Cara Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan Bentuk Akar, Contoh Soal dan Pembahasan

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Pertidaksamaan bentuk akar sering disebut juga pertidaksamaan irrasional, yaitu pertidaksamaan yang variabelnya terdapat dalam tanda akar. Pertidaksamaan bentuk akar mempunyai 8 macam bentuk baku (umum) yaitu sebagai berikut.

1.	√u(x) < a		1.	√u(x) < √v(x)
2.	√u(x) ≤ a		2.	√u(x) ≤ √v(x)
3.	√u(x) > a		3.	√u(x) > √v(x)
4.	√u(x) ≥ a		4.	√u(x) ≥ √v(x)

Dengan a ≥ 0, a ∈ R (a bilangan real positif atau nol).

u(x) dan v(x) merupakan fungsi-fungsi dalam x dengan u(x) ≥ 0 dan v(x) ≥ 0.

Misalkan kita memiliki dua bilangan p dan q.

■ Misalkan p = 5 maka 52 = 25

q = 8 maka 82 = 64

Tampak bahwa 0 < 5 < 8 dan 52 < 82

■ Misalkan p = 1 maka 12 = 1

q = 3 maka 32 = 9

Tampak bahwa 0 < 1 < 3 dan 12 < 32

Berdasarkan contoh di atas, secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.

Jika p dan q ∈ R dengan 0 < p < q,

maka p2 < q2

Dengan sifat tersebut, kita dapat menyelesaikan sistem pertidaksamaan bentuk akar dengan langkah-langkah sebagai berikut.

1. Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan itu (tanda pertidaksamaan tetap). Kemudian, selesaikan.

2. Tentukan syarat bahwa bentuk akar masing-masing ruas terdefinisi atau bernilai real, yaitu bilangan di dalam tanda akar bernilai positif atau nol.

3. Tentukan interval yang memenuhi penyelesaian pada langkah pertama dan langkah kedua (cari irisannya).

Agar kalian lebih memahami cara penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar, perhatikan beberapa contoh soal dan pembahasannya berikut ini.

Contoh Soal 1:

Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan irasional berikut.

√x + 5 < 4

Jawab:

1. Kedua ruas dikuadratkan, sehingga diperoleh pertidaksamaan berikut.

⇒ (√x + 5)2 < 42

⇒ x + 5 < 16

⇒ x < 16 – 5

⇒ x < 11 ……………. (1)

2. Syarat u(x) ≥ 0

⇒ x + 5 ≥ 0

⇒ x ≥ −5 …………… (2)

3. Penyelesaian yang memenuhi dari (1) dan (2) adalah irisan kedua interval itu. Jadi, penyelesaiannya adalah −5 ≤ x < 11. Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah {x | −5 ≤ x < 11, x ∈ R}. Himpunan penyelesaian ini tampak pada garis bilangan di bawah ini.

Contoh Soal 2:

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini.

√2 + 3x ≤ √3 + 2x

Jawab:

1. Kedua ruas dikuadratkan sehingga diperoleh:

⇒ (√2 + 3x)2 ≤ (√3 + 2x)2

⇒ 2 + 3x ≤ 3 + 2x

⇒ 3x – 2x ≤ 3 – 2

⇒ x ≤ 1 ……………. (1)

2. Syarat u(x) ≥ 0

⇒ 2 + 3x ≥ 0

⇒ 3x ≥ 0 – 2

⇒ 3x ≥ –2

⇒ x ≥ –2/3 ……………. (2)

3. Syarat v(x) ≥ 0

⇒ 3 + 2x ≥ 0

⇒ 2x ≥ 0 – 3

⇒ 2x ≥ –3

⇒ x ≥ –3/2 ……………. (3)

4. Penyelesaian yang memenuhi dari (1), (2), dan (3) adalah irisan ketiga interval tersebut. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | –2/3 ≤ x ≤1, x ∈ R}. Himpunan penyelesaiannya dapat digambarkan pada garis bilangan di bawah ini.

Contoh Soal 3:

Tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini.

√2x + 1 ≥ 2

Jawab:

1. Kedua ruas dikuadratkan sehingga diperoleh bentuk pertidaksamaan berikut.

⇒ (√2x + 1)2 ≥ 22

⇒ 2x + 1 ≥ 4

⇒ 2x ≥ 4 – 1

⇒ 2x ≥ 3

⇒ x ≥ 3/2 ……………. (1)

2. Syarat u(x) ≥ 0

⇒ 2x + 1 ≥ 0

⇒ 2x ≥ 0 – 1

⇒ 2x ≥ –1

⇒ x ≥ –1/2 ……………. (2)

3. Penyelesaian yang memenuhi dari (1) dan (2) adalah irisan kedua interval itu. jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x ≥ 3/2, x ∈ R}.

Contoh Soal 4:

Tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.

√x – √x + 1 ≥ 0

Jawab:

1. Pindahkan salah satu bentuk akar ke kanan sehingga diperoleh pertidaksamaan berikut.

⇒ √x ≥ √x + 1

Bentuk pertidaksamaan ini tidak perlu dikuadratkan karena jika dikuadratkan kemudian variabel x diselisihkan, maka variabel x akan hilang sehingga kita penyelesaiannya tidak dapat ditentukan, misalkan:

⇒ (√x)2 ≥ (√x + 1)2

⇒ x ≥ x + 1

⇒ x – x ≥ 1

⇒ 0 ≥ 1 (tidak mungkin).

2. Syarat u(x) ≥ 0

⇒ x ≥ 0 ……………. (1)

3. Syarat v(x) ≥ 0

⇒ x + 1 ≥ 0

⇒ x ≥ −1 ……………. (2)

3. Irisan interval (1) dan (2) adalah x ≥ 0, sehingga himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan √x – √x + 1 ≥ 0 adalah {x | x ≥ 0, x ∈ R}.

Contoh Soal 5:

Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan bentuk akar berikut ini.

√x2 ≥ 2√x2 – 1

Jawab:

1. Kedua ruas kita kuadratkan sehingga diperoleh pertidaksamaan berikut.

⇒ (√x2)2 ≥ (2√x2 – 1)2

⇒ x2 ≥ 4(x2 – 1)

⇒ x2 ≥ 4x2 – 4

⇒ x2 – 4x2 + 4 ≥ 0

⇒ –3x2 + 4 ≥ 0

⇒ 3x2 − 4 ≤ 0

Kita tentukan pembuat nol (batas interval) dari pertidaksamaan 3x2 − 4 ≤ 0, yaitu sebagai berikut.

⇒ 3x2 − 4 = 0

⇒ 3x2 = 4

⇒ x2 = 4/3

⇒ x = ± √4/3

⇒ x = √4/3 atau x = −√4/3 ............... Penyelesaian (1)

2. Syarat u(x) ≥ 0

⇒ x2 ≥ 0

⇒ x ≥ 0 ............... Penyelesaian (2)

3. Syarat v(x) ≥ 0

⇒ x2 – 1 ≥ 0

Ini merupakan bentuk pertidaksamaan kuadrat. Oleh karena itu kita selesaikan pertidaksamaan kuadrat ini dengan menentukan batas-batas pembuat nolnya, yaitu sebagai berikut.

⇒ x2 – 1 = 0

⇒ (x + 1)(x – 1) = 0

⇒ x = −1 atau x = 1 ............... Penyelesaian (3)

4. Penyelesaian dari pertidaksamaan √x2 ≥ 2√x2 – 1  adalah himpunan yang merupakan irisan dari penyelesaian (1), (2) dan (3) seperti yang diperlihatkan pada garis bilangan berikut ini.

Dari gambar irisan garis bilangan di atas, maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah {x | 1 < x ≤ √4/3, x ∈ R}.

Contoh Soal 6:

Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan bentuk akar berikut ini.

√x2 – x – 2 < 2

Jawab:

1. Kedua ruas dikuadratkan sehingga diperoleh:

⇒ (√x2 – x – 2)2 < 22

⇒ x2 – x – 2 < 4

⇒ x2 – x – 2 – 4 < 0

⇒ x2 – x – 6 < 0

Sampai di sini kita peroleh bentuk pertidaksamaan kuadrat. Kemudian kita selesaikan pertidaksamaan kuadrat ini.

⇒ (x + 2)(x – 3) < 4

⇒ x = −2 atau x = 3 ............... Penyelesaian (1)

2. Syarat u(x) ≥ 0

⇒ x2 – x – 2 ≥ 0

⇒ (x + 1)(x – 2) ≥ 0

⇒ x = −1 atau x = 2 ............... Penyelesaian (2)

3. Penyelesaian dari pertidaksamaan √x2 – x – 2 < 2 adalah himpunan yang merupakan irisan dari penyelesaian (1) dan penyelesaian (2) seperti yang diperlihatkan pada garis bilangan berikut ini.

Dari gambar irisan garis bilangan di atas, maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah {x | −2 < x ≤ −1 atau 2 ≤ x < 3, x ∈R}.

Contoh Soal 7:

Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan bentuk akar berikut ini.

√x2 – 4 > x – 3

Jawab:

1. Kuadratkan ruas kanan dan kiri sehingga kita peroleh:

⇒ (√x2 – 4)2 > (x – 3)2

⇒ x2 – 4 > x2 – 6x + 9

⇒ x2 – x2 + 6x > 9 + 4

⇒ 6x > 13

⇒ x > 13/6

⇒ x > 21/6 ............... Penyelesaian (1)

2. Syarat u(x) ≥ 0

⇒ x2 – 4 ≥ 0

⇒ (x + 2)(x – 2) ≥ 0

⇒ x = −2 atau x = 2 ............... Penyelesaian (2)

3. Irisan dari penyelesaian (1) dan penyelesaian (2) diperlihatkan seperti pada garis gambar garis bilangan berikut ini.

Dari gambar irisan garis bilangan tersebut, maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan itu adalah {x | x > 21/6, x ∈ R}.