Kumpulan Contoh Soal + Pembahasan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Perhatikan beberapa bentuk pertidaksamaan berikut ini.

(a) x + 1 > 0

(b) 2x – 4 < 3

(c) 5x + 7 ≥ −3

(d) 4x + 1 ≤ 5

Pertidaksamaan yang memuat satu variabel berderajat 1 seperti di atas disebut dengan pertidaksamaan linear satu variabel. Dalam variabel x, pertidaksamaan linear ini memiliki 4 macam bentuk baku sebagai berikut.

■ ax + b < 0

■ ax + b ≤ 0

■ ax + b > 0

■ ax + b ≥ 0

dengan a dan b bilangan real dan a ≠ 0

Menyelesaikan sebuah pertidaksamaan linear satu variabel berarti mencari nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan yang dimaksud. Untuk itu, kita perlu memahami sifat-sifat pertidaksamaan. Misalkan diberikan pernyataan bahwa 10 < 20 bernilai benar:

● Jika kedua ruas ditambah 2 maka 10 + 2 < 20 + 2, nilainya benar

● Jika kedua ruas dikurangi 2 maka 10 – 2 < 20 – 2, milainya benar

● Jika kedua ruas dikalikan 2 maka 10 × 2 < 20 × 2, nilainya benar

● Jika kedua ruas dibagi 2 maka 10 : 2 < 20 : 2, nilainya benar.

● Jika kedua ruas dikali −2 maka 10 × (−2) < 20 × (−2), nilainya salah. Agar nilainya menjadi benar maka tanda pertidaksamaan dibalik sehingga −20 > −40

● Jika kedua ruas dibagi −2 maka 10 : (−2) < 20 : (−2), nilainya salah. Agar nilainya menjadi benar, tanda pertidaksamaannya dibalik sehingga−5 > −10.

Dengan memperhatikan contoh-contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa pertidaksamaan mempunyai sifat-sifat sebagai berikut.

1.	Jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama, tanda pertidaksamaan tetap.
2.	Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan positif, tanda pertidaksamaan tetap.
3.	Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif, tanda pertidaksamaan dibalik.

Contoh Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Linear

Agar kalian lebih memahami dan terampil dalam menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan linear satu variabel, perhatikan beberapa contoh soal dan pembahasannya berikut ini.

Contoh Soal 1:

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut, kemudian gambarkan dalam garis bilangan.

(a) 2x + 8 > 0

(b) 5x – 15 ≤ 0

Jawab:

(a) 2x + 8 > 0

⇒ 2x > −8

⇒ x > −4

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x > −4, x ∈ R}. Himpunan penyelesaian ini, secara geometris tampak pada Gambar (a).

(b) 5x – 15 ≤ 0

⇒ 5x ≤ 15

⇒ x ≤ 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x ≤ 3, x ∈ R}. Garis bilangannya dapat digambarkan seperti pada Gambar (b).

Contoh Soal 2:

Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini.

(a) 2 – 3x ≥ 2x + 12

(b) 4x + 1 < x – 8

Jawab:

(a) 2 – 3x ≥ 2x + 12

⇒ −2x – 3x ≥ −2 + 12

⇒ −5x ≥ 10

⇒ x ≤ −2

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan itu adalah {x | x ≤ −2, x ∈ R}.

(b) 4x + 1 < x – 8

⇒ 4x – x < −8 – 1

⇒ 3x < −9

⇒ x < −3

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan itu adalah {x | x < −3, x ∈ R}.

Contoh Soal 3:

Tuliskan himpunan penyelesaian dari:

(a) 2x – 3 < 4x – 3 < 2x + 2

(b) 2x < 3x + 10 < 4x

Jawab:

(a) 2x – 3 < 4x – 3 < 2x + 2

⇒ −3 < 2x – 3 < 2 ………………….(setiap ruas dikurangi 2x)

⇒ 0 < 2x < 5 ………………………….(setiap ruas ditambah 3)

⇒ 0 < x < 5/2 ………………………….(setiap ruas dibagi 2)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | 0 < x < 5/2}.

(b) 2x < 3x + 10 < 4x

⇒ 0 < x + 10 < 2x …………………...(setiap ruas dikurangi 2x)

Sekarang, perhatikan,

0 < x + 10 < 2x sama artinya dengan:

(1) x + 10 > 0

(2) 2x > x + 10

Pandang pertidaksamaan (1), x + 10 > 0 ⇔ x > −10

Pandang pertidaksamaan (2), 2x > x + 10 ⇔ x > 10

Penyelesaian dari pertidaksamaan (1) dan (2) dapat digambarkan pada Gambar (c) di bawah ini.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x > 10}.

Contoh Soal 4:

Carilah himpunan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan linear berikut ini.

(a) 2x – 1 < 0

(b) 3x – 6 > 0

Jawab:

(a) 2x – 1 < 0

⇒ 2x < 1

⇒ x < 1/2

Jadi, himpunan penyelesaiannya, HP = {x | x < 1/2}.

(b) 3x – 6 > 0

⇒ 3x > 6

⇒ x > 6/3

⇒ x > 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya, HP = {x | x > 2}.

Contoh Soal 5:

Carilah himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan linear berikut ini.

(a) 2x – 4 < 3x – 2

(b) 1 + x ≥ 3 – 3x

Jawab:

(a) 2x – 4 < 3x – 2

⇒ 2x – 3x < –2 + 4

⇒ –x < 2

⇒ x > –2

Jadi, himpunan penyelesaiannya, HP = {x | x > –2}.

(b) 1 + x ≥ 3 – 3x

⇒ x + 3x ≥ 3 – 1

⇒ 4x ≥ 2

⇒ x ≥ 2/4

⇒ x ≥ 1/2

Jadi, himpunan penyelesaiannya, HP = {x | x ≥ 1/2}.

Contoh Soal 6:

Carilah himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan berikut ini.

(a) x/2 + 2 < x/3 + 21/2

(b) 1 < 2x – 1 ≤ 3

Jawab:

(a) x/2 + 2 < x/3 + 21/2

⇒ x/2 + 2 < x/3 + 21/2

⇒ x/2 − x/3 < 21/2 – 2

⇒ 3x/6 − 2x/6 < 1/2

⇒ x/6 < 1/2

⇒ x < 6/2

⇒ x < 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya, HP = {x | x < 3}.

(b) 1 < 2x – 1 ≤ 3

⇒ 1 + 1 < 2x ≤ 3 + 1

⇒ 2 < 2x ≤ 4

⇒ 1 < x ≤ 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya, HP = {x | 1 < x ≤ 2}.