Menentukan Akar Persamaan Kuadrat dengan Pemfaktoran

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Dalam artikel tentang bentuk umum dan jenis-jenis persamaan kuadrat telah dijelaskan bahwa persamaan kuadrat memiliki bentuk umum ax2 + bx + c = 0 dengan a, b dan c merupakan bilangan real dan a ≠ 0. Persamaan ax2 + bx + c = 0 tersebut dapat diselesaikan dengan cara menentukan nilai pengganti x yang memenuhi persamaan itu. Dengan kata lain, jika nilai x disubtitusikan ke persamaan kuadrat maka hasilnya sama dengan nol.

Nilai pengganti x yang memenuhi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 disebut penyelesaian atau akar dari persamaan kuadrat yang bersangkutan. Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat, terdapat beberapa metode yang bisa digunakan, diantaranya adalah sebagai berikut.

#1 Memfaktorkan

#2 Melengkapkan kuadrat sempurna

#3 Menggunakan rumus kuadrat (rumus ABC)

#4 Menggambarkan sketsa grafik fungsi f(x) = ax2 + bx + c.

Nah, pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai cara mudah menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan metode pemfaktoran. Pemfaktoran atau faktorisasi adalah menyatakan penjumlahan suku-suku bentuk aljabar menjadi bentuk perkalian faktor-faktor. Memfaktorkan persamaan kuadrat adalah membuat persamaan kuadrat tersebut menjadi perkalian dua persamaan liner. Agar lebih paham, perhatikan dua contoh berikut ini.

1) x2 + 2x – 3 = (x – 1)(x + 3)

2) 2x2 + 10x + 12 = (2x + 4)(x + 3)

3) 4x2 – 5x = 4x(x – 5)

4) x2 – 4 = (x + 2)(x – 2)

Empat contoh persamaan kuadrat di atas difaktorkan secara langsung. Perhatikan bahwa ada empat bentuk persamaan kuadrat pada masing-masing contoh. Keempat bentuk persamaan kuadrat tersebut adalah sebagai berikut.

1) Persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1.

2) Persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1 dan a ≠ 0.

3) Persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx atau nilai c = 0.

4) Persamaan kuadrat bentuk x2 – c atau nilai b = 0.

Terkadang, kita menjumpai berbagai bentuk persamaan seperti yang telah disebutkan di atas. Untuk masing-masing bentuk persamaan kuadrat tersebut, terdapat cara yang berbeda dalam memfaktorkan atau mencari akar-akarnya. Agar kalian lebih memahami mengenai faktorisasi, mari kita bahas satu persatu metode faktorisasi berikut ini.

Akar Persamaan Kuadrat Bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1

Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 dengan a = 1 melalui metode pemfaktoran, kalian dapat menggunakan langkah-langkah berikut ini.

Persamaan Kuadrat	Rumus Pemfaktoran	Keterangan
ax2 + bx + c = 0	(ax + p)(ax + q) = 0	p + q = b
		p × q = ac

Untuk menentukan akar persamaan kuadrat, perhatikan cara berikut:

#1 Tentukan dua angka, misalnya p dan q yang jika dijumlahkan hasilnya sama dengan b dan jika dikalikan hasilnya sama dengan a × c. Untuk menentukan nilai pasangan p dan q secara mudah, kalian dapat mencari bilangan-bilangan yang merupakan faktor dari ac.

#2 Apabila nilai p dan q sudah ditentukan, masukan nilai p dan q tersebut ke dalam rumus pemfaktoran di atas.

Agar kalian lebih paham, perhatikan contoh soal berikut ini.

Dengan cara pemfaktoran, tentukanlah akar-akar dari tiap persamaan berikut ini.

a) x2 – 5x + 6 = 0

b) x2 + 9x + 14 = 0

Jawab

a) x2 – 5x + 6 = 0

Diketahui nilai dari a = 1, b = –5, c = 6 dan ac = 1 × 6 = 6. Untuk menentukan nilai p dan q kita cari dulu faktor dari 6 yaitu sebagai berikut.

-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6

Dari delapan bilangan di atas, mana dua angka yang jika dijumlah hasilnya -5 dan jika dikalikan hasilnya 6? Tentu saja angka -2 dan -3 bukan? Dengan demikian kita peroleh p = -2 dan q = -3 (dibalik juga bisa). Dengan mensubtitusikan nilai p dan q ke rumus pemfaktoran, kita peroleh.

⇔ (ax + p)(ax + q) = 0

⇔ {x + (-2)}{x + (-3)} = 0

⇔ (x – 2)(x – 3) = 0

⇔ x = 2 atau x = 3

Dengan demikian, akar dari x2 – 5x + 6 = 0 adalah 2 atau 3.

b) x2 + 9x + 14 = 0

Diketahui nilai dari a = 1, b = 9, c = 14 dan ac = 1 × 14 = 14. Faktor dari 14 yaitu sebagai berikut.

-14, -7, -2, -1, 1, 2, 7, 14

Dari delapan bilangan di atas, dua angka yang jika dijumlah hasilnya 9 dan jika dikalikan hasilnya 14 adalah angka 2 dan 7. Dengan demikian kita peroleh p = 2 dan q = 7. Dengan mensubtitusikan nilai p dan q ke rumus pemfaktoran, kita peroleh.

⇔ (ax + p)(ax + q) = 0

⇔ (x + 2)(x + 7) = 0

⇔ x = -2 atau x = -7

Dengan demikian, akar dari x2 + 9x + 14 = 0 adalah -2 atau -7.

Akar Persamaan Kuadrat Bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1

Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang berbentuk ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 1 melalui metode pemfaktoran, kalian dapat menggunakan langkah-langkah berikut ini.

Persamaan Kuadrat	Rumus Pemfaktoran			Keterangan
ax2 + bx + c = 0		(ax + p)(ax + q)	= 0	p + q = b
		a		p × q = ac

Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat kita cari dahulu nilai p dan q dengan ketentuan yang sama dengan cara di atas. Agar kalian paham, coba perhatikan contoh soal berikut ini.

Dengan cara pemfaktoran, tentukanlah akar-akar dari tiap persamaan berikut ini.

a) 4x2 – 12x + 9 = 0

b) 3x2 + 22x – 16 = 0

Jawab

a) 4x2 – 12x + 9 = 0

Diketahui nilai dari a = 4, b = –12, c = 9 dan ac = 4 × 9 = 36. Untuk menentukan nilai p dan q kita cari dulu faktor dari 36 yaitu sebagai berikut.

-36, -18, -12, -9, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Dari bilangan-bilangan bulat di atas, pasangan angka yang jika dijumlah hasilnya -12 dan jika dikalikan hasilnya 36 adalah angka -6 dan juga -6. Dengan demikian kita peroleh p = -6 dan q = -6. Dengan mensubtitusikan nilai p dan q ke rumus pemfaktoran, kita peroleh.

⇔	(ax + p)(ax + q)	= 0
	a

⇔	(4x – 6)(4x – 6)	= 0
	4

⇔	2(2x – 3) × 2(2x – 3)	= 0
	4

⇔	4(2x – 3)(2x – 3)	= 0
	4

⇔ (2x – 3)(2x – 3) = 0

⇔ 2x – 3 = 0

⇔ 2x = 3

⇔ x = 3/2

Dengan demikian, akar dari 4x2 – 12x + 9 = 0 adalah 3/2.

b) 3x2 + 22x – 16 = 0

Diketahui nilai dari a = 3, b = 22, c = –16 dan ac = 3 × (–16) = –48. Untuk menentukan nilai p dan q kita cari dulu faktor dari 36 yaitu sebagai berikut.

-48, -24, -16, -12, -8, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

Dari bilangan-bilangan bulat di atas, pasangan angka yang jika dijumlah hasilnya 22 dan jika dikalikan hasilnya –48 adalah angka -2 dan 24. Dengan demikian kita peroleh p = -2 dan q = 24. Dengan mensubtitusikan nilai p dan q ke rumus pemfaktoran, kita peroleh.

⇔	(ax + p)(ax + q)	= 0
	a

⇔	(3x – 2)(3x + 24)	= 0
	3

⇔	(3x – 2) × 3(x + 8)	= 0
	3

⇔ (3x – 2)(x + 8)= 0

⇔ 3x – 2 = 0 atau x + 8 = 0

⇔ 3x = 2 atau x = -8

⇔ x = 2/3 atau x = -8

Dengan demikian, akar dari 3x2 + 22x – 16 = 0 adalah 2/3 atau -8.

Akar Persamaan Kuadrat Bentuk ax2 + bx

Untuk menentukan akar dari persamaan kuadrat yang berbentuk ax2 + bx = 0, caranya sangat mudah sekali yaitu dengan mengubah bentuk persamaan kuadrat itu menjadi bentuk perkalian faktor-faktor aljabar dalam variabel x. Perhatikan langkah berikut.

ax2 + bx = ax(x + b/a) = 0

⇔ ax(x + b/a) = 0

⇔ ax = 0 atau x + b/a = 0

⇔ x = 0 atau x = –b/a

Dengan demikian akar-akar persamaan kuadrat bentuk ax2 + bx = 0 adalah 0 atau –b/a. Agar kalian tidak bingung, coba pahami contoh soal dan penyelesaiannya berikut ini.

Dengan cara pemfaktoran, tentukanlah akar-akar dari tiap persamaan berikut ini.

a) 4x2 – 20x = 0

b) 3x2 + 5x = 0

Jawab

a) 4x2 – 20x = 0

⇔ 4x2 – 20x = 4x(x – 20/4) = 0

⇔ 4x(x – 20/4) = 0

⇔ 4x = 0 atau x – 20/4 = 0

⇔ x = 0 atau x = 20/4 = 5

Dengan demikian, akar dari 4x2 – 20x = 0 adalah 0 atau 5.

b) 3x2 + 5x = 0

Kita dapat menentukan akar persamaan kuadrat ini dengan cepat tanpa melalui perhitungan yaitu dengan menggunakan rumus x = 0 atau x = -b/a sehingga kita peroleh akar-akar dari 3x2 + 5x = 0 adalah 0 atau -5/3.

Akar Persamaan Kuadrat Bentuk x2 – c

Persamaan kuadrat berbentuk x2 – c dapat kita ubah menjadi bentuk perkalian faktor-faktornya, yaitu:

x2 – c = (x – b)(x + b) dengan b = √|c|

Sehingga kita peroleh akar-akarnya yaitu –b dan b. Coba kalian simak contoh soal berikut ini.

Dengan cara pemfaktoran, tentukanlah akar-akar dari tiap persamaan berikut ini.

a) x2 – 16 = 0

b) x2 – 25 = 0

Jawab

a) x2 – 16 = 0

⇔ x2 – 16 = (x – √16)(x + √16) = 0 

⇔ (x – √16)(x + √16) = 0 

⇔ (x – 4)(x + 4) = 0 

⇔ x – 4 = 0 atau x + 4 = 0 

⇔ x = 4 atau x = -4

Dengan demikian, akar dari x2 – 16 = 0 adalah 4 atau -4.

b) x2 – 25 = 0

Dengan menggunakan rumus, b = √|c| maka kita peroleh b = √|-25|

b = √|-25|

b = √25

b = 5

Dengan demikian, akar-akar dari x2 – 25 = 0 adalah 5 atau -5.

Demikianlah artikel tentang cara mudah menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan metode pemfaktoran lengkap dengan rumus, contoh soal dan pembahasannya. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Apabila terdapat kesalahan tanda, simbol, huruf maupun angka dalam perhitungan mohon dimaklumi. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.