Logika Matematika: Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Dalam logika matematika, kita mengenal istilah kalimat deklaratif dan pernyataan. Kalimat deklaratif adalah kalimat yang menerangkan sesuatu hal secara spesifik baik itu benar ataupun salah, baik opini maupun fakta. Sedangkan pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tetapi tidak dapat sekaligus benar dan salah.

Dari pengertian kalimat deklaratif dan pernyataan tersebut dapat dikatakan bahwa semua pernyataan adalah kalimat deklaratif, namun tidak semua kalimat deklaratif adalah pernyataan. Perhatikan beberapa contoh kalimat berikut ini.

Kalimat	Keterangan
Tolong buka jendela itu!	Tidak deklaratif,  bukan pernyataan
Hotel itu sangat mewah dan nyaman	Deklaratif tetapi relatif,  bukan pernyataan
Bagaimana kabar adikmu sekrang?	Tidak deklaratif,  bukan pernyataan
Kue buatan tante sangat enak	Deklaratif tetapi relatif,  bukan pernyataan
Medan adalah Ibukota Sumatera Utara	Deklaratif, pernyataan
Tiga dan sembilan adalah bilangan ganjil	Deklaratif, pernyataan
Dua belas adalah bilangan prima	Deklaratif, pernyataan
10 × 10 + 10 = 110	Deklaratif, pernyataan
Rambut keriting lebih disukai oleh anak kecil	Deklaratif tetapi relatif,  bukan pernyataan
Air adalah benda padat	Deklarataif, pernyataan

Kita dapat membuat suatu kalimat baru dengan menggabungkan dua buah pernyataan atau lebih. Kalimat seperti ini dinamakan pernyataan majemuk. Jadi pernyataan majemuk adalah kalimat yang dibentuk oleh dua atau lebih pernyataan. Untuk membentuk pernyataan majemuk, kalimat-kalimat digabungkan dengan kata hubung. Kata hubung tersebut antara lain:

■ “dan” dengan simbol (∧)

■ “atau” dengan simbol (∨)

■ “jika … maka …” dengan simbol (⇒)

■  “jika … dan hanya jika …” dengan simbol (⇔)

Pernyataan majemuk yang dibentuk oleh kata hubung “dan” disebut konjungsi. Pernyataan majemuk yang dibentuk oleh kata hubung “atau” disebut disjungsi. Pernyataan majemuk yang dibentuk oleh kata hubung “jika … maka …” disebut implikasi. Serta pernyataan majemuk yang dibentuk oleh kata hubung “jika … dan hanya jika …” disebut biimplikasi.

Suatu kalimat pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar dinamakan tautologi, sedangkan yang nilainya selalu salah dinamakan kontradiksi.

Nah pada kesempatan kali ini kita akan membahas materi logika matematika tentang konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi. Namun sebagai tambahan kita terlebih dahulu akan membahas tentang ingkaran atau negasi. Silahkan simak penjelasan berikut ini.

Pengertian dan Contoh Ingkaran (Negasi)

Misalkan diberikan suatu pernyataan “Bilangan genap habis dibagi 2”. Kita tahu bahwa kalimat tersebut bernilai benar. Apabila kita ubah kalimat tersebut menjadi “Bilangan genap tidak habis dibagi 2” maka nilai kebenarannya adalah salah. Kalimat terakhir inilah yang disebut ingkaran atau negasi dari kalimat pertama.

Jadi, negasi suatu pernyataan adalah suatu pernyataan yang bernilai benar (B), jika pernyataan semula bernilai salah (S) dan sebaliknya. Misalnya seperti ini, apabila kalimat pernyataan bernilai benar, maka setelah dinegasikan, kalimat itu bernilai salah. Sebaliknya, apabila kalimat pernyataan bernilai salah, maka setalah dinegasikan, kalimat itu bernilai benar.

Negasi dari suatu pernyataan p disimbolkan (~p). Maksud dari ingkaran suatu pernyataan adalah menyangkal nilai kebenaran pernyataan semula dengan menambahkan kata “tidak” atau “tidak benar bahwa” pada pernyataan semula.

Contoh Kalimat Negasi (Ingkaran)

■ Senin adalah hari setelah setelah selasa (benar)

Negasinya: Tidak benar bahwa Senin adalah hari setelah selasa (salah)

■ Surabaya terlatak di Kalimantan (salah)

Negasinya: Surabaya tidak terletak di Kalimantan (benar)

Misalkan p adalah suatu pernyataan, berikut ini adalah tabel nilai kebenaran dari p yang mungkin.

Tabel Nilai Kebenaran Ingkaran atau Negasi

p	~p
B	S
S	B

Keterangan:

B = benar

S = salah

Pengertian, Contoh dan Tabel Kebenaran Konjungsi

Kata hubung dalam konjungsi adalah “dan”, ditulis “∧”. Untuk menentukan nilai tabel kebenaran dari konjungsi, perhatikan gambar berikut ini.

Misalkan:

p: Tahun 2008 adalah tahun kabisat.

q: Tahun 2008 memiliki 29 hari pada bulan Februari.

sekarang, kita tentukan negasi dari p dan q yaitu sebagai berikut.

~p: Tahun 2008 bukan tahun kabisat.

~q: Tahun 2008 tidak memiliki 29 hari pada bulan Februari.

Dari pernyataan di atas, kita dapat membuat hubungan konjungsi sebagai berikut.

1. Tahun 2008 adalah tahun kabisat dan memiliki 29 hari pada bulan Februari.

(kalimat tersebut bernilai benar)

2. Tahun 2008 adalah bukan tahun kabisat dan memiliki 29 hari pada bulan Februari.

(kalimat tersebut bernilai salah karena tidak mungkin ada bulan Februari berjumlah 29 hari, sedangkan tahunnya tidak kabisat).

3. Tahun 2008 adalah tahun kabisat dan tidak memiliki 29 hari pada bulan Februari.

(kalimat tersebut salah karena setiap tahun kabisat pasti jumlah hari bulan Februari adalah 29).

4. Tahun 2008 bukan tahun kabisat dan tidak memiliki 29 hari pada bulan Februari.

(kalimat tersebut salah karena jelas bahwa tahun 2008 merupakan tahun kabisat dan jumlah hari pada bulan Februari adalah 29.)

Dari deskripsi di atas, dapat kita susun tabel nilai kebenaran dari konjungsi, yaitu sebagai berikut.

Tabel Nilai Kebenaran Konjungsi

p	q	p ∧ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Contoh Soal Konjungsi 1:

Diberikan dua pernyataan berikut ini.

p: Mangga adalah nama buah (benar)

q: Mangga adalah buah berbentuk balok (salah)

Tentukan kalimat konjungsi dan nilai kebenarannya.

Jawab:

p ∧ q: Mangga adalah nama buah dan berbentuk balok, bernilai salah.

Contoh Soal Konjungsi 2:

Kalimat “Unila adalah universitas negeri dan terletak di Lampung” bernilai benar. Mengapa demikian?

Jawab:

Kalimat di atas, dapat dipisahkan menjadi dua seperti berikut

p: Unila adalah universitas negeri (benar)

q: Unila terletak di Lampung (benar)

Karena keduanya memiliki nilai kebenaran benar, kesimpulannya pasti benar.

Pengertian, Contoh dan Tabel Kebenaran Disjungsi

Dua kalimat deklaratif yang dihubungkan dengan kata hubung “atau” dan ditulis “∨” disebut disjungsi. Untuk menentukan tabel kebenaran dari disjungsi, lakukan cara yang sama untuk membuat tabel kebenaran konjungsi. Buatlah kalimat yang terdiri atas dua kalimat tunggal yang mempunyai nilai kebenaran: benar-benar, benar-salah, salah-benar, dan salah-salah.

Dengan memperhatikan kalimat-kalimat yang kalian buat, tentukan nilai kebenarannya. Kemudian, kesimpulan apa yang kalian peroleh? Sebagai contoh, perhatikan gambaran berikut ini.

Misalkan Lisa lulus ujian. Begitu dia lulus, dia akan mengajak adiknya jalan-jalan atau memberi uang adiknya Rp5.000,00.

Misalkan:

p: Lisa mengajak adiknya jalan-jalan

q: Lisa memberi uang Rp5.000,00 kepada adiknya

sekarang, kita tentukan negasi dari p dan q yaitu sebagai berikut.

~p: Lisa tidak mengajak adiknya jalan-jalan

~q: Lisa tidak memberi uang Rp5.000,00 kepada adiknya

Dari pernyataan di atas, kita dapat membuat hubungan disjungsi sebagai berikut.

1. Lisa mengajak adiknya jalan-jalan atau memberi uang Rp5.000,00 kepada adiknya → Benar

2. Lisa mengajak adiknya jalan-jalan atau tidak memberi uang Rp5.000,00 kepada adiknya → Benar

3. Lisa tidak mengajak adiknya jalan-jalan atau memberi uang Rp5.000,00 kepada adiknya → Benar

4. Lisa tidak mengajak adiknya jalan-jalan atau tidak memberi uang Rp5.000,00 kepada adiknya → Salah

Dari gambaran di atas, dapat kita susun tabel nilai kebenaran dari disjungsi, yaitu sebagai berikut.

Tabel Nilai Kebenaran Disjungsi

p	q	p ∨ q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Contoh Soal Disjungsi 1:

Diberikan dua pernyataan berikut ini.

p: 4 + 9 = 13 (benar)

q: 6 adalah bilangan prima (benar)

Tentukan kalimat disjungsi dan nilai kebenarannya.

Jawab:

p ∨ q: 4 + 9 = 13 atau 6 adalah bilangan prima (benar).

Contoh Soal Disjungsi 2:

Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi dua pernyataan berikut.

p: Salah satu faktor dari 12 adalah 5. (salah)

q: 14 habis dibagi dengan 2. (benar)

Jawab:

p ∨ q: Salah satu faktor dari 12 adalah 5 atau 14 habis dibagi dengan 2. (benar)

Pengertian, Contoh dan Tabel Kebenaran Implikasi

Implikasi merupakan kalimat majemuk dengan tanda hubung “jika … maka …” dan ditulis “⇒”. Untuk menentukan nilai tabel kebenarannya, perhatikan gambaran berikut. Misalkan jika Lisa lulus ujian maka ia akan memberikan uang kepada adiknya.

Misalnya:

p: Lisa lulus ujian.

q: Lisa memberikan uang kepada adiknya.

sekarang kita tentukan negasi dari p dan q sebagai berikut.

~p: Lisa tidak lulus ujian.

~q: Lisa tidak memberikan uang kepada adiknya.

Dari pernyataan di atas, kita dapat membuat hubungan implikasi sebagai berikut.

1. Jika Lisa lulus ujian maka ia akan memberikan uang kepada adiknya.

(kalimat ini bernilai benar karena Lisa menepati janji)

2. Jika Lisa lulus ujian maka ia tidak memberikan uang kepada adiknya.

(kalimat ini salah karena Lisa tidak menepati janji)

3. Jika Lisa tidak lulus ujian maka ia memberikan uang kepada adiknya.

(kalimat ini bernilai benar karena meskipun janjinya gugur dia tetap memberikan uang kepada adiknya)

4. Jika Lisa tidak lulus ujian maka ia tidak memberikan uang kepada adiknya.

(kalimat ini bernilai benar karena Lisa bebas dari janjinya)

Dari gambaran di atas, kita dapat menyusun nilai tabel kebenaran implikasi sebagai berikut.

Tabel Nilai Kebenaran Implikasi

p	q	p ⇒ q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Contoh Soal Implikasi 1:

Tentukan nilai kebenaran dari implikasi dua pernyataan berikut.

p: Pak Rudi adalah manusia. (benar)

q: Pak Rudi kelak akan mati. (benar)

Jawab:

p ⇒ q: Jika Pak Rudi adalah manusia, maka kelak akan mati. (benar)

Contoh Soal Implikasi 2:

Tentukan nilai kebenaran dari implikasi dua pernyataan berikut.

p: 2 + 5 = 7 (benar)

q: 7 bukan bilangan prima (salah)

Jawab:

p ⇒ q: Jika 2 + 5 = 7, maka 7 bukan bilangan prima (salah).

Berkaitan dengan kata hubung ⇒, pernyataan majemuk berikut ini sering digunakan untuk pembuktian. Pernyataan majemuk yang dimaksud adalah konvers, invers, dan kontraposisi dari suatu implikasi. Adapun hubungan-hubungan yang dimaksud adalah sebagai berikut.

Misalkan diketahui implikasi p ⇒ q. ■ q ⇒ p disebut konvers dari p ⇒ q ■ ~p ⇒ ~q disebut invers dari p ⇒ q ■ ~q ⇒ ~p disebut kontraposisi dari p ⇒ q

Berikut ini adalah tabel nilai kebenaran dari ketiga hubungan tersebut.

Tabel Nilai Kebenaran Konvers, Invers dan Kontraposisi

p	q	~p	~q	p ⇒ q	q ⇒ p	~p ⇒ ~q	~q ⇒ ~p
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B	S
S	B	B	S	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B

Dari tabel di atas, dapat dilihat bahwa implikasi senilai dengan kontraposisinya dan invers suatu implikasi senilai dengan konvers implikasi tersebut. Kesamaan nilai semacam ini dinamakan ekuivalen atau ekuivalensi.

Contoh Soal Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Jika dua buah sudut adalah siku-siku maka kedua sudut itu sama besar (benar).

Tentukan konvers, invers, dan kontraposisinya.

Jawab:

Konversnya:

Jika kedua sudut sama besar maka dua buah sudut itu adalah siku-siku.

(bisa benar, bisa salah)

Inversnya:

Jika kedua sudut tidak siku-siku maka kedua sudut itu tidak sama besar.

(bisa benar, bisa salah)

Kontraposisinya:

Jika kedua sudut tidak sama besar maka dua buah sudut itu tidak siku-siku.

(benar)

Contoh Soal Ekuivalensi

Diketahui x adalah bilangan real. Jika x habis dibagi 6 maka x habis dibagi 2 (benar). Tentukan kalimat yang senilai (ekuivalen) dengan kalimat tersebut.

Jawab:

Kalimat di atas selalu senilai dengan kontraposisinya, yaitu “Jika x tidak habis dibagi 2 maka x tidak habis dibagi 6”. (benar)

Pengertian, Contoh dan Tabel Kebenaran Biimplikasi

Kalian telah mengenal kalimat majemuk implikasi. Dari tabel nilai kebenaran implikasi itu, coba kalian perhatikan tabel nilai kebenaran berikut ini.

p	q	p ⇒ q	q ⇒ p	(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
B	B	B	B	B
B	S	S	B	S
S	B	B	S	S
S	S	B	B	B

Dari tabel di atas, nilai kebenaran dari (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) adalah nilai kebenaran biimplikasi. Biimpilkasi adalah dua kalimat pernyataan yang menggunakan kata hubung “jika dan hanya jika” dan dilambangkan dengan “⇔”. Oleh karena itu, (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ≡ p ⇔ q. Tanda “≡” adalah tanda ekuivalen.

Jadi, dapat kita simpulkan bahwa nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk biimplikasi ditunjukkan seperti pada tabel berikut ini.

Tabel Nilai Kebenaran Biimplikasi

p	q	p ⇔ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Contoh Soal Biimplikasi 1:

Tentukan nilai kebenaran dari biimplikasi dua pernyataan berikut.

p: 3 × 2 = 6 (benar)

q: 6 memiliki faktor {1, 2, 3, 4, 6} (salah)

Jawab:

p ⇔ q: 3 × 2 = 6 jika dan hanya jika 6 memiliki faktor {1, 2, 3, 4, 6}. (salah)

Contoh Soal Biimplikasi 2:

Tentukan nilai kebenaran dari biimplikasi dua pernyataan berikut.

p: Persegi memiliki 5 simetri lipat. (salah)

q: Persegi memiliki 2 simetri putar. (sala)

Jawab:

p ⇔ q: Persegi memiliki 5 simetri lipat jika dan hanya jika memiliki 2 simetri putar. (benar)