2 Cara Mudah Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/01/metode-penyelesaian-pertidaksamaan-kuadrat.html
Daftar Materi Matematika
Advertisement
Pertidaksamaan x2 + 3x + 1 < 0, 2x2 + 4x – 5 ≥ 0, atau x2 – 5x + 4 > 0 merupakan contoh-contoh pertidaksamaan kuadrat. Secara umum, pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan satu variabel berderajat dua, dengan bentuk umum sebagai berikut.
■ ax2 + bx + c < 0
■ ax2 + bx + c ≤ 0
■ ax2 + bx + c > 0
■ ax2 + bx + c ≥ 0
Dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0.
Pertidaksamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, di antaranya adalah sebagai berikut.
Nah, pada kesempatan kali ini kita akan belajar mengenai cara menentukan himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan kuadrat menggunakan dua metode di atas, yaitu sketsa grafik fungsi kuadrat dan garis bilangan. Untuk itu, silahkan kalian simak baik-baik penjelasan berikut in. Selamat belajar dan semoga bisa paham.
Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Grafik Fungsi Kuadrat
Sebuah fungsi kuadrat ditentukan dengan rumus f(x) = −x2 + 4x – 3. Grafik fungsi itu berbentuk parabola dengan persamaan y = −x2 + 4x – 3 seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini.
Pada gambar tersebut tampak bahwa grafik f(x) berada di atas sumbu-X pada interval 1 < x < 3 dan berada di bawah sumbu-X pada interval x < 1 atau x > 3, sedangkan grafik tepat memotong sumbu-X pada x = 1 atau x = 3. Dengan demikian, kita dapatkan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut.
■ Himpunan penyelesaian pertidaksamaan −x2 + 4x – 3 < 0 adalah:
{x | x < 1 atau x > 3, x ∈ R}.
■ Himpunan penyelesaian pertidaksamaan −x2 + 4x – 3 ≤ 0 adalah:
{x | x ≤ 1 atau x ≥ 3, x ∈ R}.
■ Himpunan penyelesaian pertidaksamaan −x2 + 4x – 3 > 0 adalah:
{x | 1 < x < 3, x ∈ R}.
■ Himpunan penyelesaian pertidaksamaan −x2 + 4x – 3 ≥ 0 adalah:
{x | 1 ≤ x ≤ 3, x ∈ R}.
Dalam garis bilangan, himpunan penyelesaian di atas secara berturut-turut dapat digambarkan sebagai berikut.
Secara umum, dapat dikatakan sebagai berikut.
1)
|
Penyelesaian pertidaksamaan ax2 + bx + c > 0 adalah interval x, dengan bagian grafik y = ax2 + bx + c berada di atas sumbu-X
|
2)
|
Penyelesaian pertidaksamaan ax2 + bx + c < 0 adalah interval x, dengan bagian grafik y = ax2 + bx + c berada di bawah sumbu-X
|
Untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan cara grafik fungsi kuadrat, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
1. Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c. Kemudian tentukan perpotongannya dengan sumbu-X (jika ada).
2. Berdasarkan grafik yang diperoleh pada langkah 1, tentukan interval yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat tersebut.
Contoh Soal:
Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat.
a. x2 + x – 2 ≤ 0
b. –x2 + x – 1 > 0
Jawab:
a. Sketsa grafik fungsi kuadrat dengan rumus f(x) = x2 + x – 2 ≤ 0 dapat ditunjukkan seperti pada gambar di bawah ini.
Perpotongan grafik f(x) dengan sumbu-X adalah sebagai berikut.
⇒ x2 + x – 2 = 0
⇒ (x – 1)(x + 2) = 0
⇒ x = 1 atau x = −2
Jadi, perpotongan dengan sumbu-X terletak pada x = 1 atau x = −2. Oleh karena itu, berdasarkan grafik tersebut, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + x – 2 ≤ 0 adalah {x | −2 ≤ x ≤ 1, x ∈ R}.
b. Sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = –x2 + x – 1 > 0 diperlihatkan pada gambar di bawah ini.
Perpotongan grafik f(x) dengan sumbu-X adalah sebagai berikut.
⇒ –x2 + x – 1 = 0
⇒ x2 – x + 1 = 0
⇒ (x – 1)2 = 0
⇒ x = 1
Jadi, grafik menyinggung sumbu-X di (1, 0). Dengan demikian, berdasarkan sketsa grafik fungsi kuadrat tersebut, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan –x2 + x – 1 > 0 adalah himpunan kosong dan ditulis ∅.
Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Garis bilangan
Misalnya kita akan menyelesaikan pertidaksamaan –x2 + 4x – 3 ≥ 0. Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut.
■ Tentukan pembuat nol di ruas kiri pertidaksamaan (jika ada).
⇒ –x2 + 4x – 3 = 0
⇒ (−x + 3)(x – 1) = 0
⇒ x = 3 atau x = 1
■ Lukislah nilai-nilai pembuat nol di atas pada sebuah garis bilangan, seperti tampak pada gambar berikut ini.
■ Ujilah salah satu titik anggota interval, misalnya x = 0 (dipilih yang paling mudah dioperasikan) yaitu sebagai berikut.
⇒ f(x) = –x2 + 4x – 3
⇒ f(0) = –(0)2 + 4(0) – 3 = 0
⇒ f(0) = – 3
Jadi, untuk x = 0, diperoleh penyelesaian negatif yaitu – 3. Kemudian berilah tanda negatif pada garis bilangan. Berilah tanda daerah interval yang lain dengan catatan setiap melompati pembuat nol tanda berganti seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut.
■ Tentukan interval yang sesuai dengan daerah yang diminta. Karena daerah yang diminta positif (≥ 0) maka himpunan penyelesaiannya dari pertidaksamaan –x2 + 4x – 3 ≥ 0 adalah {x | 1 ≤ x ≤ 3, x ∈ R}. Sketsanya tampak pada garis bilangan di bawah ini.
