Sifat Operasi Hitung Bilangan Berpangkat Beserta Contoh Soal dan Penyelesaiannya

Daftar Materi Matematika

• 1. Logaritma: Sifat, Operasi Hitung dan Penerapan
• 2. Fungsi atau Pemetaan
• 3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
• 4. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• 5. Logika Matematika

Advertisement

Baca Juga:

Dalam artikel tentang bentuk pangkat bilangan bulat telah sedikit dibahas mengenai sifat operasi hitung bilangan berpangkat, yaitu sifat operasi perkalian dan pembagian bilangan berpangkat. Nah dalam artikel ini akan membahas semua sifat-sifat operasi hitung pada bilangan berpangkat yang meliputi sifat perkalian, pembagian, perpangkatan dan lain-lain beserta contoh soal dan pembahasannya.

1. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat

Dalam operasi hitung perkalian bilangan berpangkat, berlaku sifat sebagai berikut:

am × an = am+n

Untuk memahami cara mendapatkan rumus di atas, perhatikan penjelasan berikut ini:

53 × 52 = (5 × 5 × 5) x (5 × 5)

53 × 52 = 5 ×5 × 5 × 5 × 5

53 × 52 = 55

Jadi dapat disimpulkan 53 × 52 = 53+2

Contoh Soal Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat dan Pembahasannya

Sederhanakan hasil perkalian bilangan berpangkat berikut ini, kemudian tentukan nilainya

1. 72 × 75
2. (–2)4 × (–2)5
3. (–3)3 × (–3)7
4. 23 × 34 
5. 3y2 × y3
6. 2x4 × 3x6
7. –22 × 23
8. –27 × 28
9. –35 × 35

Penyelesaian

1. 72 x 75 = 72+5 = 77 = 823.543
2. (–2)4 × (–2)5 = –24+5 = –29 = – 512
3. (–3)3 × (–3)7 = –33+7 = –310 = 59.049
4. 23 × 34, soal ini tidak dapat disederhanakan karena bilangan pokonya berbeda (2 dan 3). Jadi kita hanya bisa menghitung nilainya saja.

 23 × 34 = 8 × 81 = 648

5. 3y2 × y3 = 3(y)2+3 = 3y5
6. 2x4 × 3x6 = (2×3)(x)4+6 = 6x10
7. –22 × 23 = (–1)2 × 22 × 23 = (1) × 22+3 = 25 = 32
8. –27 × 28 = (–1)7 × 27 × 28 = (–1) × 27+8 = –(215) = – 32.768
9. –35 × 35 = (–1)5 × 35 × 35 = (–1) × 36+6 = –(312) = – 531.441

Untuk kasus bilangan pokok negatif berpangkat, seperti pada contoh b), c), g), h) dan i) ada poin penting yang harus kalian tahu yakni:

Bilangan negatif pangkat genap	= Hasilnya positif
Bilangan negatif pangkat ganjil	= Hasilnya negatif

2. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat

Dalam operasi hitung pembagian bilangan berpangkat, berlaku sifat sebagai berikut:

am : an = am–n

Untuk memahami cara mendapatkan rumus di atas, perhatikan penjelasan berikut ini:

56/53 = (5 × 5 × 5 × 5 × 5× 5)/ (5 × 5 × 5)

56/53 = 5 × 5 × 5

56/53 = 53

Jadi dapat disimpulkan 56/53 = 56−3

Contoh Soal Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat dan Pembahasannya

Sederhanakan hasil pembagian bilangan berpangkat berikut ini, kemudian tentukan nilainya

1. 45/43
2. (–2)6/(–2)3
3. (–3)7/(–3)5
4. 34/23 
5. 3y3/y2
6. 2x6/3x4
7. –23/22
8. –28/27
9. –35/35

Penyelesaian

1. 45/43 = 45-3 = 42 = 16
2. (–2)6/(–2)3 = (−2)6−3 = −23 = −8
3. (–3)7/(–3)5 = (−3)7−5 = −32 = 9
4. 34/23, soal ini tidak dapat disederhanakan karena bilangan pokonya berbeda (3 dan 2). Jadi kita hanya bisa menghitung nilainya saja.

 34/23 = 81/ 8 = 10,125

5. 3y3/y2 = 3(y3−2) = 3y1 = 3y
6. 2x6/3x4 = (2/3)(x6−4) = 2/3 x2
7. –23/22 = [(−1)3× 23]/ 22 = (−1)×(23−2) = −21 = −2
8. –28/27 = [(−1)8× 28]/ 27 = (1)×(28−7) = 21 = 2
9. 35/−35 = 35/[(−1)5× 35] = (35−5)/(−1) = 30/(−1) = 1/(−1) = −1

3. Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat

Dalam operasi hitung perpangkatan bilangan berpangkat, berlaku sifat sebagai berikut:

(am)n= am×n

Untuk memahami cara mendapatkan rumus di atas, perhatikan penjelasan berikut ini:

(53)2 = (5 × 5 × 5)2

(53)2 = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5)

(53)2 = 56

Jadi dapat disimpulkan (53)2 = 53×2

Contoh Soal Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat dan Pembahasannya

Sederhanakan hasil perpangkatan bilangan berpangkat berikut ini, kemudian tentukan nilainya

1. (43)5
2. [(–2)4]2
3. [(–3)3]3
4. [(1/2)2]3 
5. (4y3)2

Penyelesaian

1. (43)5 = 43×5 = 415 = 1.073.741.824
2. [(–2)4]2 = (−2)4×2 = (−2)8 = 256
3. [(–3)3]3 =(−3)3×3 = (−3)9 = −19.683
4. [(1/2)2]3 = (1/2)2×3 = (1/2)6 = 1/64
5. (4y3)2 = (4)2 × (y)3×2 = 16y6

 

4. Sifat Perpangkatan Suatu Perkalian Dua Bilangan

Dalam operasi hitung perpangkatan suatu perkalian dua bilangan, berlaku sifat sebagai berikut:

(a × b)m= am × bm

Untuk memahami cara mendapatkan rumus di atas, perhatikan penjelasan berikut ini:

(3 × 5)2 = (3 × 5) × (3 × 5)

(3 × 5)2 = (3 × 3) × (5 × 5)

(3 × 5)2 = 32 × 52

Jadi dapat disimpulkan (3 × 5)2 = 32 × 52

Contoh Soal Sifat Perpangkatan Suatu Perkalian 2 Bilangan dan Pembahasannya

Sederhanakan hasil perpangkatan bilangan berpangkat berikut ini, kemudian tentukan nilainya

1. (2 × 7)2
2. [(−3) × 2]2
3. [6 × (−5)]3
4. [(1/2) × (1/3)]3
5. (−3pq)3
6. (−2xyz)4

Penyelesaian

1. (2 × 7)2 = 22 × 72 = 4 × 49 = 196
2. [(−3) × 2]2 = (−3)2 × 22 = 9 x 4 = 36
3. [6 × (−5)]3 = 63 × (−5)3 = 216 × (−125) = −27.000
4. [(1/2) × (1/3)]3 = (1/2)3 × (1/3)3 = (1/8) × (1/27) = 1/216
5. (−3pq)3 = (−3)3 ×(p)3 ×(q)3 = −27p3q3
6. (−2xyz)4 = (−2)4 ×(x)4 ×(y)4 ×(z)4 = 16x4y4z4

5. Sifat Perpangkatan Suatu Pembagian Dua Bilangan

Dalam operasi hitung perpangkatan suatu pembagian dua bilangan, berlaku sifat sebagai berikut:

(a : b)m= am : bm

Untuk memahami cara mendapatkan rumus di atas, perhatikan penjelasan berikut ini:

(3/5)2 = (3/5) × (3/5)

(3/5)2 = (3 × 3)/(5 × 5)

(3/5)2 = 32/52

Jadi dapat disimpulkan (3/5)2 = 32/52

Contoh Soal Sifat Perpangkatan Suatu Pembagian 2 Bilangan dan Pembahasannya

Sederhanakan hasil perpangkatan bilangan berpangkat berikut ini, kemudian tentukan nilainya

1. (2/3)2
2. [(−3)/2]3
3. [6/(−5)]2
4. [(1/2)/(1/3)]3
5. (−2p/q)3
6. (x/(−3)y)4

Penyelesaian

1. (2/3)2 = 22/52 = 4/25
2. [(−3)/2]3 = (−3)3/23 = −27/8
3. [6/(−5)]2 = 62/(−5)2 = 36/25
4. [(1/2)/(1/3)]3 = (1/2)3/(1/3)3 = (1/8)/(1/27) = 27/8
5. (−2p/q)3 = [(−2)3 × (p)3]/q3 = −8p3/q3
6. (x/(−3)y)4 = x4/[(−3)4 × (y)4]=x4/81y4

6. Sifat Perpangkatan Bilangan nol

Jika a adalah bilangan real (a ∈ R) dan n adalah bilangan bulat positif  (n ≥ 1), maka sifat-sifat perpangkatan  bilangan 0 (nol) adalah sebagai berikut:

1.	a0	= 1
2.	0n	= 0
3.	00	= Tak terdefinisi

Untuk membuktikan sifat pangkat bilangan nol nomor 1, perhatikan penjelasan berikut ini

24 : 24 = 24−4 = 20 jadi

24 : 24 = 20, karena 24 : 24 = 16/16 = 1, maka

20 = 1

Dengan pembuktian ini dapat disimpulkan bahwa semua bilangan real kecuali nol apabila dipangkatkan dengan 0 (nol) maka hasilnya sama dengan 1.

Untuk membuktikan sifat pangkat bilangan nol nomor 2, perhatikan penjelasan berikut ini

02 = 0 × 0 = 0

03 = 0 × 0 × 0 = 0

03 = 0 × 0 × 0 × 0 = 0

Dengan pembuktian tersebut dapat disimpulkan bahwa bilangan nol apabila dipangkatkan sebanyak apapun hasilnya akan selalu nol.

Untuk membuktikan sifat pangkat bilangan nol nomor 3, perhatikan penjelasan berikut ini

Kita tahu bahwa nilai 0n = 0, maka

0n/0n = 0/0, nilai 0/0 = semua bilangan, sebab semua bilangan dikalikan nol hasilnya adalah nol

Kita tuliskan bentuk persamaan lain.

0n/0n = 0n−n

0n/0n = 00 karena 0n/0n = 0/0 = semua bilangan, maka

00 = semua bilangan

Semua bilangan berarti bisa 1, 12, 123, 1234, 12345, 13456 dan seterusnya jadi definisinya tidak jelas. Sehingga dapat disimpulkan bahwa bilangan nol pangkat nol hasilnya tidak terdefinisi.

Demikianlah artikel tentang sifat-sifat operasi hitung pada bilangan berpangkat. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda. Terimakasih atas kunjungannya dan sampai jumpa di artikel berikutnya.