Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Garis Bilangan

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Dalam artikel sebelumnya, telah dijelaskan mengenai cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan grafik fungsi kuadrat atau grafik parabola. Nah, dalam artikel ini kita akan belajar mengenai bagaimana caranya menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan diagram garis bilangan.

Sebagai contoh, kita akan menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x2 – 4x + 3 < 0 dengan menggunakan metode garis bilangan. Langkah-langkah yang perlu kalian lakukan adalah sebagai berikut.

Langkah #1

Tentukanlah nilai-nilai nol (apabila ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan kuadrat. Caranya adalah dengan menggunakan metode pemfaktoran yaitu sebagai berikut.

⇔ x2 – 4x + 3 = 0

⇔ (x – 1)(x – 3) = 0

⇔ x = 1 atau x = 3

Langkah #2

Gambarlah nilai-nilai nol yang diperoleh pada langkah #1 dalam bentuk diagram garis bilangan. Dan perlu kalian perhatikan, bahwa nilai-nilai nol tersebut membagi garis menjadi 3 interval (selang), yaitu x < 1, 1 < x < 3 dan x > 3 seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Langkah #3

Setelah berhasil menggambarkan diagram garis bilangan, langkah selanjutnya adalah menentukan tanda-tanda interval yang diperoleh pada langkah #2 dengan cara mengambil nilai uji yang berada dalam masing-masing interval. Dalam contoh ini, kita ambil nilai uji x = 0 (berada dalam interval x < 1), x = 2 (berada dalam interval 1 < x < 3) dan x = 4 (berada dalam interval x > 3). Hasilnya dapat kalian lihat pada tabel di bawah ini.

Tabel Hasil Uji Interval

Nilai Uji	Nilai x2 – 4x + 3	Tanda Interval
x = 0	(0)2 – 4(0) + 3 = +3	+ atau > 0
x = 2	(2)2 – 4(2) + 3 = −1	− atau < 0
x = 4	(4)2 – 4(4) + 3 = +3	+ atau > 0

Berdasarkan hasil perhitungan pada tabel di atas, tanda-tanda interval dituliskan pada interval-interval yang sesuai. Perhatikan gambar diagram garis bilangan berikut ini.

Ingat tanda + berarti nilainya > 0 sedangkan tanda – berarti nilainya < 0.

Langkah #4

Berdasarkan tanda-tanda interval dalam gambar diagram garis bilangan pada langkah 3, maka interval yang memenuhi pertidaksamaan x2 – 4x + 3 < 0 adalah 1 < x < 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat x2 – 4x + 3 < 0 dapat kita tuliskan sebagai berikut.

HP = {x | 1 < x < 3}

Perlu dicatat bahwa tanda-tanda interval pada gambar langkah #3 dapat juga digunakan untuk menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini.

■ x2 – 4x + 3 ≤ 0

Himpunan penyelesaiannya adalah HP = { x | 1 ≤ x ≤ 3}

■ x2 – 4x + 3 > 0

Himpunan penyelesaiannya adalah HP = { x | x < 1 atau x > 3}

■ x2 – 4x + 3 ≥ 0

Himpunan penyelesaiannya adalah HP = { x | x ≤ 1 atau x ≥ 3}

Secara umum, penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c > 0 atau ax2 + bx + c ≥ 0 dapat ditentukan dengan menggunakan diagram garis bilangan melalui empat langkah berikut ini.

■ Langkah 1

Carilah nilai-nilai nol (jika ada) pada bagian ruas kiri pertidaksamaan.

ax2 + bx + c = 0

■ Langkah 2

Gambarlah nilai-nilai nol itu pada diagram garis bilangan, sehingga diperoleh interval-interval

■ Langkah 3

Tentukan tanda-tanda interval dengan cara mensubtitusikan nilai-nilai uji yang berada dalam masing-masing interval.

■ Langkah 4

Berdasarkan tanda-tanda interval yang diperoleh pada langkah 3, kita dapat menetapkan interval yang memenuhi.

Di dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, kita perlu mencermati adanya beberapa bentuk khusus dari suatu bentuk kuadrat. Ada dua jenis bentuk khusus dari suatu bentuk kuadrat, yaitu:

1. Definit Positif

Definit positif adalah bentuk kuadrat ax2 + bx + c > 0 berlaku untuk semua x ∈ R. bentuk ax2 + bx + c disebut definit positif apabila a > 0 dan D < 0.

2. Definit Negatif

Definit negatif adalah bentuk kuadrat ax2 + bx + c < 0 berlaku untuk semua x ∈ R. bentuk ax2 + bx + c disebut definit negatif apabila a < 0 dan D < 0.

Agar kalian lebih paham mengenai cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan diagram garis bilangan, silahkan pelajari baik-baik contoh soal beserta pembahasannya berikut ini.

Contoh Soal #1

Tentukanlah penyelesaian dari setiap pertidaksamaan berikut ini dengan menggunakan garis bilangan.

■ x2 + x – 6 < 0

■ x2 + x – 6 ≤ 0

■ x2 + x – 6 > 0

■ x2 + x – 6 ≥ 0

Jawab

Karena setiap pertidaksamaan di atas memiliki bentuk yang sama, maka untuk menghemat waktu, cara penyelesaiannya akan dibahas secara bersama-sama.

Langka #1

Nilai-nilai nol bagian ruas kiri pertidaksamaan adalah sebagai berikut.

⇔ x2 + x – 6 = 0

⇔ (x + 3)(x – 2) = 0

⇔ x = -3 atau x = 2

Langka #2

Nilai-nilai nol yang kita peroleh pada langkah #1, kita gambarkan dalam bentuk diagram garis bilangan berikut ini.

Langka #3

Kemudian kita tentukan tanda-tanda interval dengan mengambil nilai uji x = -4 (berada dalam interval x < -3), x = 0 (berada dalam interval -3 < x < 2) dan x = 3 (berada dalam interval x > 2). Hasilnya diperlihatkan pada tabel di bawah ini.

Nilai Uji	Nilai x2 + x – 6	Tanda Interval
x = -4	(-4)2 + (-4) – 6 = +6	+ atau > 0
x = 0	(0)2 + (0) – 6 = −6	− atau > 0
x = 3	(3)2 + (3) – 6 = +6	+ atau > 0

Berdasarkan tabel hasil uji interval di atas, tanda-tanda interval dituliskan pada interval-interval yang sesuai seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Langka #4

Berdasarkan tanda pada masing-masing interval seperti yang terlihat pada gambar di atas, maka penyelesaian untuk keempat pertidaksamaan yang ditanyakan dalam soal adalah sebagai berikut.

■ x2 + x – 6 < 0 → HP = {x | -3 < x < 2}

■ x2 + x – 6 ≤ 0 → HP = {x | -3 ≤ x ≤ 2}

■ x2 + x – 6 > 0 → HP = {x | x < -3 atau x > 2}

■ x2 + x – 6 ≥ 0 → HP = {x | x ≤ -3 atau x ≥ 2}

Contoh Soal #2

Carilah himpunan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan kuadrat berikut ini.

■ 2x2 – 3x + 4 > 0

■ –3x2 + 2x – 1 < 0

Jawab

■ Bentuk kuadrat 2x2 – 3x + 4 adalah definit positif sebab:

a = 2 > 0

Diskriminan D = b2 – 4ac

D = (-3)2 – 4(2)(4) = -23 < 0

Maka pertidaksamaan 2x2 – 3x + 4 > 0 berlaku untuk semua x ∈ R.

Jadi Himpunan penyelesaiannya kita tuliskan HP = {x | x ∈ R}

■ Bentuk kuadrat –3x2 + 2x – 1 adalah definit negatif sebab:

a = -3 < 0

D = (2)2 – 4(-3)(-1) = -8 < 0

Maka pertidaksamaan –3x2 + 2x – 1 < 0 berlaku untuk semua x ∈ R.

Jadi Himpunan penyelesaiannya kita tuliskan HP = {x | x ∈ R}

Contoh Soal #3

Carilah batas-batas nilai x agar grafik y = 3x – 1 berada di atas grafik y = x2 – x + 2.

Jawab

Grafik y = 3x – 1 berada di atas grafik y = x2 – x + 2 maka

⇔ 3x – 1 > x2 – x + 2

⇔ 0 > x2 – x – 3x + 2 + 1

⇔ x2 – 4x + 3 < 0

⇔ (x – 1)(x – 3) < 0

⇔ 1 < x < 3

Jadi, grafik y = 3x – 1 berada di atas grafik y = x2 – x + 2 untuk batas-batas nilai 1 < x < 3.

Demikianlah artikel tentang cara mudah menentukan himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan kuadrat dengan garis bilangan beserta contoh soal dan pembahasan. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Apabila terdapat kesalahan tanda, simbol, huruf maupun angka dalam perhitungan mohon dimaklumi. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.