Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Grafik

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Coba kalian perhatikan beberapa bentuk pertidaksamaan berikut ini.

■ x2 – 4x + 3 < 0

■ x2 + 2x – 5 ≤ 0

■ 2x2 – 11x + 5 > 0

■ 3x2 – x – 2 ≥ 0

Keempat bentuk pertidaksamaan di atas memuat variabel x berpangkat dua. Pertidaksamaan yang bentuknya demikian disebut dengan pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x. Dalam matematika, bentuk baku pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x ada empat macam, yaitu

■ ax2 + bx + c < 0 (kurang dari)

■ ax2 + bx + c ≤ 0 (kurang dari sama dengan)

■ ax2 + bx + c > 0 (lebih dari)

■ ax2 + bx + c ≥ 0 (lebih dari sama dengan)

Dengan a, b dan c merupakan bilangan real dan a ≠ 0.

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x dapat ditentukan dengan dua cara, yaitu dengan menggunakan metode berikut ini.

1. Sketsa grafik fungsi kuadrat

2. Garis bilangan

Nah pada kesempatan kali ini, kita akan belajar mengenai cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat. Silahkan kalian pelajari dengan seksama penjelasan berikut ini.

Pertidaksamaan Kuadrat dan Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat yang ditentukan dengan rumus f(x) = x2 – 4x + 3, grafiknya berbentuk parabola dengan persamaan y = x2 – 4x + 3. Sketsa grafik parabola y = x2 – 4x + 3 ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Jika kalian belum paham mengenai gambar sketsa grafik fungsi kuadrat, silahkan pelajari artikel tentang: 3 Langkah Mudah Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat.

Berdasarkan sketsa grafik parabola y = x2 – 4x + 3 pada gambar di atas, dapat kita tetapkan sebagai berikut.

■ Parabola di atas sumbu-X (y > 0) untuk x dalam selang x < 1 atau x > 3

Jadi, x2 – 4x + 3 > 0 dalam selang x < 1 atau x > 3

■ Parabola tepat pada sumbu-X (y = 0) untuk nilai x = 1 atau x = 3

Jadi, x2 – 4x + 3 = 0 untuk nilai x = 1 atau x = 3

■ Parabola di atas sumbu-X (y < 0) untuk x dalam selang 1 < x < 3

Jadi, x2 – 4x + 3 < 0 dalam selang 1 < x < 3

Dengan demikian, sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 3 atau parabola y = x2 – 4x + 3 dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan kuadrat berikut ini.

1. Pertidaksamaan kuadrat x2 – 4x + 3 < 0

Himpunan penyelesaiannya adalah

HP = {x | 1 < x < 3, x ϵ R}

2. Pertidaksamaan kuadrat x2 – 4x + 3 ≤ 0

Himpunan penyelesaiannya adalah

HP = {x | 1 ≤ x ≤ 3, x ϵ R}

3. Pertidaksamaan kuadrat x2 – 4x + 3 > 0

Himpunan penyelesaiannya adalah

HP = {x | x < 1 atau x > 3, x ϵ R}

4. Pertidaksamaan kuadrat x2 – 4x + 3 ≥ 0

Himpunan penyelesaiannya adalah

HP = {x | x ≤ 1 atau x ≥ 3, x ϵ R}

Berdasarkan penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c atau parabola y = ax2 + bx + c dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c > 0 dan ax2 + bx + c ≥ 0.

Langkah-Langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

Secara umum, penyelesaian atau himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan grafik fungsi kuadrat dapat ditentukan melalui langkah-langkah berikut ini.

Langkah #1

Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c atau parabola y = ax2 + bx + c. Lalu carilah titik-titik potong dengan sumbu-X apabila ada.

Langkah #2

Dari gambar grafik fungsi kuadrat yang kita peroleh dari langkah #1, kita dapat menentukan selang atau interval yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c > 0 dan ax2 + bx + c ≥ 0.

Contoh Soal Pertidaksamaan Kuadrat

Supaya kalian lebih paham mengenai bagaimana caranya menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan grafik fungsi kuadrat, silahkan kalian pelajari secara seksama dua contoh soal berikut ini.

Contoh Soal #1

Dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = −2x2 + 5x + 3, tentukanlah himpunan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan berikut ini.

■ −2x2 + 5x + 3 < 0

■ −2x2 + 5x + 3 ≤ 0

■ −2x2 + 5x + 3 > 0

■ −2x2 + 5x + 3 ≥ 0

Jawab:

Sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = −2x2 + 5x + 3 atau parabola y = −2x2 + 5x + 3 ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Titik potong dengan sumbu-X dapat kita peroleh apabila y = 0, sehingga

⇔ −2x2 + 5x + 3 = 0

⇔ (−2x – 1)(x – 3) = 0

⇔ −2x – 1 = 0 atau x – 3 = 0

⇔ x = -1/2 atau x = 3

Berdasarkan grafik fungsi kuadrat f(x) = −2x2 + 5x + 3 di atas, maka dapat ditetapkan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini.

■ Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat −2x2 + 5x + 3 < 0 adalah

HP = {x | x < -1/2 atau x > 3, x ∈ R}

■ Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat −2x2 + 5x + 3 ≤ 0 adalah

HP = {x | x ≤ -1/2 atau x ≥ 3, x ∈ R}

■ Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat −2x2 + 5x + 3 > 0 adalah

HP = {x | -1/2 < x < 3, x ∈ R}

■ Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat −2x2 + 5x + 3 ≥ 0 adalah

HP = {x | -1/2 ≤ x ≤ 3, x ∈ R}

Contoh Soal #2

Dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 4, tentukanlah himpunan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan berikut ini.

■ x2 – 4x + 4 < 0

■ x2 – 4x + 4 ≤ 0

■ x2 – 4x + 4 > 0

■ x2 – 4x + 4 ≥ 0

Jawab:

Sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 4 atau parabola y = x2 – 4x + 4  ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Titik potong dengan sumbu-X dapat kita peroleh apabila y = 0, sehingga

⇔ x2 – 4x + 4 = 0

⇔ (x – 2)2 = 0

⇔ x – 2 = 0

⇔ x = 2

Pada kasus ini, grafik parabola menyinggung sumbu-X di titik (2,0). Berdasarkan grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 4, dapat kita tentukan:

■ Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2 – 4x + 4 < 0 adalah

Himpunan bilangan kosong dan ditulis HP = {Ø}

■ Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2 – 4x + 4 ≤ 0 adalah

HP = {x | x = 2}

■ Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2 – 4x + 4 > 0 adalah

HP = {x | x < 2 atau x > 2, x ∈ R} atau dapat juga ditulis HP = {x | x ∈ R dan x ≠ 0}

■ Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2 – 4x + 4 ≥ 0 adalah

HP = {x | x ≤ 2 atau x ≥ 2, x ∈ R} atau dapat juga ditulis HP = {x | x ∈ R}

Demikianlah artikel tentang cara mudah menentukan himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan kuadrat dengan grafik fungsi beserta contoh soal dan pembahasan. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Apabila terdapat kesalahan tanda, simbol, huruf maupun angka dalam perhitungan mohon dimaklumi. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.