Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka dan Deklaratif Dalam Logika Matematika

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Kalian tentu telah mengenal kalimat, kalimat terbuka dan kalimat majemuk di pelajaran Bahasa Indonesia. Logika matematika adalah materi baru yang sebenarnya belum kalian peroleh di SMP. Materi ini akan mengajarkan kalian untuk mengambil kesimpulan dan cara berfikir yang logis. Sebelum mempelajari logika matematika lebih jauh, coba jawab dulu pertanyaan berikut ini.

■ Mangga adalah jenis buah-buahan [benar atau salah].

■ Rasa gula adalah manis [benar atau salah].

■ Bilangan prima terkecil adalah 2 [benar atau salah].

■ Semua orang di dunia suka makan daging [benar atau salah].

Setelah kalian benar-benar menjawab soal-soal di atas dengan baik, mari kita lanjutkan ke materi berikutnya yaitu tentang kalimat deklaratif, pernyataan, nilai kebenaran dan kalimat terbuka. Silahkan kalian simak baik-baik penjelasan berikut ini. Selamat belajar, semoga bisa paham.

Pengertian Kalimat Deklaratif dan Contohnya

Di pelajaran bahasa Indonesia, tentu kalian telah memahami definisi kalimat maupun kalimat deklaratif. Dalam materi logika matematika, kalimat deklaratif  diartikan sebagai kalimat yang menerangkan sesuatu hal secara spesifik baik itu benar ataupun salah. Perhatikan contoh kalimat berikut ini.

●	Bilangan genap habis dibagi 2. (kalimat deklaratif)
●	Nilai x yang memenuhi persamaan 2x – 1 = 5 adalah 1. (kalimat deklaratif)
●	3 lebih besar dari 1. (kalimat deklaratif)
●	Semua orang di dunia suka makan daging. (kalimat deklaratif)
●	Tolong ambilkan buku di meja belajar itu. (bukan kalimat deklaratif)

Pengertian Pernyataan dan Contohnya

Setiap pernyataan adalah kalimat, tetapi tidak semua kalimat merupakan pernyataan. Perhatikan contoh kalimat berikut.

■ Tangkaplah orang itu!

■ Berapa umurmu sekarang?

Kalimat-kalimat di atas tidak menerangkan sesuatu (bukan kalimat deklaratif), sehingga kalimat-kalimat itu bukan pernyataan.

Kalimat yang dapat digolongkan pernyataan adalah kalimat-kalimat yang menerangkan sesuatu (kalimat deklaratif). Namun perlu diingat bahwa tidak semua kalimat deklaratif itu merupakan pernyataan. Perhatikan kalimat-kalimat deklaratif berikut ini.

■ Menara itu tinggi

■ Nasi soto enak

Kalimat-kalimat di atas dapat benar saja atau salah saja, tetapi bersifat relatif (bergantung pada keadaan). Kalimat-kalimat tersebut juga bukan pernyataan.

Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tetapi tidak dapat sekaligus benar dan salah.

Lalu seperti apa contoh kalimat pernyataan itu?

Perhatikan beberapa contoh kalimat dalam tabel di bawah ini dan pahami kalimat-kalimat yang digolongkan sebagai pernyataan.

Kalimat	Keterangan
Tolong buka jendela itu!	Tidak deklaratif, buka pernyataan
Hotel itu sangat mewah dan nyaman	Deklaratif tetapi relatif, bukan pernyataan
Bagaimana kabar adikmu sekrang?	Tidak deklaratif, bukan pernyataan
Kue buatan tante sangat enak	Deklaratif tetapi relatif, bukan pernyataan
Medan adalah Ibukota Sumatera Utara	Pernyataan
Tiga dan sembilan adalah bilangan ganjil	Pernyataan
Dua belas adalah bilangan prima	Pernyataan
10 × 10 + 10 = 110	Pernyataan
Rambut keriting lebih disukai oleh anak kecil	Bukan pernyataan
Air adalah benda padat	Pernyataan

Lambang dan Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan

Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan memakai huruf kecil, seperti a, b, c, d, …, p, q, r, s, …, dan seterusnya. Sebagai contoh perhatikan pernyataan berikut ini.

a) Pernyataan “4 adalah bilangan genap” dapat dilambangkan dengan memakai huruf p.

Ditulis p: 4 adalah bilangan genap.

b) Pernyataan “Besi adalah benda padat” dapat dilambangkan dengan huruf q.

Ditulis q: Besi adalah benda padat.

Benar atau salah dari suatu pernyataan dapat ditentukan memakai dasar empiris dan dasar tak empiris.

■ Dasar Empiris yaitu menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan berdasarkan fakta yang ada atau dijumpai dalam kehidupan sehari-hari.

Sebagai contoh:

a) “Ibukota Jawa Timur adalah Surabaya”, merupakan pernyataan benar.

b) “Air adalah benda padat”, merupakan pernyataan salah.

■ Dasar Tak Empiris yaitu menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan dengan memakai perhitungan-perhitungan dalam matematika.

Sebagai contoh:

a) “Akar persamaan 3x – 1 = 5 adalah 2”, merupakan pernyataan benar.

b) “Jika x > 1, maka x > 2” merupakan pernyataan salah.

Untuk pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran B (benar). Sedangkan untuk pernyataan yang salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran S (salah). Kata nilai kebenaran dilambangkan dengan memakai huruf Yunani τ (dibaca: tau).

Sebagai contoh:

a) τ(p) = B dibaca “nilai kebenaran pernyataan p adalah B” atau “pernyataan p mempunyai nilai kebenaran B”.

b) q: 10 kurang dari 5, merupakan pernyataan yang salah, ditulis τ(q) = S.

Catatan: Nilai kebenaran suatu pernyataan kadang-kadang dilambangkan dengan angka 0 atau 1. Angka 0 ekuivalen dengan nilai kebenaran S dan angka 1 ekuivalen dengan nilai kebenaran B. Lambang nilai kebenaran 0 dan 1 dipakai dalam menganalisa suatu jaringan listrik.

Untuk lebih memahami mengenai lambang, nilai kebenaran, dan dasar penentuan suatu pernyataan, perhatikan beberapa contoh pernyataan salah dan pernyataan benar pada tabel berikut ini.

Kalimat	Keterangan	Lambang	Dasar
p: Bandarlampung adalah Ibukota provinsi Lampung	Pernyataan benar	τ(p) = B	Empiris
q: 111 habis dibagi 3	Pernyataan benar	τ(q) = B	Tak empiris
r: Dua puluh dua adalah bilangan genap	Pernyataan benar	τ(r) = B	Empiris
s: Batu adalah zat cair	Pernyataan salah	τ(s) = S	Empiris
t: tiga puluh kurang dari lima puluh	Pernyataan salah	τ(t) = S	Tak empiris

Pengertian Kalimat Terbuka dan Contohnya

Untuk memahami pengertian kalimat terbuka, perhatikan beberapa contoh kalimat berikut.

■ 2x + 3 = 11

■ y – 3 < 4

■ Itu adalah benda cair

Kalimat-kalimat di atas tidak dapat dinyatakan benar atau salah sebelum ditetapkan nilai x, y dan itu. Kalimat yang berciri seperti itu dinamakan kalimat terbuka. Sedangkan x, y dan itu disebut peubah atau variabel. Dengan demikian, dapat disimpulkan pengertian dari kalimat terbuka yaitu sebagai berikut.

Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat peubah atau variabel, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah).

Sekarang perhatikan kalimat terbuka “2x + 3 = 11”. Misalkan semesta pembicaraannya adalah himpunan bilangan real R. Nilai x ∈ R pada kalimat terbuka “2x + 3 = 11” dapat diganti sehingga kalimat terbuka itu menjadi sebuah pernyataan. Nilai kebenaran (benar atau salah) pernyataan yang diperoleh bergantung pada nilai x yang digantikan (disubtitusikan).

Sebagai contoh:

■ Jika x diganti 3, diperoleh “2(3) + 3 = 11”, merupakan pernyataan salah.

■ Jika x diganti 4, diperoleh “2(4) + 3 = 11”, merupakan pernyataan benar.

Nilai pengganti x = 4 mengubah kalimat terbuka “2x + 3 = 11” menjadi pernyataan yang benar. Nilai x = 4 disebut penyelesaian dari kalimat terbuka itu. Himpunan yang anggota-anggotanya merupakan semua penyelesaian dari kalimat terbuka disebut himpunan penyelesaian.

Berdasarkan uraian di atas, maka dapat diambil beberapa kesimpulan mengenai kalimat terbuka dalam logika matematika, yaitu sebagai berikut.

●	Kalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan dengan cara mengganti peubah pada himpunan semestanya.
●	Penyelesaian kalimat terbuka adalah nilai pengganti pada himpuna semesta yang mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar.
●	Himpunan penyelesaian kalimat terbuka adalah suatu himpunan dengan anggota-anggota merupakan penyelesaian dari kalimat terbuka.

Contoh Himpunan Penyelesaian dari Kalimat Terbuka

a) Himpunan penyelesaian persamaan x + 3 = 8 (x peubah pada himpunan bilangan real R) adalah HP = {5}.

b) Himpunan penyelesaian persamaan x2 – 5x + 6 = 0 (x peubah pada himpunan bilangan real R) adalah HP = {2, 3}.

c) Himpunan penyelesaian persamaan x2 – x + 5 = 0 (x peubah pada himpunan bilangan real R) adalah himpunan kosong, ditulis HP = {∅}.

d) Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x – 2 < 4 (x peubah pada himpunan bilangan cacah) adalah HP = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Contoh Kalimat Terbuka dan Pernyataan

Berikut beberapa contoh kalimat terbuka :

a). x adalah bilangan genap

b). 2x + 4 = 10

c). n adalah bilangan prima

d). x + y < 8

e). log n = 4

Kalimat terbuka di atas dapat diubah menjadi pernyataan benar atau pernyataan salah sebagai berikut :

a). 4 adalah bilangan genap : pernyataan benar

b). 2(4) + 4 = 10 : pernyataan salah

c). 29 adalah bilangan prima : pernyataan benar

d). 3 + 6 < 8 : pernyataan salah

e). log 100 = 4 : pernyataan salah

Perbedaan Kalimat Terbuka dengan Pernyataan

Dari uraian di atas dapat dilihat perbedaan yang mendasar antara pernyataan dengan kalimat terbuka. Jika pernyataan, kalimatnya bisa dipastikan nilai benar atau salahnya. Biasanya berupa fakta atau kenyataan yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari. Sedangkan kalimat terbuka merupakan kondisi di mana kalimat tersebut belum pasti nilai benar atau salah. Terkadang malah bisa mengandung dua unsur sekaligus, yakni benar dan salah.

Memahami perbedaan antara pernyataan dan kalimat terbuka terbilang penting sebagai dasar untuk memahami materi logika lainnya seperti macam-macam operasi logika yang meliputi negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, hingga biimplikasi.