Kumpulan Soal Cerita Berbentuk SPLK dan Pembahasannya Lengkap

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Dalam perhitungan matematika dan dalam kehidupan sehari-hari, seringkali suatu masalah dapat diterjemahkan ke dalam model matematika yang berbentuk sistem persamaan. Sistem persamaan yang diperoleh itu dapat berbentuk SPLDV, SPLTV, atau SPLK. Penyelesaian SPLDV, SPLTV, dan SPLK yang telah dibahas dalam artikel-artikel sebelumnya memegang peranan penting dalam pemecahan masalah tersebut.

Langkah pertama yang diperlukan adalah kita harus mampu mengidentifikasi bahwa karakteristik masalah yang akan diselesaikan berkaitan dengan sistem persamaan (SPLDV, SPLTV, atau SPLK). Setelah masalahnya teridentifikasi, penyelesaian selanjutnya melalui langkah-langkah sebagai berikut.

1.	Nyatakan besaran yang ada dalam masalah sebagai variabel (dilambangkan dengan huruf-huruf) sistem persamaan.
2.	Rumuskan sistem persamaan yang merupakan model matematika dari masalah.
3.	Tentukan penyelesaian dari model matematika sistem persamaan yang diperoleh pada langkah 2.
4.	Tafsirkan terhadap hasil yang diperoleh disesuaikan dengan masalah semula.

Merancang Model Matematika yang Berbentuk SPLK

Dalam artikel sebelumnya, telah dibahas cara memecahkan masalah yang berkaitan dengan model matematika yang berbentuk SPLTV. Nah, pada kesempatan kali ini akan diuraikan mengenai bagaimana cara memecahkan masalah yang berakaitan dengan model matematika yang berbentuk Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK). Untuk tujuan itu, simaklah ilustrasi berikut ini.

Soal Ilustrasi:

Sebuah mobil bergerak cepat dengan kecepatan tetap 80 m/detik di suatu kawasan sekolah. Sebuah mobil patroli polisi mengejar mobil itu tepat setelah mobil itu melewatinya. Mobil patroli bergerak dari keadaan berhenti dengan percepatan konstan 8 m/detik2. Tentukan waktu yang diperlukan mobil patroli untuk dapat menangkap mobil mengebut itu dan di mana tempatnya.

Penyelesaian:

Untuk menjawan pertanyaan tersebut, dapat diselesaikan melalui langkah-langkah sebagai berikut.

■ Misalkan x adalah jarak yang ditempuh (dalam meter) diukur ketika mobil patroli mulai bergerak dan t adalah waktu yang diperlukan (dalam detik) untuk menempuh jarak sejauh x meter.

■ Berdasarkan ketentuan yang ada dalam soal, maka:

● untuk mobil yang mengebut bergerak dengan kecepatan konstan v0 = 80 m/detik maka:

x = v0t

x = 80t

● untuk mobil patroli yang bergerak dnegan percepatan konstan a = 8 m/detik2, maka:

x = ½ at2

x = ½(8)t2

x = 4t2

kedua persamaan yang diperoleh di atas merupakan model matematika dari masalah yang berbentuk SPLK yaitu sebagai berikut.

x = 80t

x = 4t2

■ Penyelesaian SPLK pada langkah sebelumnya diperoleh dengan metode subtitusi, yaitu dengan mensubtitusikan x = 80t ke persamaan x = 4t2sehingga diperoleh:

⇒ x = 4t2

⇒ 80t = 4t2

⇒ 4t2 – 80t = 0

⇒ 4t(t – 20) = 0

⇒ t = 0 atau t = 20

● untuk t = 0 diperoleh x = 80(0) = 0

● untuk t = 20 diperoleh x = 80(20) = 1.600

■ Untuk t = 0 dan x = 0, berarti peristiwa itu terjadi ketika pengebut tepat melewati mobil patroli. Jelas bahw solusi ini bukan merupakan jawaban dari penyelesaian masalah. Jadi, mobil patroli dapat menangkap mobil pengebut ketika t = 20 detik dalam posisi 1.600 meter = 1,6 km. Situasi ini diperlihatkan pada grafik berikut ini.

Model matematika SPLK yang berbentuk:

y = ax + b

y = px2 + qx + r

lebih banyak digunakan untuk menganalisis hubungan antara grafik fungsi linear y = ax + b (berupa garis lurus) dengan grafik fungsi kuadrat y = px2 + qx + r (berupa kurva parabola). Analisis ini dikaitkan dengan tafsiran geometri, diantaranya adalah sebagai berikut.

■	Apakah garis memotong parabola di dua titik yang berlainan dan jika berpotongan bagaimana menentukan koordinat titik potongnya?
■	Apakah garis menyinggung parabola dan jika bersinggungan bagaimana menentukan koordinat titik singgungnya serta persamaan garis singgungnya?
■	Apakah garis tidak memotong maupun menyinggung parabola?

Agar lebih memahami dan terampil dalam memecahkan masalah yang berhubungan dengan model matematika berbentuk Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK), silahkan kalian simak beberapa contoh soal cerita dan pembahasannya berikut ini.

Soal Cerita 1:

Suatu garis lurus dengan gradien −1 dan memotong parabola y = x2 – 6x + 8 di titik (2, 0)

a. Tentukan persamaan garis lurus itu.

b. Tentukan koordinat titik potong yang lain.

Penyelesaian:

a. Rumus persamaan linear adalah sebagai berikut.

y = mx + n dengan m adalah gradian

Maka kita misalkan persamaan garis itu adalah y = −x + n. titik (2, 0) merupakan titik potong antara garis y = −x + n dengan parabola y = x2 –6x + 8, artinya titik (2, 0) terletak pada garis dan sekaligus juga terletak pada parabola. Subtitusikan x = 2 dan y = 0 ke persamaan garis y = −x + n diperoleh hubungan sebagai berikut.

⇒ y = −x + n

⇒ 0 = −2 + n

⇒ n = 2

Jadi persamaan garis lurus itu adalah y = −x + 2.

b. Subtitusikan persamaan y = −x + 2 ke persamaan y = x2 – 6x + 8 sehingga diperoleh:

⇒ y = x2 – 6x + 8

⇒ −x + 2 = x2 – 6x + 8

⇒ x2 – 6x + x + 8 − 2 = 0

⇒ x2 – 5x + 6 = 0

⇒ (x – 2)(x – 3) = 0

⇒ x = 2 atau x = 3

● untuk x = 2, diperoleh y = −(2) + 2 = 0 → (2, 0). Titik potong ini sudah diketahui dalam soal.

● untuk x = 3, diperoleh y = −(3) + 2 = −1 → (3, −1).

Jadi koordinat titik potong yang lain adalah (3, −1).

Soal Cerita 2:

Seseorang siswa sedang berlari dengan kecepatan 8,5 m/detik. Ia berada 40 m di belakang Edi ketika Edi mulai mengendarai sepeda motornya dari keadaan diam dengan percepatan 0,9 m/detik2. Berapakah waktu yang diperlukan siswa itu untuk menyusul Edi?

(Petunjuk: Gunakan persamaan untuk benda yang mengalami Gerak Lurus Berubah Beraturan dan posisi awal Edi, x0 = 40 m).

Penyelesaian:

■ Syarat agar siswa tepat menyusul Edi adalah jarak yang ditempuh kedua orang tersebut sama.

● jarak yang ditempuh siswa dirumuskan sebagai berikut.

x = v0t

x = 8,5t

● jarak yang ditempuh Edi dirumuskan sebagai berikut.

x = x0 + ½ at2

x = 40 + ½(0,9)t2

x = 40 + 0,45t2

■ Kemudian subtitusikan persamaan x = 8,5t ke dalam persamaan x = 40 + 0,45t2 sehingga diperoleh:

⇒ x = 40 + 0,45t2

⇒ 8,5t = 40 + 0,45t2

⇒ 0,45t2 – 8,5t + 40 = 0

⇒ 45t2 – 850t + 4000 = 0

⇒ 9t2 – 170t + 800 = 0

⇒ (9t – 80)(t – 10) = 0

⇒ t = 80/9 = 8,89 detik atau t = 10 detik

■ Karena kita peroleh dua selang waktu yaitu 8,89 detik dan 10 detik, maksudnya adalah 8,89 detik pertama, siswa dapat menyusul Edi, kemudian tertinggal lagi dan 1,21 detik (8,89 + 1,11 = 10 detik) kemudian siswa mampu menyusul Edi lagi. Jadi waktu yang diperlukan siswa untuk menyusul Edi adalah 8,89 detik (kita gunakan waktu yang paling cepat).

Soal Cerita 3:

Tunjukkan bahwa garis y = x – 3 memotong parabola y = x2 – 4x + 1 di dua titik yang berlainan. Kemudian tentukan pula koordinat titik-titik potongnya.

Penyelesaian:

■ Subtitusikan persamaan y = x – 3 ke dalam persamaan y = x2 – 4x + 1 sehingga diperoleh:

⇒ y = x2 – 4x + 1

⇒ x – 3 = x2 – 4x + 1

⇒ x2 – 4x – x + 1 + 3 = 0

⇒ x2 – 5x + 4 = 0

⇒ (x – 4)(x – 1) = 0

⇒ x = 4 atau x = 1

● untuk x = 4, diperoleh y = 4 – 3 = 1 → (4, 1).

● untuk x = 1, diperoleh y = 1 – 3 = −2 → (1, −2).

Jadi koordinat titik potongnya adalah di (4, 1) dan (1, −2).

Soal Cerita 4:

Garis lurus g mempunyai gradien −3 dan memotong parabola y = 2x2 + x – 6 di titik (2, 4).

a. Tentukan persamaan garis g

b. Tentukan koordinat titik potong yang lain.

Penyelesaian:

a. Jika diketahui sebuah titik dan gradien, maka rumus untuk menentukan persamaan linear adalah sebagai berikut.

⇒ y – y1 = m(x – x1)

⇒ y – 4 = −3(x – 2)

⇒ y – 4 = −3x + 6

⇒ y = −3x + 6 + 4

⇒ y = −3x + 10

Jadi, persamaan garis g adalah y = −3x + 10

b. Subtitusikan persamaan y = −3x + 10 ke dalam persamaan y = 2x2 + x – 6 sehingga diperolah:

⇒ y = 2x2 + x – 6

⇒ −3x + 10 = 2x2 + x – 6

⇒ 2x2 + x + 3x – 6 – 10 = 0

⇒ 2x2 + 4x – 16 = 0

⇒ x2 + 2x – 8 = 0

⇒ (x + 4)(x – 2) = 0

⇒ x = −4 atau x = 2

● untuk x = −4, diperoleh y = −3(−4) + 10 = 22 → (−4, 22).

● untuk x = 2, diperoleh y = −3(2) + 10 = 4 → (2, 4). Titik potong ini sudah diketahui dalam soal.

Jadi koordinat titik potong yang lain adalah (−4, 22).

Soal Latihan:

Diketahui garis y = mx – 7 dan parabola y = x2 + x – 6.

a. Tentukan batas-batas nilai m agar garis memotong parabola di dua titik yang berlainan.

b. Tentukan nilai-nilai m agar menyinggung parabola.

c. Tentukan batas-batas nilai m agar garis tidak memotong maupun menyinggung parabola.

(Petunjuk: D > 0 (garis memotong parabola di dua titik), D = 0 (garis menyinggung parabola), D < 0 (garis tidak memotong atau menyinggung parabola).

Kunci Jawaban:

a. m > 3 atau m < −1

b. m = 3 atau m = −1

c. m < 3 atau m > −1