SPKK: Pengertian, Bentuk Umum, Cara Penyelesaian, Contoh Soal dan Pembahasan
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/12/sistem-persamaan-kuardrat-dan-kuadrat.html
Daftar Materi Matematika
Advertisement
Pengertian dan Bentuk Umum SPKK
Sistem persamaan kuadrat dan kuadrat atau disingkat dengan SPKK merupakan sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan kuadrat yang masing-masing memuat dua variabel. SPKK memiliki beberapa macam bentuk, tetapi dalam artikel ini kita akan lebih banyak membahas bentuk yang paling sederhana, yaitu kedua persamaan kuadrat berbentuk eksplisit. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut.
y = ax2 + bx + c ……………. (bagian kuadrat pertama)
|
y = px2 + qx + r ……………. (bagian kuadrat kedua)
|
Dengan a, b, c, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.
Cara Menentukan Penyelesaian SPKK
Misalkan terdapat SPKK sebagai berikut.
y = x2 ……………………… pers. (1)
y = x2 – 2x ……………….. Pers. (2)
Subtitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (2) sehingga diperoleh:
⇒ x2 = x2 – 2x
⇒ 2x = x2 – x2
⇒ 2x = 0
⇒ x = 0
Untuk x = 0 maka y = 0
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah {(0, 0)}.
Secara geometris, anggota himpunan penyelesaian SPKK di atas adalah titik potong antara kurva yang berbentuk parabola dengan persamaan y = x2 dan y = x2 – 2x seperti yang tampak pada gambar berikut ini.
Secara umum, untuk memperoleh penyelesaian SPKK dilakukan langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1: Subtitusikan bagian kuadrat persamaan pertama ke bagian kuadrat yang kedua atau sebaliknya sehingga diperoleh persamaan kuadrat baru.
Langkah 2: Selesaikan persamaan kuadrat baru yang diperoleh pada langkah pertama.
Langkah 3: Subtitusikan nilai x yang diperoleh pada langkah kedua ke persamaan pertama atau persamaan kedua. Untuk mempermudah perhitungan, silahkan kalian pilih persamaan kuadrat yang lebih sederhana.
Banyaknya penyelesaian yang diperoleh ditentukan oleh banyaknya nilai x pada penyelesaian langkah kedua. Dengan demikian, nilai itu bergantung pada nilai diskriminannya.
1
|
Jika D > 0, SPKK mempunyai dua himpunan penyelesaian (parabola berpotongan di dua titik).
|
2
|
Jika D = 0, SPKK mempunyai satu himpunan penyelesaian (parabola berpotongan di satu titik atau saling bersinggungan).
|
3
|
Jika D < 0, SPKK tidak mempunyai himpunan penyelesaian (parabola tidak berpotongan atau bersinggungan).
|
Misalkan D adalah diskriminan dari persamaan kuadrat y = ax2 + bx + c dan y = px2 + qx + r. Penyelesaian SPKK dapat digambarkan sebagai berikut.
Dari gambar di atas, tampak bahwa grafik y = ax2 + bx + c dan y = px2 + qx + r memiki jumlah himpunan penyelesaian dengan kriteria sebagai berikut.
1. Berpotongan di titik A dan B (kedua titik ini merupakan penyelesaian SPKK tersebut). Lihat gambar (a).
2. Berpotongan di satu titik, yaitu titik C (titik ini satu-satunya penyelesaian SPKK tersebut). Lihat gambar (b).
3. Tidak menyinggung dan tidak berpotongan, artinya SPKK tersebut tidak mempunyai penyelesaian. Lihat gambar (c).
Secara umum, dapat kita katakan sebagai berikut.
Misalkan diketahui SPKK:
y = ax2 + bx + c
y = px2 + qx + r
dengan a, b, c, p, q, dan r bilangan real. Diskriminan persamaan kuadratnya adalah D. Maka banyaknya himpunan penyelesaian SPKK ditentukan sebagai berikut.
Jika (a – p) = 0 atau a = p, SPKK memiliki satu himpunan penyelesaian.
|
Jika (a – p) ≠ 0 dan D > 0, SPKK memiliki dua himpunan penyelesaian.
|
Jika (a – p) ≠ 0 dan D = 0, SPKK memiliki satu himpunan penyelesaian.
|
Jika (a – p) ≠ 0 dan D < 0, SPKK tidak memiliki himpunan penyelesaian.
|
Contoh Soal dan Pembahasan
Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.
y = x2 – 1
y = x2 – 2x – 3
Jawab:
Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 – 1 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 – 2x – 3 sehingga diperoleh:
⇒ x2 – 1 = x2 – 2x – 3
⇒ x2 – x2 = –2x – 3 + 1
⇒ 2x = –2
⇒ x = –1
Selanjutnya, subtitusikan nilai x = –1 ke persamaan y = x2 – 1 sehingga diperoleh:
⇒ y = x2 – 1
⇒ y = (–1)2 – 1
⇒ y = 1 – 1
⇒ y = 0
Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah {(–1, 0)}. Tafsiran geometrinya adalah grafik parabola y = x2 – 1 dan parabola y = x2 – 2x – 3 berpotongan di satu titik, yaitu di (–1, 0). Perhatikan gambar di bawah ini.
Demikianlah artikel tentang definisi, bentuk umum, dan cara mudah menentukan himpunan penyelesaian Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK) beserta contoh soal dan pembahasannya lengkap. Semoga dapat bermanfaat untuk Anda dan kita semua.
