Cara Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan Pecahan, Contoh Soal dan Pembahasan

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Perhatikan bentuk-bentuk pertidaksamaan berikut ini.

●	1	<	0
	x – 2

●	x – 1	≤	0
	x – 3

●	x – 3	>	4
	2x + 1		3

●	x2 – 9	≥	0
	x2 – 3x + 2

Tiap pertidaksamaan di atas memuat variabel x pada bagian penyebut dari suatu pecahan. Pertidaksamaan yang berciri demikian disebut pertidaksamaan bentuk pecahan. Ada 4 macam bentuk baku dari pertidaksamaan bentuk pecahan, yaitu sebagai berikut.

1.	f(x)	<	0
	g(x)

2.	f(x)	≤	0
	g(x)

3.	f(x)	>	0
	g(x)

4.	f(x)	≥	0
	g(x)

Dengan f(x) dan g(x) merupakan fungsi-fungsi dalam x, dan g(x) ≠ 0.

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan bentuk pecahan dapat ditentukan dengan menggunakan garis bilangan. Sebagai contoh, penyelesaian pertidaksamaan pecahan berikut ini.

x – 1	<	0
x – 2

Dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut.

Langkah 1

Nilai nol bagian pembilang: x – 1 = 0 ⇒ x = 1

Nilai nol bagian penyebut: x – 2 = 0 ⇒ x = 2

Langkah 2

Nilai nol pembilang dan penyebut ditempatkan pada diagram garis bilangan seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut ini.

Nilai-nilai nol itu membagi garis bilangan menjadi tiga interval, yaitu x < 1, 1 < x < 2, dan x > 2.

Langkah 3

Tanda-tanda interval ditentukan dengan cara mengambil nilai-nilai yang berada dalam masing-masing interval. Dalam contoh ini diambil nilai-nilai uji x = 0 (berada dalam interval x < 1), x = 11/2 (berada dalam interval 1 < x < 2), dan x = 3 (berada dalam interval x > 2).

Kemudian nilai-nilai uji x = 0, x = 11/2, dan x = 3 disubtitusikan ke pertidaksamaan bentuk pecahan di atas sehingga diperoleh:

■ Untuk x = 0, maka:

0 – 1	=	−1	=	+	1
0 – 2		−2			2

Karena hasilnya positif, maka interval x < 1 bertanda + atau > 0.

■ Untuk x = 11/2, maka:

11/2  – 1	=	1/2	=	−1
11/2  – 2		−1/2

Karena hasilnya negatif, maka interval 1 < x < 2 bertanda – atau < 0.

■ Untuk x = 3, maka:

3  – 1	=	2	=	+2
3  – 2		1

Karena hasilnya positif, maka interval x > 2 bertanda + atau > 0.

Tanda-tanda interval itu kemudian dituliskan pda interval-interval yang bersesuaian seperti diperlihatkan pada gambar di bawah ini.

Tips: Sebenarnya untuk menentukan tanda interval kita cukup menggunakan satu nilai uji. Setelah kita mengetahui salah satu tanda interval, maka kita dapat menentukan dua tanda interval yang lain dengan catatan setiap melompati pembuat nol, tanda berganti.

Langkah 4

Dari tanda-tanda interval pada gambar garis bilangan di langkah 3 di atas, interval yang memenuhi adalah 1 < x < 2 (perhatikan gambar yang di arsir). Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan pecahan tersebut adalah HP = {x | 1 < x < 2}.

Secara umum, penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan berbentuk pecahan berikut ini.

f(x)	<	0
g(x)

f(x)	≤	0
g(x)

f(x)	>	0
g(x)

f(x)	≥	0
g(x)

Dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut.

Langkah 1:

Carilah nilai-nilai nol bagian pembilang dan bagian penyebut dari bentuk pecahan f(x)/g(x), yaitu f(x) = 0 dan g(x) = 0.

Langkah 2:

Gambarlah nilai-nilai nol itu pada diagram garis bilangan, sehingga diperoleh interval-interval.

Langkah 3:

Tentukan tanda-tanda interval dengan cara mensubtitusikan nilai-nilai uji yang berada dalam masing-masing interval.

Langkah 4:

Berdasarkan tanda-tanda interval yang diperoleh ada langkah 3, kita dapat menentukan interval yang memenuhi. Dalam menentukan interval yang memenuhi itu, perlu diingat adanya syarat bahwa bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol atau g(x) ≠ 0.

Sekarang agar kalian lebih paham mengenai cara menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan bentuk pecahan, silahkan kalian pelajari dan pahami dua contoh soal dan pembahasannya berikut ini.

Contoh Soal 1:

Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan pecahan berikut ini.

2x – 4	≤	0
3x + 3

Jawab:

Nilai nol bagian pembilang: 2x – 4 = 0 ⇒ x = 2

Nilai nol bagian penyebut: 3x + 3 = 0 ⇒ x = −1

Nilai nol pembilang dan penyebut ditempatkan pada diagram garis bilangan. Nilai-nilai nol tersebut membagi garis bilangan menjadi tiga interval yaitu x < −1, −1 < x < 2, dan x > 2. Perhatikan gambar berikut ini.

Kemudian kita tentukan tanda interval cukup dengan menggunakan satu nilai uji. Ambil angka yang paling mudah dihitung, yaitu x = 0 yang terlatak dalam selang −1 < x < 2. Apabila nilai x = 0 kita masukkan ke pertidaksamaan pecahan, maka kita peroleh:

2(0) – 4	=	−	4
3(0) + 3			3

Karena hasilnya negatif, maka interval −1 < x < 2 bertanda −  atau < 0.

Karena satu interval sudah diketahui, maka dua interval lainnya juga dapat dengan mudah ditentukan, yaitu interval x < −1 bertanda positif dan interval x > 2 juga bertanda positif, karena setiap melompati pembuat nol, tanda harus berganti (selang-seling) seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut.

Dengan mengingat bahwa bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka:

⇔ 3x + 3 ≠ 0

⇔ 3x ≠ 3

⇔ x ≠ 3/3

⇔ x ≠ 1

Sehingga tanda selang pada gambar garis bilangan di atas berubah menjadi seperti berikut.

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah HP = {x | −1 < x ≤ 2}.

Contoh Soal 2:

Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan pecahan berikut ini.

4x – 1	≥	2
x + 2

Jawab:

Pada pertidaksamaan tersebut, karena ruas kanan bukan 0 (nol), maka kita buat dahulu menjadi nol dengan cara sebagai berikut.

4x – 1	−	2	≥	0
x + 2

4x – 1	−	2(x + 2)	≥	0
x + 2		x + 2

4x – 1 – 2x – 4	≥	0
x + 2

2x – 5	≥	0
x + 2

Dari pertidaksamaan dengan ruas kanan sudah menjadi 0, maka kita tentukan nilai nol bagian pembilang dan penyebutnya, yaitu sebagai berikut.

Nilai nol bagian pembilang: 2x – 5 = 0 ⇒ x = 21/2

Nilai nol bagian penyebut: x + 2 = 0 ⇒ x = −2

Nilai nol pembilang dan penyebut ditempatkan pada diagram garis bilangan. Nilai-nilai nol tersebut membagi garis bilangan menjadi tiga interval yaitu x < −2, −2 < x < 21/2, dan x > 21/2. Perhatikan gambar berikut ini.

Kemudian kita tentukan tanda interval dengan mengambil nilai uji x = 0 yang terletak di interva; −2 < x < 21/2 sehingga kita peroleh hasil sebagai berikut.

2(0)– 5	=	−	5
0 + 2			2

Karena hasilnya negatif, maka interval −2 < x < 21/2 bertanda −  atau < 0. Dengan menggunakan cara yang sama seperti pada contoh soal 1, maka tanda ketiga interval diperlihatkan pada gambar garis bilangan berikut.

Dengan mengingat bahwa bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka:

⇔ x + 2 ≠ 0

⇔ x ≠ −2

Sehingga tanda selang pada gambar garis bilangan di atas berubah menjadi seperti berikut.

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah HP = {x | x < −2 atau x ≥ 21/2}.