 dan kita subtitusikan nilai x = 0 ini ke dalam pertidaksamaan pecahan di atas, maka kita peroleh:

–2x – 5	=	–2(0) – 5	=	−5	<	0
x + 1		0 + 1

Karena hasilnya lebih kecil daripada nol (0), maka interval pada x = 0 bertanda negatif. Dengan demikian, gambar garis bilangan untuk pertidaksamaan ini adalah sebagai berikut.

■ Untuk	x – 2	> −3
	x + 1

⇔	x – 2	+	3(x + 1)	> 0
	x + 1		x + 1

⇔	x – 2 + 3x + 3	> 0
	x + 1

⇔	4x + 1	> 0
	x + 1

Penyelesaian pertidaksamaan bentuk pecahan ini adalah sebagai berikut.

● Nilai-nilai pembuat nol

Bagian pembilang: 4x + 1 = 0 ⇔ x = −1/4

Bagian penyebut: x + 1 = 0 ⇔ x = −1

● Misalkan kita gunakan nilai uji x = 0 dan kita subtitusikan nilai x = 0 ini ke dalam pertidaksamaan pecahan di atas, maka kita peroleh:

4x + 1	=	4(0) + 1	=	1	>	0
x + 1		0 + 1

Karena hasilnya lebih besar daripada nol (0), maka interval pada x = 0 bertanda positif. Dengan demikian, gambar garis bilangan untuk pertidaksamaan ini adalah sebagai berikut.

Dari kedua garis bilangan di atas, jika kita gambarkan dalam satu letak, akan tampak seperti pada gambar berikut ini.

Dari gambar di atas, tampak bahwa himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah {x| x < −5/2 atau x > −1/4, x ∈ R}.